2018版高考数学复习函数与基本初等函数I2.5对数与对数函数理.docx

第二章 函数与基本初等函数I 2.5 对数与对数函数 理1分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN*，且n1)于是，在条件a0，m，nN*，且n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定(a0，m，nN*，且n1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数【知识拓展】1指数函数图象画法的三个关键点画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(1，)2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，且a1)的图象越高，底数越大【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()na.()(2)分数指数幂可以理解为个a相乘()(3)()(4)函数yax是R上的增函数()(5)函数(a1)的值域是(0，)()(6)函数y2x1是指数函数()1(教材改编)若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过点P(2，)，则f(1)等于()A. B. C. D4答案B解析由题意知a2，所以a，所以f(x)()x，所以f(1)()1.2(2017青岛调研)已知函数f(x)ax22的图象恒过定点A，则A的坐标为()A(0,1) B(2,3)C(3,2) D(2,2)答案B解析由a01知，当x20，即x2时，f(2)3，即图象必过定点(2,3)3已知则a，b，c的大小关系是()Acab BabcCbac Dcbb1，又cba.4计算：_.答案2解析原式5函数y823x(x0)的值域是_答案0,8)解析x0，x0，3x3，023x238，0823x8，函数y823x的值域为0,8).题型一指数幂的运算例1化简下列各式：解(1)原式10.(2)原式思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数化简_.答案解析原式题型二指数函数的图象及应用例2(1)已知实数a，b满足等式2 017a2 018b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个 B2个 C3个 D4个(2)已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0C2a2c D2a2c2答案(1)B(2)D解析(1)如图，观察易知，a，b的关系为ab0或0ba或ab0.(2)作出函数f(x)|2x1|的图象，如图，abf(c)f(b)，结合图象知，0f(a)1，a0，02a1.f(a)|2a1|12a1，f(c)1，0c1.12cf(c)，12a2c1，2a2c1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)(2016衡水模拟)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_答案(1)D(2)1,1解析(1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b1.73 B0.610.62C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1(2)设函数f(x)若f(a)0.62.(2)当a0时，不等式f(a)1可化为()a71，即()a8，即()a3.又a0，3a0.当a0时，不等式f(a)1可化为1.0a0，且a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为_答案(1)(2)或3解析(1)令tx，因为x3,2，所以t，故yt2t12.当t时，ymin；当t8时，ymax57.故所求函数的值域为.(2)令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a1时，因为x1,1，所以t，a，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去)当0a1时，因为x1,1，所以ta，又函数y(t1)22在a，上单调递增，则ymax(1)2214，解得a(负值舍去)综上，a3或a.思维升华(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论；(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解(1)已知函数f(x)的值域是8,1，则实数a的取值范围是()A(，3 B3,0)C3，1 D3(2)已知函数f(x)2x，函数g(x)则函数g(x)的最小值是_答案(1)B(2)0解析(1)当0x4时，f(x)8,1，当ax0时，f(x)()a，1)，所以，1)8,1，即81，即3a0，所以实数a的取值范围是3,0)(2)当x0时，g(x)f(x)2x为单调增函数，所以g(x)g(0)0；当xg(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.2指数函数底数的讨论典例(2016日照模拟)已知函数(a，b为常数，且a0，a1)在区间，0上有最大值3，最小值， 则a，b的值分别为_错解展示解析令tx22x(x1)21，x0，1t0.at1，bbatb1，由得答案2,2现场纠错解析令tx22x(x1)21，x，0，t1,0若a1，函数f(x)at在1,0上为增函数，at，1，b，b1，依题意得解得若0abc BacbCcab Dbca答案A解析由0.20.8，底数0.40.40.8，即bc.又a40.2401，b0.40.2b.综上，abc.4已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为()A9,81 B3,9C1,9 D1，)答案C解析由f(x)过定点(2,1)可知b2，因为f(x)3x2在2,4上是增函数，所以f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9.故选C.5(2015山东)若函数f(x)是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A(，1) B(1,0) C(0,1) D(1，)答案C解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即，整理得(a1)(2x1)0，a1，f(x)3即为3，当x0时，2x10，2x132x3，解得0x1；当x0时，2x10，2x132x3，无解x的取值范围为(0,1)*6.(2016六安综合训练)已知函数F(x)ex满足F(x)g(x)h(x)，且g(x)，h(x)分别是R上的偶函数和奇函数，若x(0,2使得不等式g(2x)ah(x)0恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2) B(，2C(0,2 D(2，)答案B解析因为F(x)g(x)h(x), 且g(x)，h(x)分别是R上的偶函数和奇函数，所以g(x)h(x)ex，g(x)h(x)ex，即g(x)h(x)ex，解得g(x)，h(x)，对x(0,2使得不等式g(2x)ah(x)0恒成立等价于a0，即aexex，设texex，则函数texex在区间(0,2上单调递增，所以0x4，即x23x40，1x0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_答案(0，)解析(数形结合法)由图象可知02a1，0a.9(2016武汉模拟)已知yf(x)是定义在R上的奇函数且当x0时，f(x)，则此函数的值域为_答案，解析设t，当x0时，2x1，0t1，f(t)t2t(t)2.0f(t)，故当x0时，f(x)0，yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)，0故函数的值域为，10当x(