线性代数-向量及其线性运算.ppt

,Econ_swun Password:111111,2.2 维向量,一 维向量,三 应用举例,二 向量的运算,五 向量空间,四 向量组与矩阵,注意：集中精力，仔细理解,确定飞机的状态，需 要以下6个参数：,飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组,、引入,一、维向量（Vector）,、定义,个数 组成的有序数组,称为一个维向量，其中 称为第 个分量.,记作,如：,维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，,如：,记作,.,维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，,（Row Vector）,（Column Vector）,注意,、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；,、当没有明确说明时，都当作实的列向量.,几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即,n = 2, 3 且 F 为实数域的情形.,在 n 3 时，n 维向,量就没有直观的几何意义了.,我们所以仍称它为向,量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊,另一方面也由于它与通常的向量一样可以定,义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取,这样一个几何的名词有好处.,以后我们用小写希腊字母 ， 等来代表向,量.,情形，,三、n 维向量的运算,1. 两个向量相等,定义 2 . 3 如果 n 维向量, = ( a1 , a2 , , an)T, = (b1 , b2 , , bn )T,的对应分量都相等，即,ai = bi ( i = 1, 2, , n ) ,就称这两个向量是相等的，记作 = .,2. 向量的加法,1) 定义,定义 2 . 4 向量, = ( a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn )T,称为向量, = ( a1 , a2 , , an)T, = (b1 , b2 , , bn )T,的和，记为, = + .,2) 运算规律,交换律 + = + .,结合律 + ( + ) = ( + ) + .,4) 负向量,定义 向量 ( - a1 , - a2 , , - an )T 称为向量, = (a1, a2, , an) 的负向量，记为 - .,显然，对于所有的 ，都有, + 0 = ， + ( - ) = 0 .,5) 向量减法运算,定义 - = + ( - ) .,3. 数量乘积,定义 2 . 5 设 k 为数域 F 中的数，向量,( ka1 , ka2 , , kan ),称为向量 = ( a1, a2, , an ) 与数 k 的数量乘积，,记为 k .,1) 定义,向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运,算.,显然，数域 F 上的向量经过线性运算后，仍,为数域 F 上的向量.,2) 运算规律,k ( + ) =k + k , (k + l ) = k + l , k ( l ) = ( kl ) , 1 = , 0 = 0 , (-1) = - , k 0 = 0 .,如果 k 0, 0, 那么,k 0 .,3、向量与矩阵的关系,其第个列向量记作,个维行向量.,按行分块,按列分块,个维列向量.,其第个行向量记作,矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,三、向量组、矩阵、线性方程组,向量组 称为矩阵的列向量组.,对于一个 矩阵有个维列向量.,记作：,向量组 为矩阵的行向量组,类似的，矩阵有个维行向量.,四、线性方程组AX=b的向量表示,方程组的解x1=c1, x2=c2,., xn=cn,可以用n维列向量： x=（c1,c2,., cn)T 来表示。此时称为方程组的一个解向量。（P78）,例,维向量的集合是一个向量空间,记作 .,五、向量空间,1、定义,设为维非空向量组，且满足,对加法封闭,对数乘封闭,那么就称向量组为向量空间（Vector Space）,解,任意两个维向量的和仍是一个维向量；,任意维向量乘以一个数仍是一个维向量,所以，所有维向量的集合构成一个向量空间.,易知 该集合对加法封闭，对数乘也封闭，,向 量,几何形象：可 随 意 平行移动的有向线段,代数形象：向 量 的 坐 标 表 示 式,2、结构,空 间,2.3 向量间的线性关系,回忆：向量线性运算,数乘,规定,称为数与向量的数量积.,设=k，那么两个向量之间是什么样的关系？ 引申到多个向量，关系又如何？,向量 能 由向量组 线性表示,一定义, 若k，则称向量与成比例, 零向量是任一向量组的线性组合, 任一维向量,都是基本向量组,的一个线性组合,事实上，有, 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示,b能够为1，2，n线性表示：,令x1，x2，xn分别为1, 2,., n，则以上线性组合可以表示为：,定理1,注意:,定义,二、线性相关性的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,相关结论P92例3-4,定理 向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；,定理 向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.,二、线性相关性的判断准则P91,推论 个维向量线性相关 .,推论 个维向量线性无关 .,P91定理,解,例,1、设向量组,线性相关，则 .,2、设向量组,自己练习：,证法,进一步：P94 定理2.6,向量组线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示,定理,向量组线性无关任何一个向量都不能由其向量线性表示,定理,P96 例题9,如果向量组,线性相关，则可由唯一线性表示.,线性无关，而向量组,证,设,线性无关，而向量组线性相关，,，（否则与线性无关矛盾）,可由线性表示.,即有,下证唯一性：,两式相减有,线性无关，,即表达式唯一.,设,性质,设向量组,若线性相关,则向量组也线性相关；反之，若,向量组线性无关，则向量组也线性无关.,P95 例7,此时A称为B的一个部分组。,说明：,P95 例8,. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程