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统计学中的几个问题,北京市第十五中学 凌艺国,平均数的陷阱 样本与总体 辛普森悖论 选举与选举方式 名额分配,小李大学毕业了，他需要找一份合适的工作。一天，他看到一个小厂的招工启事。其中工资一项工厂承诺：所有人员平均工资一个月1200元。小李觉得这个报酬还可以，于是去应聘并成为这个工厂的一员。 工作一个月后，小李领到了工资，自有800元。气愤的小李去找厂长问原因。,平均数的陷阱,厂长解释说：我们工厂里共有20人，我厂长每个月4000元，4个管理人员，没人每月2000元，剩下15个像你这样的工人，没人每月800元。你算算看，没人的平均工资是不是1200元？我们的招工启事上的承诺就是这样的，一点错都没有呀。,平均数的陷阱,算术平均：总值除以总项数 中位数：把数据按大小顺序排列，处于中心位置的数值。如果数值有奇数个，则中位数就简单取中间项的值。如果有偶数项，中位数往往取中间两项的算术平均 众数：数项中出现次数最多的值,平均数的陷阱,算术平均容易受少数极端数值的影响，事实上，很多和钱有关的分布，如收入、房价、财富等，都有很强的右偏现象，用算术平均往往会给人以歪曲的印象。 从统计学角度看，用中位数和众数表达，最大的好处是不受两头的影响。对一些有偏的分布，用中位数和众数往往能更好地反映情况。一般而言，有关收入的统计若用中位数和众数来表述，较为公平。,平均数的陷阱,北京市统计局关于公布2011年度北京市职工平均工资的通知 京人社规发201287号 2012年04月06日 各有关委、办、局，各控股（集团）公司、企业（集团）公司，各区县人力资源和社会保障局、各社会保险经代办机构： 现将2011年度全市职工平均工资公布如下： 2011年度全市职工平均工资为56061元， 月平均工资为4672元，比上年增长11.2%。 凡按2011年度全市职工平均工资计算的事项，均按本通知标准执行。 市人力资源和社会保障局 北 京 市 统 计 局 二一二年四月六日,平均数的陷阱,值此岁末年初之际，各行各业职工一年来薪酬几多，是社会广泛关注的话题。放眼三百六十行，银行业无疑是高收入行业。2010年度，16家上市银行职工人均年收入8.43万元。其中，浦发银行人均年收入最高，达24.42万元。据了解，2011年度银行职工薪酬增长幅度较大。初步估算，16家上市银行2011年度职工总数为1826605人，人均收入达到12.27万元。,平均数的陷阱,魔术家大卫.科波菲尔提出一个数学魔术：只要走动一个人，就可以使整整两个国家增加他们的平均国民收入 请你想想，为什么？,魔术家的数学魔术,大卫.科波菲尔的方法： 比如韩国与朝鲜，韩国的人均年收入是23000美元，朝鲜的是1000美元，现在一位年收入20000美元的韩国人调到朝鲜工作，年薪不变。这样两个国家的人均收入都得到提升。,魔术家的数学魔术,一个小镇有大小两所医院。在大医院里每天大约有45个婴儿出生，在小医院里每天大约有15个婴儿出生。我们知道，大约有50%的婴儿是男孩。当然，真正的百分比每天都不一样，有时候高于50%，有时候低于50%。在一年的时间里，每一所医院都记录了出生的男孩比例高于60%的天数。你认为哪一个医院记录的天数多？大医院、小医院，还是基本一致？,男婴的比例,正确答案是：小医院 样本的大小对统计的波动影响很大 在其他因素保持不变时，较大的样本总是能够更精确的估计出总体的情况，样本越小，波动就越可能出现,统计的波动,有一个男性团体对女性歧视，想证明女人对男人有多坏。这个团体找到了一个数据，对这个数据他们是这样陈述的：在等待处决的女死刑犯中，一半是因为谋杀了亲夫，而等待处决的男死刑犯中，只有三分之一是因犯了杀妻罪。,统计的波动,补充这个团体略而不言的一个事实：等候被处决的女死刑犯人数自有7人，而等待处决的男死刑犯数目多达2400人。,统计的波动,支持率与抽样调查,支持率与抽样调查,美国咨询专栏作家安妮.兰德斯每隔两三年就要进行一次自愿回答的调查，让她的读者回答一个有争议的问题。如在1972年第一次调查中她问：“假如你能重新选择的话，你是否还会要孩子？”在接近10000个回答中，大约70%回答是“不”，许多人在回答中还加进动人的故事，讲述抚养孩子种种苦楚。这个结果是否能真实反映全体父母的情况呢？,支持率与抽样调查,这里使用的样本是一种自发性回应样本，是有人们自行决定要不要回应。 自愿回答的本性就是吸引那些对问题的真论具有强烈感情，特别是负面感情的人。 样本中不要孩子的父母百分比远大于全体父母中不要孩子的百分比 这是一种有偏差的样本，不能代表总体情况,支持率与抽样调查,有人对此有进行了一次科学的抽样调查，结果发现91%的父母还会再要孩子。,支持率与抽样调查,第一次科学性的抽样方法出现在美国爱荷华州，创始人盖洛普（19011984），在读博士的时候创建了一种抽样方法 1936年罗斯福与共和党的兰登竞选总统，当时，文摘杂志进行了民意调查。指导思想是：样本越大，结果越准确。在全国的电话号码薄和汽车登记薄上找出越1000万选民，进行了大规模的舆论调查，对其中约200万名选民的回答结果进行了分析后得出：兰登将以压倒性的优势获胜。 