2018-19学年高中数学第三章不等式3.1不等关系学案苏教版.docx

3.1不等关系学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.体会用数学模型刻画不等关系等实际问题的方法知识点一不等关系思考1限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？答案v40.梳理我们可以用不等式(组)来刻画不等关系，以下是常见的文字语言与数学符号之间的转换.文字语言数学符号大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于不足知识点二作差法思考x21与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见你能想个办法，比较x21与2x的大小，而且具有说服力吗？答案作差：x212x(x1)20，所以x212x.梳理依照下列性质：(1)ab0ab；(2)ab0ab；(3)ab0ab，则1.()类型一用不等式(组)表示不等关系命题角度1用不等式表示单个约束条件例1某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系解设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x20.反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系思维要严密、规范跟踪训练1将下列问题转化为数学模型(不求解)(1)出生大一天，终生都是哥；(2)函数f(x)在R上的函数随x的增大而减小考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系解(1)设x(天)为弟弟的年龄，则哥哥年龄为x1，有x1x.(2)设任意x1，x2R，且x1f(x2)命题角度2用不等式组表示多个约束条件例2某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种按照生产的要求，600mm的钢管数量不能超过500mm钢管的3倍怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系解设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根根据题意，应有如下的不等关系：(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm；(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；(3)截得两种钢管的数量都不能为负要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：反思与感悟(1)当问题存在多个制约因素(如上例500mm,600mm的钢管个数)时，可以引入多个变量(如上例用两个变量x，y)(2)当问题存在多个约束条件(如上例总长度不超过4000mm，600mm的钢管个数不能超过500mm钢管个数的3倍等)可以用多个不等式表示不等关系(3)当多个约束条件要求同时满足时，可以用大括号“”联立这些不等式，相当于求这些不等式的解集的交集跟踪训练2(1)试用不等式表示第一象限内距原点距离不超过1的点考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系解设满足条件的点P(x，y)，则x，y满足：(2)三角形任两边之和大于第三边解设ABC三边分别为a，b，c，则类型二作差法比较大小例3已知a，b均为正实数试利用作差法比较a3b3与a2bab2的大小考点实数大小的比较题点作差法比较大小解a3b3(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2)a2(ab)b2(ba)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)当ab时，ab0，a3b3a2bab2；当ab时，(ab)20，ab0，a3b3a2bab2.综上所述，a3b3a2bab2.反思与感悟比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号作差法比较实数大小的一般步骤是作差恒等变形判断差的符号下结论作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式跟踪训练3已知x1，试比较x31与2x22x的大小考点实数大小的比较题点作差法比较大小解(x31)(2x22x)x32x22x1(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)(x1)，20，x10，(x1)0，x31”，“超过”即“”，x95，y380，z45.2已知ab0，bbba解析由ab0，知ab，ab0.又b0，abba.3比较(a3)(a5)与(a2)(a4)的大小考点实数大小的比较题点作差法比较大小解(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70，(a3)(a5)0ab；ab0ab；ab0ab.2作差法比较大小的一般步骤：第一步：作差第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)最后得结论概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键3用不等式刻画不等关系，要注意“大于”、“不小于”之类条件的准确翻译当存在多个条件时，要注意这些条件是“且”还是“或”一、填空题1任意两实数的差的平方是非负实数用不等式可表示为_考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系答案(ab)202设xaaxa2解析xaa2.x2axx(xa)0，x2ax.又axa2a(xa)0，axa2.x2axa2.3甲、乙两人与用人单位签订的薪酬协议分别为：甲每月的薪酬为公差为d的等差数列an；乙每月的薪酬为公比为q的等比数列bn已知甲、乙第一个月的薪酬相等都是a.第12个月甲的薪酬不低于乙把上述条件用不等式表示为_考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系答案a11daq114若abc且abc0，则ab与ac的大小关系是_考点实数大小的比较题点作差法比较大小答案abac解析由abc及abc0，知a0，cac.5b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖(m0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：_.考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系答案解析变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了6四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是_h2h1h4；h1h2h3；h3h2h1.考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系答案解析体积减少一半，h4应为内空高h的一半，h2，h1应大于，且h2h1.7若1a5，1b2，则ab的取值范围是_考点不等式的性质题点不等式的性质答案1,6考点实数大小的比较题点作差法比较大小解析1b2，2b1，又1a5.1ab6.8现有学生若干人，住若干间宿舍，如果每间住4人，则有19人没有住处；如果每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设学生有x人，则x满足的关系式为_(不需要化简)考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系答案06x6解析设宿舍有y间，则4yx19，y.每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，可表示为消去y，得06x6.9若xR，则与的大小关系为_考点实数大小的比较题点作差法比较大小答案解析0.10在数列an中，若an，则an与an1的大小关系为_考点实数大小的比较题点作差法比较大小答案an0，an1an.二、解答题11一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系解据题意可得(x，y，zN)12设x，y，zR，比较5x2y2z2与2xy4x2z2的大小考点实数大小的比较题点作差法比较大小解5x2y2z2(2xy4x2z2)4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2(z1)20，5x2y2z22xy4x2z2，当且仅当xy且z1时取等号13已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：甲乙丙维生素A(单位/kg)600700400维生素B(单位/kg)800400500成本(元/kg)1194若用甲、乙、丙三种食物各xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元，并写出x，y所满足的不等关系考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系解依题意得c11x9y4z，又xyz100，c4007x5y，由及z100xy，得x，y所满足的不等关系为三、探究与拓展14人类能听到的声音频率x不低于80Hz且不高于2000Hz，用不等式表示为_考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系答案80x200015有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别