理论力学之动量矩定理课件.ppt

第10章 动量矩定理,问题：为什么动量定理没有自然坐标形式?而质心运动定理有自然坐标形式？,直角坐标,自然坐标,不管是直角坐标还是自然坐标,自然轴坐标系,动量改变,力系主矢,质心运动,力系主矢,物体在移动时运动与受力之间的关系 动量定理(或质心运动定理)。,动量为零 质心无运动,例：匀质圆盘，质心 C 在转轴上。,动量不能反应转动的问题。,物体在转动中运动的量与受力之间的关系动量矩定理,本章的主要内容,1、对固定点的动量矩定理,刚体定轴转动的动力学方程,动量矩改变,力系主矩,本章的主要内容,2、对质心(动点)的动量矩定理,刚体平面运动的动力学方程,动量矩改变,力系主矩,几个有意义的实际问题,谁最先到 达顶点,几个有意义的实际问题,直升飞机如果 没有尾翼将发生 什么现象,跳水动量矩守恒,跳水运动员为什么 在空中可实现空翻和转体的转变 ？,复习力矩概念,10.1 对定点的动量矩定理,1 质点的动量矩,质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩，是固定矢量。,10.1 对定点的动量矩定理,x,y,z,q,O,mv,MO(mv),Mz(mv),r,在国际单位制中，动量矩的单位是 kgm2/s。,一、基本概念,质点对点O动量矩在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩：,质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和。,2 质点系的动量矩,10.1 对定点的动量矩定理,质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的动量矩的代数和。,Lz=Mz(mv),3 定轴转动刚体的动量矩,Jzmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯量.,定轴转动刚体的动量矩(简化为平面问题),转轴垂直刚体质量对称平面,例10-1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度为w，重物A的质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。,解：,LO的转向沿逆时针方向。,10.1 对定点的动量矩定理,刚体对轴 z 的转动惯量,对于质量连续分布的刚体,在国际单位制中，转动惯量的单位是: kgm2。,4、刚体对轴的转动惯量,10.1 对定点的动量矩定理,1. 均质细杆,简单形状物体的转动惯量,10.1 对定点的动量矩定理,2. 均质薄圆环,3.均质圆板,10.1 对定点的动量矩定理,1、转动惯量是刚体转动时惯性的度量。不仅与质量有关，而且与质量的分布有关 2、谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。,转动惯量说明,10.1 对定点的动量矩定理,回转半径(惯性半径)定义为,平行轴定理,由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小。,10.1 对定点的动量矩定理,均质细杆对质心轴回转半径为,思考题：下列计算正确否？,例10-2 如图所示，已知均质杆的质量为m，对 z1 轴的转动惯量为J1，求杆对z2 的转动惯量J2 。,解：由 ，得,(1)(2)得,z,z1,z2,a,b,C,10.1 对定点的动量矩定理,例10-3 均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对轴O的转动惯量。,解：,10.1 对定点的动量矩定理,10.1 对定点的动量矩定理,定轴转动刚体的动量矩(转轴垂直刚体质量对称平面）,例10-4 计算定轴转动刚体的动量矩,对O点的动量矩等于质心的动量乘以质心到转轴的距离。,10.1 对定点的动量矩定理,正确解法,10.1 对定点的动量矩定理,1 、质点的动量矩定理,二、对定点的动量矩定理,质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。,10.1 对定点的动量矩定理,2、质点系的动量矩定理,对质点系每个质点应用动量矩定理并相加,质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于外力对O点的主矩。