椭圆定义及标准方程.ppt

第二章 圆锥曲线与方程,问:解析几何要解决的两类基本问题是什么?,答:(1)已知曲线研究其方程; (2)已知曲线方程研究其曲线的性质.,回顾圆的定义及标准方程的学习过程及求法:,1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,2、求轨迹方程的基本步骤： （1）建立适当的坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合(可以省略); （3）将条件P（M）坐标化，列出方程 ; （4）对方程化简； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况， 应当适当予以说明).,设想： 平面内与两定点的距离的和等于 定长的点的轨迹是什么呢？,返回求方程,返回解例2,2.1 椭圆定义及标准方程,仙女座星系,星系中的椭圆,-“传说中的”飞碟,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。,问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是 ; 问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是 .,线段F1F2,不存在,一、椭圆定义：,二、椭圆的标准方程：,设M(x,y)是椭圆上任一点，,由定义知：,如图建立直角坐标系,椭圆的焦距为2c(c0) ，则 F1(-c,0)、F2(c,0)，M与F1、F2的距离的和等于常数2a。,分析：,（2）如何建系， 使得椭圆的 方程较简单？,（1）求椭圆的方 程出发点？,（定义）,回顾求轨迹方程步骤,将方程移项后平方得：,两边再平方得：,由椭圆定义知：,这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在 x轴上，焦点是F1(-c ，0)、F2(c ，0)，其中 c2=a2-b2 .,如果用类似的方法，建系时让椭圆的焦点在y轴上， 可得出它的方程为：,它也是椭圆的标准方程。,两边同除以 得：,二、椭圆的标准方程：,*两种椭圆图形的异同点:,两种椭圆相对于坐标系的位置不 同，它们的焦 点坐标也不同x、y下的分母大小不同。,同:,异：,形状相同,大小相同，a,c几何意义相同，并且：,其中a最大,b,c大小无法确定。,椭圆的标准方程的再认识：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1,（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=c2+b2 。,（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上，（a总是最大）或看焦点坐标来决定a、b。,二、椭圆的标准方程：,1：判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴，并指明a2、b2， 写出焦点坐标。,答：在 x 轴，,答：在 y 轴。,答：在y 轴。,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。,课堂练习：,a2=25,b2=16;,（3，0）.,a2=169,b2=144;,（0，5）,a2=m2-1,b2=m2;,（0，1）,2 椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5， 则P到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10,A,3.已知椭圆的方程为 ，焦点在X轴上， 则其焦距为（ ） A 2 B 2 C 2 D 2,A,焦点在y轴上的椭圆的标准方程 是 _.,跳到注,小结： 本节课学习了椭圆的定义及标准方程, 应注意以下几点: 椭圆的定义中a、b、c皆正，a2=b2+c2 ,其中2c是 椭圆焦距； 要注意特征量a 、 b、c的几何意义 ,它们确定椭圆的形状. 焦点的位置由椭圆的标准方程中x2,y2的分母大小 或焦点坐标来决定； 求椭圆的标准方程之前应先判断焦点位置以便确 定代入哪个方程解题.,作业: 1、课P33练习1、2 P39习题1。 2、世纪金榜P18-19 基础达标1、3、4 3、补充：若 表示椭圆，求k的取值范围,再见！,注：1. 标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的 形状和大小，是椭圆的定形条件。,3. 由椭圆的定义和标准方程可知：确定椭圆的 标准方程需要三个条件：焦点位置、 a、b的值。,2. 焦点F1、F2的位置，是椭圆的定位条件，它 决定椭圆焦点在坐标系里的位置和标准方程的类型， 也就是说，知道了焦点的位置，标准方程只有一种形 式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种类型。