无穷小与无穷大及四则运算.ppt

无穷小与无穷大 极限的运算法则,知识目标 1、理解无穷大与无穷小的概念 2、掌握无穷小的性质,能力目标 1、会用无穷小计算函数的极限 2、会将无穷小的数学概念与专业问题互译,实例1,在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏 的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑 丸会变得越来越小，最后樟脑丸的质量将 会如何变化？,实例2,将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，让单摆 自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个 过程中，角的变化趋势如何？,一、 无穷小概念,1.无穷小的定义,例,如果当 （或 ）时，函数f(x)的极限是零，那么称函 数f(x)当 （或 ）时为无穷小。,例1 判断下列函数哪些是无穷小，哪些不是无穷小。,简言之，极限为 0 的量叫做无穷小量。,2.无穷小性质,（1）有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。,例3 求极限,解,由性质（2）,例4 求极限,解,由性质（2）,例5：,3、无穷小的比较,定义 设和是同一变化过程中的两个无穷小， 即lim =0和lim=0,() 如果 ，那么称是的高阶无穷小,() 如果 ，那么称是的低阶无穷小,常用等价无穷小 :,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,实例3,小王有本金A元，银行存款的年利率为 r， 不考虑个人所得税，按复利计算，小王第一 年末的本利和为A(1+r), 第二年末的本利和为 A(1+r) 2 ，第n年末的本利和为A(1+r) n ，那 么随着存款时间推移，本利和会如何变化？,二、无穷大的概念,记作,如,如果当 （或 ）时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)当 （或 ）时为无穷大。,定义:,注意！,简言之 ，极限为 无穷 的量叫做无穷大量.,三、无穷小与无穷大的关系,无穷小与无穷大互为“倒数”.,例,训练：,当推出一种新的电子游戏程序时，其销售量与 时间的函数关系为 ， 为月份，,（1）请计算游戏推出后第6个月、第12个月和第三年的 销售量。,（2）请对该产品的长期销售做出预测。,解：,（2）随着时间的推移，该产品的长期销售应为时间 时的销售量，即,上式说明当时间 时，销售量的极限为0，即购买此游戏的人会越来越少，人们转向购买新的游戏。,引例,四、极限的四则运算法则,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解 因为,所以,例4 求,解,例5 求,解,小结:,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,因为,所以,所以,一般地，有结论,其中，k、m为非负整数， 都不为0.,训练1：,设一产品的价格满足 （单位：元）， 请你对该产品的长期价格作一预测,解,可通过求该产品价格在 时的极限来预测长期价格，因为,所以该产品的长期价格为20元,训练2：,100个细菌放在培养器中，其中有足够的食物，但空间 有限，对空间的竞争使得细菌总数N与时间t的关系为： 问容器中最多能容下多少细菌？,解：,求容器中最多能容下多少细菌，即求当 时，N的极限，因为,所以培养器中最多能容下1000个细菌,解：电路的总电阻为,可变电阻 这条支路突然断路时，即,此时电路的总电阻为,一个10 的电阻器与一个电阻为 的可变电阻并联，请分析当含有可变电阻 这条支路突然断路时，电路的总电阻如何变化？,训练3：,例9、求,解：原式=,例10、求,解：原式=,小结:,（1）通分法 （2）分子有理化,总 结,无穷小（大）的概念及注意点 无穷小的性质 无穷小的比较 极限的四则运算法则及运用,练习与作业,1. 本节共介绍了哪