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“变换”出彩汪佳明 宁波中学初中部兴宁中学数学组 （315100）摘要：数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科。可见“变换”的运动观点在几何学中是很重要的。几何变换是指把一个几何图形F1变换成另一个几何图形F2的方法。初中阶段涉及了四种变换，其中“轴对称、平移、旋转”变换后所得的新图形F2与原图形F1之间仅仅是位置发生了变化，其形状和大小都没有改变，它们刻画了两个全等图形特定的位置关系，而相似变换保留了几何图形F1与F2线段间的比例关系，而图形本身的大小要改变。 不同变换之下的图形都具有各自不同的性质，这些性质不仅能为推理提供依据，同时也是解决许多实际问题的重要工具。本文旨在从解题方法与策略入手，通过实例来探讨这几种变换的应用。一、平移变换通过平移把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与代求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决。平移变换应用时，可采用下列的方法把图形中的某个条件平移把结论中的线段、角或图形平移把图形中的某个条件和结论同时平移例1：如图，在一块长20m，宽10m的矩形地面上，修建两条宽度分别是2m和3m的小路且小路的宽度处处相等，其余部分栽种花草，求花草的面积。3m2m分析：此类题目较常见，只需抓住小路的宽度处处相等，把四块不规则的草地图形通过平移，拼成一个长为17m宽为8m的长方形，其面积即为花草面积。属于方法中的，把不规则的部分图形通过平移后能够重整为一个规则或易求的几何图形，这也提供了一个求面积的方法。CABDOE例2：如图，AB=CD=1，BOD=60求证：AC+BD1分析：如图添辅助线，平移AC至DE，构造了BDE，由平移性质BAE=BOD=60，四边形DEAC是平行四边形，所以AB=CD=1=AE=BE，在BDE中，BD+DEBE；当AC/BD时BD+DE=BE。此题由结论出发，联想到应用三角形的三边不等关系，通过把图形中的线段AC平移，使得AC、BD两条线段集中到一个三角形中，充分利用了平移是全等变换的特性。例3：以浙教版七年级（下）课后作业题中的造桥选址问题引出：如图在AB之间有两条河，则两条河上的桥（桥与岸垂直）分别建在何处才使A到B的路程长最短？河1与河2平行 河1与河2不平行 河1与河2垂直分析：以为例，此题利用作业题中的造桥选址问题进行类比联想，设法将两条河都转化为没有宽度的直线，即将A向下平移河1的宽度至A1，将B向上平移河2宽度至B1，连结A1、B1，交两河于C、E，再作垂线段CD、EF，即为所求作的两座桥。通过平移在河上造桥问题也就转化为在直线上找点的问题了，由“两点之间线段最短”可知两直线的交点就是该点的位置。、两题的作法同理。由上几例的计算、证明和作图中，我们不难发现平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质；平移变换还可将角、线段、图形等移到适当的位置，使得分散的条件相对集中，便于我们运用公式、定理等来解决问题。二、旋转变换遇到下列情形中常实施旋转变换：图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角定为60或90图中有线段的中点，将图形绕中点旋转180，构造中心对称的全等图形 图中出现了公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合。例4：如图，ABC中，C=90，四边形EDFC是正方形，AD=6，DB=3，求阴影部分的面积和。分析：通过求直角边AE、ED、DF、BF来求面积：设正方形EDFC的边长为x,则DF=x,又由AEDDFB得BF=x/2，所以x2+(x/2)2=32,随即可求出AE、DF的长，完成此题。此法综合运用了相似、勾股定理和列方程的思想，较繁琐，此题属于，如果根据DE=DF，DEH=DFB=90，可将DFB绕着点D逆时针旋转90得到DEH，必有A、E、H共线，ADH=90，再根据旋转不变性DH=DB=3，原图形中的两块阴影部分就合并成了边长为6和3的直角三角形，利用直角三角形的面积公式直接可算得为9，省去了解方程的计算。