反 过来，只要知道方程的形式，就可以判定焦点位置。,一般先定位后定形！,例 求适合下列条件的椭圆的标准方程 两个焦点的坐标分别是 、,椭圆上一点到两焦点距离的和等于10,小结,两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,-2),并且经过,解法1,解法2,求焦点在坐标轴上，且经过A（ , -2 )和B（ ，1） 两点的椭圆的标准方程。,分析： 由题设条件焦点在哪一个坐标轴上不明确，椭圆的标准方 程有两种情形，为了计算方便，可含糊地设其方程为 mx2+ny2=1(m、n0且mn) ,其中m、n的大小先不做确定， 即先不考虑焦点位置，根据已知所给条件求出m、n值后 再行判断其焦点位置 。,： 求焦点在坐标轴上，且经过A（ , -2 )和B（ ，1）两点的椭圆的标准方程。,解： 设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m、n0) 因为椭圆过点A（ , -2 )和B（ ，1）， 故得 3m+4n=1与12m+n=1 所以， 所以，椭圆的方程为,反思 ：在不明确焦点在哪个坐标轴上时，通常要进行 分类讨论，但计算较 为复杂。一般可先设其方程 为mx2+ny2=1(m、n0且mn) ，只是此时m、n 的大 小还未确 定，用已知的条件来求出其值即可确定 X、Y型。 所以像这种求椭圆方程先假设其方程, 然后根据题目 条件得出所求方程的方法,我们称之为待定系数法。,： 求焦点在坐标轴上，且经过A（ , -2 )和B（ ，1）两点的椭圆的标准方程。,定 义,图 形,标准方程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c的关系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0),椭圆的标准方程,焦距为2c,焦距为2c,1、椭圆 的焦距为,所表示的曲线是,2、,3、已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则 m的取值范围是,4、已知椭圆 上一点P到其中一个焦点的距离为3， 则点P到另一个焦点的距离是,5、已知F1， F2是椭圆 的两焦点，过F2的直线交椭圆 于点A，B，若 ，则,右半个X型椭圆,（8,25）,7,11,练习：,例2、已知点P是椭圆4y2+5x2=20上的一点，F1与F2 是焦点，且 F1PF2=600 ，求 F1F2P的周长与面积。,回顾求轨迹方程步骤,例3：已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点 B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨 迹方程,圆P与圆A内切，圆A的半径为10 两圆的圆心距PA10r，,2a10， 2cAB6， a5，c3 b2a2c225916 即点P的轨迹方程为 1,解：设PBr,即PAPB10,点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆,(大于AB),练习：已知 B、C 是两个定点，|BC| = 6，且ABC的 周长等于16，求顶点A的轨迹方程 .,x,y,O,解：,建系如图，,由题意,|AB|+|AC|+|BC|=16，,|BC| = 6，,有 |AB|+|AC|=10，, 由椭圆的定义知：点A的轨迹是椭圆，,2c=6 , 2a=10，, c=3 ，a=5 ，,b2 = a2-c2 = 52-32 =16 .,故顶点A的轨迹方程是：,(y0),小结： 1、先定位后定量； 2、设方程技巧：焦点位置不确定时，不妨设其标准 方程为mx2+ny2=1(m、n0且mn) 3、设方程技巧：与 有相同焦点的椭圆方 程不妨设为 4、求动点的轨迹方程时： 若无法判断曲线类型：用求曲线方程一般步骤; 若可由定义法判断出曲线类型：可直接套用现成结论。 求出曲线的方程之后，要验证方程是否有增根，如有， 应在方程后注明限制条件。,椭圆过点A(2,3)，且与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点。 求该椭圆的标准方程,补充作业： 若 表示椭圆，求k的取值范围,平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离 的和是10的点的轨迹方程,在平面直角坐标系中，已知ABC中B(-3,0) ，C(3,0), 且三边|AC|,|BC|,|AB|长依次成等差数列，求顶点A的 轨迹方程。,练习：在平面直角坐标系中，已知三角形 中 B(-3,0) ，C(3,0),且三边|AC|, |BC| , |AB|长依 次成等差