2018-19学年高中数学第3章导数及其应用3.2.2函数的和、差、积、商的导数学案苏教版.docx

3.2.2函数的和、差、积、商的导数学习目标1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.知识点一和、差的导数已知f(x)x，g(x).思考1f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案f(x)1，g(x).思考2试求Q(x)x，H(x)x的导数.答案y(xx)x，1.当x0时，11.Q(x)1.同理，H(x)1.梳理和、差的导数f(x)g(x)f(x)g(x).知识点二积、商的导数(1)积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；Cf(x)Cf(x)(C为常数).(2)商的导数(g(x)0).特别提醒：f(x)g(x)f(x)g(x)，.1.若f(x)ax2bxc(a，b，cR且a0)，则f(x)2axb.()2.f(x)g(x)f(x)g(x).()3.(tanx).()4.()类型一导数运算法则的应用例1求下列函数的导数：(1)f(x)ax3bx2c；(2)f(x)xlnx2x；(3)f(x)；(4)f(x)x2ex.考点导数的运算法则题点利用法则求函数导数解(1)f(x)(bx2)cax22bx.(2)f(x)(xlnx2x)(xlnx)(2x)xlnxx(lnx)2xln2lnx12xln2.(3)方法一f(x).方法二f(x)1，f(x).(4)f(x)(x2ex)(x2)exx2(ex)2xexx2exex(2xx2).反思与感悟(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分.(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程.(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导.跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y3x2xcosx；(2)y；(3)y；(4)yex(2x23x4).考点导数的运算法则题点利用法则求函数导数解(1)y(3x2)(xcosx)3(x2)xcosxx(cosx)6xcosxxsinx.(2)y(2x2)(3x3)4x39x4.(3)y.(4)y(ex)(2x23x4)ex(2x23x4)ex(2x23x4)ex(4x3)ex(2x2x1).类型二导数运算法则的综合应用例2(1)已知函数f(x)2xf(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)(axb)sinx(cxd)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f(x)xcosx.考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用解(1)由题意得f(x)2f(1)，令x1，得f(1)2f(1)，即f(1)1.所以f(x)2x，得f(e)2e2e，f(1)2，由f(e)f(1)2e20，得f(e)0)在xx0处的导数为0，那么x0_.考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用答案a解析y1，f(x0)10，x0a.2.若曲线f(x)xsinx1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a_.考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用答案2解析f(x)sinxxcosx，由题意知，f1，a2.3.若函数f(x)在xx0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值为_.考点导数的运算法则题点导数除法法则及运算答案解析f(x)，由题意知，f(x0)f(x0)0，即0，解得x0.4.设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用答案2解析令tex，则xlnt，所以函数为f(t)lntt，即f(x)lnxx，所以f(x)1，即f(1)12.5.已知f(x)x33xf(0)，则f(1)_.考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用答案1解析f(x)x23f(0)，令x0，则f(0)0，f(1)123f(0)1.6.设f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(5)1，若h(x)，则h(5)_.考点导数的运算法则题点导数除法法则及运算答案解析f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(5)1，又h(x)，h(5).7.曲线yf(x)在点M处的切线的斜率为_.考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用答案解析y，故f，所以曲线在点M处的切线的斜率为.8.设点P是曲线yx3x上的任意一点，曲线在点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围为_.考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用答案解析y3x2，kf(x)3x2，k.由正切函数图象，得0或.9.若函数f(x)cosx2xf，则f与f的大小关系是_.考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用答案ff解析依题意得f(x)sinx2f，fsin2f，f，f(x)sinx1，当x时，f(x)0，f(x)cosxx在上是增函数，又，ff.10.已知函数f(x)lnx，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为_.考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用答案2解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2.二、解答题11.已知函数f(x)ax3bx2cx过点(1,5)，其导函数yf(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式.考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用解f(x)3ax22bxc，又f(1)0，f(2)0，f(1)5，故解得a2，b9，c12.故f(x)的解析式是f(x)2x39x212x.12.已知函数f(x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为x2y30，求a，b的值.考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用解f(x).由于直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)，故即解得a1，b1.13.已知函数g(x)f(x)x2bx，函数f(x)xalnx的图象在x1处的切线l与直线x2y0垂直.(1)求实数a的值；(2)若g(x)0)，所以g(x)x(b1)，设u(x)x2(b1)x1(x0)，则u(0)10，所以只需解得所以b3.故实数b的取值范围是(3，).三、探究与拓展14.若曲线yx3在点(a，a3)(a0)处的切线与x轴、直线xa所围成的三角形的面积为，则a_.答案1解析由yx3，得y3x2，所以在点(a，a3)处的切线的斜率为k3a2，切线方程为ya33a2(xa)，所以切线与x轴的交点为.所以三角形的面积为|a3|，解得a1.15.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用解(1)由7x4y120，得yx3.当x2时，y，f(2)，又f(x)a，f(2)，由得解得故f(x)x.(2)设P(x