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第二章,三 、两个重要极限,二、极限存在准则,2.5 极限存在准则 两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系,一、函数极限与数列极限的关系,定理1,的充分必要条件是：,对任意数列xn，xnx0，,当xnx0(n)时，,都有,定理1经常被用于证明某些极限不存在.,例1. 证明,不存在 .,证: 取两个趋于 0 的数列,及,显然当n时，xn0,由定理 1 知,不存在 .,定理2(两边夹法则),如果函数g(x), f (x), h(x)满足：,二、极限存在准则,例2. 证明,证: 利用两边夹法则 .,且,由,g(n),h(n),定理3（收敛准则）,定理4（收敛准则）,单调递减且有下界的数列必有极限,单调递增且有上界的数列必有极限,单调递增（递减）且有上界（下界）数列必有极限,( 证明略 ),例3 已知数列,满足：,证明数列,收敛,证,先用数学归纳法证明,（1）当n=1时，,结论成立,（2）当n=k时，xk2,则,由数学归纳法知 xn2.,再证明该数列单调递增,由定理2知数列收敛,令,则,故极限存在，,备用题,1.设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,圆扇形AOB的面积,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,三、 两个重要极限,为了方便地求函数的极限，可记住下列结果：,时，,例4. 求,解:,例5. 求,解: 令,则,因此,类似可证,例6. 求,解: 原式 =,2.,我们可以通过列出函数,的部分取值列表,来观察该函数值的变化趋势,的值无限接近于一个常数,由此可得:,令z=1/x,则x时，,z0，,为了方便地求函数的极限，可记住下面结果：,例6. 求,解: 令,则,说明 ：若利用,则,原式,解: 原式 =,例7. 求,例8 求,解,的不同数列,内容小结,1. 函数极限与数列极限关系的应用,(1) 利用数列极限判别函数极限不存在;,法1 找一个数列,且,使,法2 找两个趋于,及,使,不存在 .,(2) 函数极限存在的两边夹法则;,(3)单调递增（递减）且有上界（下界）数列必有极 限,2. 两个重要极限,思考与练习,填空题 ( 14 ),P34,练习2.4,2（6）,解,P4
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