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第四章 向量空间,平面上的向量的全体：,任意,规定加法和数乘为：,易见向量的加法和数乘满足矩阵的8条运算规律.,于是 就是平面上全体向量的集合，具有两个封闭的运算（加法和数乘），这两个运算适合8条规律.,4.1 向量的定义及运算,同样，（欧式）空间中的向量视为,即实数域上所有三维向量的全体. 类似地规定向量加法和数乘，加法和数乘运算也适合8条规律.,n维行向量和n维列向量都称为n维向量(vector)，n维向量常用小写黑体字母表示.,将2、3维向量推广到n维向量.,定义4.1.1 由n个数构成的有序数组，记作,称为n维行向量；若记作,则称 为n维列向量. 称数 为 的第i个分量.,例：,例：n-1次代数多项式,系数向量,n维向量的实际意义：,时， 维向量没有直观的几何形象,例：确定飞机的状态，需要以下6个参数：,飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需用6维向量,定义4.1.2 设两个向量,则称向量与相等，记作=.,（1）如果它们对应的分量分别相等，即,（3）数量乘法：k为实数，称向量,（2）加法：称向量,为与的和，记作,为 k与的数乘，记作,（5）称 为的负向量，记作 -. 因而可以定义向量的减法运算：,（4）分量全为0的向量 称为零向量，记作0（注意区别数零和零向量）.,对任意的n维向量,及任意的数k,l，向量的线性运算满足下面八条基本的运算规律：,向量的加法以及数与向量的数乘统称为向量的线性运算，这些运算可归结为数（分量）的加法与乘法. 显然，向量的线性运算是矩阵的线性运算的特殊情形.,定义4.1.3 全体n维实行向量构成的集合 ，对于上面定义的向量加法、实数与向量的数乘运算，构成n维（实）行向量空间；,类似地，定义n维（实）列向量空间 ；,用符号 表示 或 ，称为n维（实）向量空间.,例4.1.1 设 求,解：,得到的向量 称为向量组 的线性组合，或称 可由 线性表出.,定义4.1.4 给定 中的向量 实数,经线性运算,两个向量的线性组合的几何示意图,证明：由向量的线性运算，得,即,例4.1.2 向量 和 的几个线性组合：,例4.1.5 令 ， 能否 写成 和 的线性组合？,解：根据定义，问题即判断向量方程,是否有解. 即,利用初等行变换将增广矩阵化成行最简形：,解是,因此 可以写成 和 的线性组合：,其增广矩阵为,当 是行向量空间时，上式两端转置，得,当 是列向量空间时，其增广矩阵为,有无解.,一般地，判断 能否由向量组 线性表出，即判断向量方程,线性方程组的向量表示形式,定义4.1.5 设 由 的 所有可能的线性组合构成的集合称为由 张成（生成）的 的子集，记为 即,若 和 是非零向量，且不共线，则 表示由向量 和 确定的平面.,从几何上看，若 是非零向量，则 表示由向量 确定的直线.,例4.1.6 令
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