,10.1 对定点的动量矩定理,10.1 对定点的动量矩定理,运动量(动量矩),作用量(力系的主矩),定点,在应用质点系的动量矩定理时，取投影式,10.1 对定点的动量矩定理,对定轴的动量矩,力对轴的矩,10.1 对定点的动量矩定理,动量矩定理平面的情况,平面上对点的动量矩,平面上力对点的矩,10.2 刚体定轴转动动力学方程,刚体定轴转动动力学方程,条件：转轴垂直质量对称平面,解法1：对定点的动量矩定理(系统),例10-5 均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物质量为m。求重物下落的加速度。,10.2 刚体定轴转动动力学方程,应用对定点的动量矩定理(顺时针为正),解法2：刚体定轴转动动力学方程(轮),取物块为研究对象,补充运动学条件,联立(1) (2) (3)式,解得,10.2 刚体定轴转动动力学方程,10.2 刚体定轴转动动力学方程,思考：以下两个定理的区别？,刚体只有作定轴转动时才成立。研究对象是一个刚体。,平面上刚体对定点的动量矩定理。研究对象可以是一个刚体也可以是个刚体系。,错误解法,10.2 刚体定轴转动动力学方程,a2,思考：以下两种情况轮的角加速度一样吗？,注意事项,必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。,思考题,什么条件下，,？,m=0，忽略滑轮质量。,R=0，忽略滑轮大小,a=0，滑轮匀速转动,注意：以上三种情况下，定滑轮两边的拉力相等。注意和静力学中的区别。,10.2 刚体定轴转动动力学方程,例10-6 图示物理摆的质量为m，C为其质心，摆对转轴的转动惯量为JO。求微小摆动的周期。,解：设逆时针方向为正。由刚体定轴转动的动力学方程，有,当微摆动时，有 sin j j ，,j 0为角振幅，a 为初相位。由初始条件确定。摆动周期为,例10-7 如图所示，啮合齿轮各绕定轴O1、O2转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动惯量分别为J1、J2，今在轮O1上作用一力矩M，求其角加速度。,解：轮1(逆时针),轮2(顺时针),运动学方程,注意：系统有多处有约束的情况，应用动量矩定理时，要拆开。不以整体为研究对象。详细看书中例题10-4,10.2 刚体定轴转动动力学方程,刚体定轴转动动力学方程,10.2 刚体定轴转动动力学方程,刚体定轴转动动力学方程解题步骤,10.2 刚体定轴转动动力学方程,1、判断刚体的运动。运动分析：质心加速度和角加速度。,2、受力分析。,3、应用刚体定轴转动动力学方程。注意转动惯量的计算。,4、有时需要补充方程（动摩擦方程和运动学方程）,5、解方程。,例10-8 水平圆盘绕O定轴转动， rad/s rad/s2。细杆AB，质量m = 0.2 kg,，固定在圆盘上，A点为销子，B点由两销夹住。AO = BO = r，AB= ，r=0.3 m，AOBO。求A、B约束反力。,10.2 刚体定轴转动动力学方程,注意解题步骤,解,1、受力分析,FB,2、运动分析,AB定轴转动,3、刚体定轴转动动力学方程,解除约束前： FOx=0, FOy=mg/2,突然解除约束瞬时： FOx=？,FOy=？,关于突然解除约束问题,例10-匀质杆OA长l、质量为m，其O端用铰链支承，A 端用细绳悬挂，置于铅垂面内。试求将细绳突然剪断瞬时，OA的角加速度，铰链O的约束力。,两种错误的思维,作法1 在细绳未被剪断瞬时，杆O 端约束力为FOy = mg/2。而细绳被剪断瞬时，杆OA 还未运动，所以仍有FOy = mg/2”。 作法2 “细绳未被剪断瞬时，O 端与细绳各承受约束力。细绳被剪断瞬时，已不能承受原承受的，只能由铰链O全部承受。所以该瞬时FOy = mg”。,突然解除约束问题系统的自由度要增加；运动一阶量（速度，角速度）是连续的，即为零。运动二阶量（加速度，角加速度）是突变的,解：1、运动分析,突然解除约束瞬时，杆OA将绕O轴转动， 0， 0。,2、受力分析,3、刚体定轴转动动力学方程,当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持不变。