例5：如图，ABC中，D是BC的中点，DEDF，判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。分析：以D为旋转中心，将BDE逆时针旋转180得到CDP，由已知可得EF=PF，在CFP中，CP+CFFP,所以BE+CFEF。这里从所比较的线段入手，利用旋转把他们集中于一个三角形中之中，此题属于例6：如图，四边形ABCD中，AB=AD，(1)BAD=BCD=90， BC=b,CD=a,求AC(2) BAD=60,BCD=30 ,BC=5,CD=3,求AC(3) BAD=90,BCD=30 BC=5,CD=3,求AC（1）（3）（2）分析：此三小题目中均出现了公共端点的线段AB、AD，根据将含有相等线段AB、AD绕公共端点A旋转两相等线段的夹角90、60、90后与另一相等线段重合，分别得到了斜边是a+b的等腰RtACC、直角边长是3和5的RtCBC、边长是3、5及夹角是120的斜DCC，再通过解三角形得到（1）（2）（3）因此依据的方法，可以构出如图的基本模型，解两个三角形DCC和顶角为a的等腰三角形ACC必可解出AC的值。三、相似变换从变换的角度来说，相似图形是将经位似变换所得的像进行平移后得到的。探索相似多边形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小。从实际操作意思上讲可以利用位似的性质作出一个多边形的内接图形。例7：作出ABC的内接等边三角形、内接正方形分析：利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小。为了使作图方便，位似中心可取B点，在AB、BC上分别取一点D、E，以DE为边做一个等边DEF，利用位似变换的作图方法，把DEF放大或缩小，使DEF的各顶点分别落在ABC上,当然若D、E两点取的位置不同，作出DEF的位置可能也不同，大小也不同。类似方法也可以作出ABC的内接正方形。四、轴对称变换我们在解题时应当充分利用问题自身条件的某些对称性分析问题，在探究几何及代数式的最值方面有广泛的应用。牛饮水、弹子游戏、平面成像、光线的反射、斯诺克台球（可通过撞击桌壁的一边、两边、三边来击中另一个球等），利用图形的轴对称性是解决此类问题的主要工具，由于这些问题比较常见，这里不再赘述。下面通过一个例子来说明平移、轴对性和线段公理综合运用的一个模型。例8：如图在平面直角坐标系中，A(2,3),B(5,-2),M、N是在x轴上，P、Q是在y轴上，MN=PQ=1（M在N的左侧，P在Q的上方）求下列路径的最小值。 分析：题就是牛饮水问题，即在Y轴上选一点P，使得AP+PB最小。如图2，作A关于Y轴的对称点A，连结AB交Y轴于P，所以最短路径长为AB=题如图3，因为MN是定长1，于是把B向左平移1个单位长度，可类似的想象成M、N缩成了一点，所以又转化为题，在Y轴上找一点P，使得AP+PB最小，最短路径长为AB+MN= 如图4，与类似，PQ为定长1的线段且在Y轴上，只需作A的对称点A并将其向下平移一个单位，转化为求A与B之间的最短距离，所以可得最短路径为AB+PQ=+1此模型赋予它具体的背景就可以用来解决例如以下的实际问题：如图河岸L同侧有A、B两个居民小区，现计划在河边建一个长a米宽b米的矩形公园（公园用CDEF表示，DE边与河岸重合,CF=a米,CD=b米）C、F处分别是公园的大门(门口宽度忽略不计),怎样建才能使小区A到大门C的距离与小区B到大门F的距离之和最小? 解析：因为公园一边与河岸重合，所以对边在平行于河岸且与河岸的距离为b的直线上，所以将L向上平移b米距离得L1，将B向左平移a米距离至B1，按牛饮水的作法找到C，再将C向右平移a米距离即为F，过C、F分别作L的垂线，垂足分别为D、E，则CDFE即为所建的矩形公园，连结AC、BF，满足AC+BF最小。轴对称性在求一类代数式的最小值问题中也有应用。例9：已知a,b均为正数，且a+b=2, 求的最小值分析：若用代数方法很难解决，这里可以运用数形结合的思想将代数式构建一个几何图形。如图，探究原代数式的几何意义，先构造两个边长为2和 a及1和4-a的直角三角形，它们的斜边长之和就是W，要求W的最小值，就是要在线段