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文档简介

习题讲解,第二章 点集,7.证明： 开集减闭集的差集是开集， 闭集减开集的差集是闭集,证明：利用A-B=ABc， 开集的余集是闭集，闭集的余集是开集， 以及有限个开集的交仍是开集， 有限个闭集的交仍是闭集即得。,要证E=x|f(x)a是开集，只要证中的点都为内点,由f(x)在x0处连续及极限的保号性知， 存在0,当|x-x0|a,证明：任取x0 E =x|f(x)a,则f(x0 )a,类似可证x|f(x)a为开集, 从而x|f(x)a =x|f(x)ac是闭集,即U(x0 , ) E =x|f(x)a, 即x0为E的内点，从而E为开集；,注：用到了 极限保持不等号 前面的证明用了 极限的保号性,另证：要证E=x|f(x)a是闭集，只要证,任取x0 E = x|f(x) a ,则存在E中的点列xn , 使得,由f(x)在x0处连续及f(xn)a ，可知f(x0)a 所以x0 x|f(x) a ,从而x|f(x)a 是闭集.,类似可证x|f(x)a 为闭集, 从而x|f(x)a = x|f(x) a c是开集,证明：设F为闭集，取 则Gn为开集，,9. 每个闭集必是可数个开集的交集， 每个开集必是可数个闭集的并集.,任取,任取,从而,通过取余集,即得每个开集必是可数个闭集的并.,再由 为闭集,可得 所以 ，联系前证有 从而每个闭集必是可数个开集的交，,11. f(x)是a,b上的连续函数的充分必要条件是对任意实数c，E=x|f(x)c和E1=x|f(x)c都是闭集,证明：我们只要证明充分性：,11 f(x)是a,b上的连续函数充分必要条件为对任意实数c， E=x|f(x)
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