材料力学第八章压杆的稳定性.ppt

第八章 压杆的稳定性,8-1 压杆稳定性的概念,受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式：,1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到材料的极限应力，为强度破坏。,2）细长的直杆，其破坏是由于杆不能保持原有的直线平衡形式，为失稳破坏。,工程中存在着很多受压杆件。,对于相对细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是由于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平衡形式而失效。,1. 两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在力F作用下将保持原有直线平衡形式。,此时，在其侧向施加微小干扰力使其弯曲，当干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。可见这种直线平衡形式是稳定的。,2. 当压力超过某一数值时，如作用一侧向微小干扰力使压杆微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平衡形式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形式不稳定。,这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳。,压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时，轴向压力的临界值，称为临界力或临界荷载，用Fcr表示。,刚体平衡,其它一些构件的稳定性问题,8-2 细长压杆的临界力,在临界力Fcr作用下，细长压杆在微弯状态下平衡， 若此时压杆仍处在弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似 微分方程及杆端约束条件求解临界力Fcr。,一、欧拉公式,设两端铰支的细长压杆在临界荷载Fcr作用下，在xOw平面内处于微弯状态。,1.两端铰支的细长压杆,挠曲线近似微分方程为,EIw“ = -M(x),x截面的弯矩为,M(x) = Fcr w,EIw“ =-Fcr w,EIw“ +Fcr w =0,令,w“ +k2w =0,得,二阶常系数线性微分方程,由杆的已知位移边界条件确定常数,x = 0，w = 0,x = l，w = 0,得 B = 0，w =Asinkx,得 Asinkl = 0,由 Asinkl=0 得 A=0（不可能）,或 sinkl = 0,即 kl = n (n = 0,1,2）,其通解为,w =Asinkx+Bcoskx,A、B、k待定常数,w“ +k2w =0,(n = 0,1,2）,最小的临界荷载（n=1）,（Euler公式）,压杆的挠曲线方程为,（半波正弦曲线）,w0= A,w =Asinkx+Bcoskx,k = /l,A是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。,F与中点挠度w0之间的关系,（1） 若采用近似微分方程，则F与如折线OAB所示；,（2） 若采用精确的挠曲线微 分方程，则可得F与w0之间的 关系如曲线OAB所示；,（3） 实际工程压杆F与w0之 间的关系如曲线OB所示。,2.不同杆端约束下压杆的临界力,类比法,一端固定一端自由的细长压杆，长度2l范围内与 两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。,两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。,类比法,一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内 与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。,类比法,Euler公式的统一形式,约束越强，越小，临界力Fcr越大。,长度因数,l相当长度,一端固定一端自由,一端固定一端铰支,两端固定,两端铰支,=1.0,=2.0,=0.5,=0.7,公式讨论,2.当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端），压杆只可能在最小抗弯刚度平面内失稳，即I取Imin值；,1. Fcr与抗弯刚度成EI正比，与相当长度l的平方成反比；,最小抗弯刚度平面：形心主惯性矩I为最小的纵向平面,如矩形截面的Iy最小，xOz平面为最小抗弯刚度平面。,3.当杆端约束情况在各个方向不同时，如图柱形铰， xOz平面内为铰支（可绕y轴自由转动）， xOy平面内为固定端（不能转动）。计算临界荷载应取I与2比值的最小值，压杆在相应的平面内失稳。,压杆在 xOz平面内失稳时：,=1.0， I= Iy,计算临界力Fcr 1,压杆在 xOy平面内失稳时：,=0.5， I= Iz,计算临界力Fcr 2,临界力Fcr为两者中较小的值。,4.实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据 具体情况选取适当的长度系数值。,5.实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会 有小的偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可 以在安全因数里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式 计算其临界荷载。,8-3 压杆的柔度与压杆的非弹性失稳,当压杆在临界荷载Fcr作用下，并仍处于直线形式的 平衡状态时，横截面上的正应力称为临界应力。