,质点系动量矩守恒定律,3、质点系的动量矩守恒,10.1 对定点的动量矩定理,1、受力分析,2、运动分析,设绳子速度为 u,动点：B，动系绳子,B,A,动点：A，动系绳子,3、动量矩守恒,动量矩守恒,强与弱不分胜负,质点系动力学两个矢量系动量系和外力系,力系：,力系两个特征量：,力系的主矢,力系的主矩,质点系动力学两个矢量系动量系和外力系,动量系：,动量系两个特征量：,动量系的主矢,动量系的主矩（定点）,质点系动力学两个矢量系动量系和外力系,动量系和力系的关系,动量系特征量的变化等于力系的特征量,质点系动量定理,质点系相对定点动量矩定理,质点系动力学两个矢量系动量系和外力系,投影形式,衡量质点系整体沿三轴的移动,衡量质点系绕过固定点三轴的转动,外力系与动量系之间的关系,刚体定轴转动动力学方程为上述特殊情形,10.3 刚体平面运动动力学方程,1、动量矩的主矩定理,质点系对质心C的动量矩比较容易计算，利用上式计算质点系对点B的动量矩。,若A点是质心C则,10.3 刚体平面运动动力学方程,2、对质心相对运动动量矩,设质点mi相对质心的速度vir,质点处建立平动坐标系，则i点的绝对速度,对质心绝对运动动量矩,对质心相对运动动量矩,10.3 刚体平面运动动力学方程,2、对质心相对运动动量矩,10.3 刚体平面运动动力学方程,由质心坐标公式，有,对质心绝对运动中的动量矩等于对质心(平动系)的相对运动中的动量矩。,10.3 刚体平面运动动力学方程,利用此关系计算刚体对质心的动量矩更方便。,平面运动刚体,平动刚体,10.3 刚体平面运动动力学方程,平面运动刚体对质心的动量矩,平移刚体对质心的动量矩,定轴转动刚体对转轴的动量矩,刚体平面运动其他点动量矩的计算： 1、先计算动量（画在质心处）和对质心的动量矩 2、计算动量矩(类似力矩计算）,C,mvC,JCw,计算对O的动量矩,思考题：计算10-2（计曲柄质量m),w,v2,v3,D,轮3上的D点速度,vD,曲柄：定轴转动,轮2：平面运动,轮3：平动,思考题：计算10-2（计曲柄质量m),曲柄：定轴转动（顺时针）,轮3：平动,轮2：平面运动,JC2w2,计算略,3、相对质心的动量矩定理,由动量矩的主矩定理得（B是定点）,对时间t取导，并应用对定点的动量矩定理。,上式第二项为零，由力矩的主矩定理,得,相对质心的动量矩定理,质点系对质心的动量矩对时间的变化率等于作用在质点系的外力对质心的主矩。,如果外力对质心的主矩为零，则质点系对质心的动量矩守恒。,相对质心的动量矩定理,运动量(动量矩),作用量(力系的主矩),动点,刚体平面运动动力学方程,刚体平面运动动力学方程,平面运动刚体：,必须是质心,杆AB在光滑水平面上，静止，质量m = 0.24 kg，长l = 0.4 m，今作用一力F于D，AD = 0.1 m，F = 3 N，求点B加速度aB。,例 题10-11,解：AB作平面运动，瞬时w=0,基点法,刚体平面运动动力学方程解题步骤,1、判断刚体的运动。运动分析：质心加速度和角加速度。,2、受力分析。,3、应用刚体平面运动动力学方程。,4、列补充方程（动摩擦方程和运动学方程）,5、解方程。,例 题10-12,已知： 初始静止, m ，R, f ， 。,就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。,、斜面光滑 、斜面足够粗糙 、圆盘既滚又滑,(1) 斜面光滑,解：取圆轮为研究对象,受力分析,运动分析 (圆轮做平面运动),圆轮做平移,(2)斜面足够粗糙,纯滚动运动学条件,由 得：,满足纯滚的条件：,摩擦力方程,(3) 圆盘既滚又滑,地面对车轮摩擦力的方向,C,匀质轮静止在地面,1、地面若光滑,mg,FN,轮平移,2、地面若粗糙，摩擦力向左,轮心C作用力F1,F2,地面对车轮摩擦力的方向,C,匀质轮静止在地面,1、地面若光滑,mg,FN,轮定轴,2、地面若粗糙，摩擦力向右,轮作用力偶M1,F3,M1,地面对车轮摩擦力的方向,匀质轮静止在地面,轮作用力F4,D,摩擦力向左还是向右，通过计算确定。,车轮摩擦力,1、车轮纯滚动,摩擦力是静摩擦。方向任意假设。,2、车轮又滚又滑,摩擦力是动摩擦。方向不能假设。,刚体平移的动力学方程（二维）,必须是质心,刚体定轴转动动力学方程的两种形式,图示匀质长方体的质量为50kg，与地面间的动滑动摩擦系数为0.20，在力P作用下向右滑动。求： （1）长方体只滑而不倾倒时，P的最大值； （2）此时长方体的加速度。,例 题10-13,解：长方体(平动),1、受力分析,FN,Fd,2、运动分析,例10-14 均质杆质量m，长l，其中一绳突然断了，求瞬时另一绳张力。,解：受力分析和运动分析,刚体平面运动动力学方程,绳断瞬间，A点做圆周运动。,A为基点，则C点的加速度为,补充方程,刚体平面运动方程的补充:质心加速度和角加速度之间的关系.一般选择基点法。,下列问题应该怎样处理？（课后思考）,O端是个刚性系数为k的弹簧,位移、速度、在突然解除约束前后是连续的。,补充的是力的条件，处的加速度将为两