,一、压杆的临界应力与柔度,则有,称为压杆的柔度（或细长比），它综合反映了 压杆的几何尺寸和杆端约束对压杆承载能力的影响。,二、欧拉公式的适用范围,推导欧拉公式时， 杆处于弹性状态,cr P,故欧拉公式的适用条件,满足该条件的压杆称为细长杆（或大柔度杆）。,P,为材料参数，不同的材料有不同的值。,如Q235钢，,三、非弹性失稳压杆的临界力,为弹性失稳,压杆的失稳称为非弹性失稳,cr P,此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据 的经验公式来计算这类压杆的临界应力cr 。如直线公式,cr=a-b ,a、b为与材料有关的常数，由试验确定。,如Q235钢，,a=304MPa,b=1.12MPa,压杆将发生强度破坏，而不是失稳破坏。,故直线公式的适用范围,P cr u,称为短粗杆(小柔度杆),称为中长杆(中柔度杆),四、失效应力总图,细长杆（或大柔度杆），欧拉公式,称为中长杆(中柔度杆)，直线公式,短粗杆(小柔度杆)， 强度破坏,例 TC13松木压杆,两端为球铰。压杆材料的 比例极限p=9MPa,强度极限b=13MPa，弹性模 量E=1.0104MPa。压杆采用面积相同的两种截面: (1)h=120mm,b=90mm的矩形。 (2)b=104mm正方形。 试比较二者的临界荷载。,解：,(1).矩形截面,该压杆为细长杆,临界力用欧拉公式计算:,(2).正方形截面,该压杆为中长杆,例 一压杆,长l=2m,截面为10号工字钢,材料为Q235钢,s=235MPa,E=206GPa,p=200MPa。压杆两端为柱形铰。试求压杆的临界荷载。,解：先计算压杆的柔度。,在xz面内，压杆两端可视为铰支，=1。查型钢表，得iy=4.14cm，故,在xy面内，压杆两端可视为固支，=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm，故,压杆将在xy面内失稳,Q235钢,故压杆为中长杆,临界应力:,横截面面积:,临界力:,8-4 压杆的稳定计算,一、压杆的稳定条件,压杆的稳定条件为,nst为稳定安全因数；Fst为稳定容许压力。,用应力表示的稳定条件为,st为稳定容许应力。,nst的选取除了要考虑在选取强度安全因数时的 那些因素外，还要考虑影响压杆失稳的其它不利因 素，如初曲率、荷载偏心等。,二、压杆的稳定计算,1.安全因数法,2.折减因数法,或,称为折减因数；小于1大于0。,随柔度变化，与的关系可查规范。,例 由Q235钢制成的千斤顶如图。丝杆长l=800mm，直径d=40mm，上端自由，下端可视为固定。材料E=2.1105MPa。若该丝杆的稳定安全因数nst=3，是求该千斤顶的最大承载力。,解：先求丝杆的临界压力Fcr,Q235钢,故丝杆为细长杆,例 某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料 为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱 的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱=1.3 ， 受260kN的轴向压力，材料的=170MPa。 （1）求两槽钢的间距h。 （2）校核钢柱的稳定性和强度。,解：(1) 确定两槽钢的间距h,钢柱两端约束在各方向均相同，因此，最合理的设计应使Iy=Iz , 从 而使钢柱在各方向有相同的稳定性。,单根16b号槽钢的截面几何性质可由型钢表查得为:,A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4， z0=1.75cm，=10mm,由平行移轴公式，钢柱截面 对y轴的惯性矩为,Iy =2Iyo+A(z0+h/2)2,由Iy = Iz的条件得到,2934.5=283.4+25.15(1.75+h/2)2,整理后得到,12.58h2+85.51h-1566.83=0,解出h后,舍弃不合理的负值,得h=8.23cm 。,A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm =10mm,(2)校核钢柱的稳定性,钢柱两端附近截面虽有螺栓孔 削弱,但属于局部削弱,不影响整体 的稳定性。,钢柱截面的和i分别为,A=25.15cm2，Iz=934.5cm4，Iy0=83.4cm4，z0=1.75cm，=10mm,查表得 = 0.308，所以,=0.308170 MPa =52.4MPa,而钢柱的工作应力为,钢柱满足稳定要求。,(3)校核钢柱的强度,对螺栓孔削弱的截面,应进行强度校核。该截面上的工作应力为,故削弱的截面仍有足够的强度。,例 桁架中,上弦杆AB为Q235工字钢,材料的容许 应力=170MPa,已知该杆受250kN的轴向压力的作 用,试选择工字钢型号。,解: 在已知条件中给出了值，但对nst没有明确要求， 所以应按折减因数法来进行截面设计。其尚未知，取 决于，而又与截面尺寸有关，因此，需用试算法。,先假设=0.5，得,选18号工字钢，A=30.6cm2，imin=2.0cm。=1,查表得=0.186，需做第二次试算，令,选22b工字钢，A=46.4cm2，imin=2.27cm。=1,查表得=0.234，还需试算，令,选28a工字钢，A=55.45cm2，imin=2.495cm。=1,查表得=0.276，可结束。,校核其稳定性：,压杆的临界荷载越大，压杆越不容易失稳。临界荷载 取决于压杆的长度、截面形状和尺寸、杆端约束及材料的 力学性质等因素。,1. 在截面面积不变的前提下，尽量使材料分布得离形 心较 远，以增大I值，从而增大压杆的临界荷载。,8-5 增强压杆稳定性的措施,一、选择合理的截面形式,2.尽量使压杆各个方向具有相同的稳定性。,实心变空心等,组合而成的压杆必须同时保证整体的稳定性和每一分支 的稳定性，最合理的情况是整体与分支具有相同的稳定性。,1.压杆越细长，稳定性越差，因此，应尽可能减小杆 的相当长度，以提