盖普洛的样本小很多，他分析的结果是：罗斯福将以55.7%的投票率获胜 最后结果是罗斯福获得了62.5%的投票，竞选总统成功。,支持率与抽样调查,科学的抽样的基本思想是：让没有个人因素的客观的机遇来选择样本，即用随机选取样本来消除偏差。现在专业的民意调查和其它一些抽样调查，都是采用随机抽样。 随机抽样的样本大小只要在10001500间就足够大了 对于从随机样本算出的统计量的表现，总体的大小影响是很小的。,支持率与抽样调查,一所美国高校的两个学院，分别是法学院和商学院。新学期招生后，人们对两个学院的男女生录取情况做了如下统计： 法学院 商学院,录取率悖论,从这两个表格看，女生在两个学院都被优先录取了。即女生的录取率较高。 把数据汇总，再看 从总体看女生的录取率反而较低了，为什么？,录取率悖论,A,B两班各有50名学生，其中，A班20名男生，30名女生；B班30名男生，20名女生.两个班参加同一次测试，测试结果如下：,及格率悖论,两个班全体学生的及格率,及格率悖论,某研究单位研究出一种新药，为了检验药是否有效，人们对一组病人进行试验。试验中，给予一些病人真正的新药，而其余病人则给以“安慰剂”（不含药物的药片），结果如下：,药效悖论,另一位研究者对更大的病人组重复了这一试验，结果如下,药效悖论,两位研究者对发现感到非常兴奋，决定把他们的数据合并起来公布结果，但是他们困惑地看到了最意想不到的结局。,药效悖论,以上三个悖论的实质是相同的。这类问题在20实际初就有人讨论。 1951年E.H.辛普森在他发表的论文中，对此现象进行了正式描述。于是，就把这类悖论统称为“辛普森悖论” 这类悖论表明这样一个事实：在某些情况下，在分组比较中都占优势的一方，会在合并后的总评中成为失势的一方。 为什么？在数学上怎样解释？,辛普森悖论,民主选举的最基本原则是“多数选举”，即获得多数票的候选人当选 选举的结果与选举制度有很大关系 在选民的“偏爱”不变，只要改变了选举方式，就会选出不同的赢家,选举与选举方式,每年一次的足球界的金球奖评选，假设55位记者要从5个候选球员（记为A,B,C,D,E）中选出一位为该年度的金球奖得主。每位记者对这5为候选球员的喜爱程度进行了排序，如下表,规则：以最多票者为胜者 上例中A是胜者 许多国家总统选举，国会议员选举等都采用这种选举制。 问题：选出的候选人票数可能低于半数，上例中A只有18票，占总票数的32.7%。这不符合“大多数原则”,简单多数票选举,规则：第一轮“海选”，然后再得票前两名之间进行第二轮选举。 上面的例子中，第一轮选举后剩下A与B。在第二轮的选举中，A将获得18票，而B将获得余下的37票，结果是B当选。,两轮选举,规则：进行多轮投票，每轮淘汰一名得票最少的。 在上面的例子中，第一轮将淘汰E，第二轮中原来把E作为第一支持的6名记者转投别人，其中4人投B，3人投C。第二轮淘汰D。,逐论选举,如此原来支持D的记者将把票投给C 第三轮淘汰B,逐论选举,第四轮支持B的16名记者将把票投给C，于是，C将有37张票，成为胜者。,逐论选举,采用这种方式的有 奥斯卡奖评选 爱尔兰议会选举， 澳大利亚上院选举,逐论选举,规则：对每种选择赋予一定分值，然后累加出总分值，以最高分者获胜。18世纪法国数学家博尔达首先提出，故命名之。 在上例中，对第一选择至第五选择分别记5、4、3、2、1分，则A的得分是：185+121+101+91+41+21=127；B：156；C：162；D：191；E：189. D当选 在体育中，多采用这种方式以排出参赛队伍的名次。,博尔达记分法,规则：让两个候选人之间进行表决。 E: A=37：18 E:B=33：22 E: C=36：19 E:D=28：27 E当选,鹰派对决,分别看每一种选举方式，都有道理。但按照不同的选举方式，得到的选举结果却是人人都可以当选。,结论,美国威斯康星大学的陈炳藻教授，他利用概率论的方法研究红楼梦中虚字 的出现规律，得出一个结论：红楼梦后回也是曹雪芹写的！ 把红楼梦按回分成三组（A组：回、 B组：回、C组：回），每组随机抽取两万字，加上儿女英雄 传中随机抽取的两万字（D组），总共万。统计了个指标之后，他发现ABC三组 是一样的，和D组不一样。于是结论是前面三组是一个人写的,红楼梦作者考证,原理是对的，但陈炳藻教授的样本选取有问题。他是把红楼梦作为母体，那几万字作为样本； 现在讨论的问题是曹雪芹的写作风格，那么母体应该是曹雪芹的写作风格，红楼梦是样本。陈炳藻教授搞错了 陈大康,红楼梦作者考证,陈大康教授逐字逐句地点： 红楼梦全书中“之”、“乎”、“者”、“也”各出现了多少次，五字句、六字句各 有多少这个工作我做了一年多 在同义词的使用上两个人不一样。比如说“我索性怎么样”，还有一种说法是“我越性怎么样”。“越性”、“索性”是一对同义词，但是在前八十回里用的是“越性”，在后四十回用的是“索性”，类似这样的同义词陈大康教授找到对,红楼梦作者考证,陈大康教授，1982年1月毕业于复旦大学数学系，获理学学士学位，华东师范大学终身教授。 从复旦毕业后于上海纺织专科学校任教。1990年6月毕业于华东师大中文系，获文学博士学位。现任华东师范大学中文系系主任、文学研究所所长、上海古典文学学会副会长、文学遗产编委会编委、国务院学位委员会第五届学科评议组成员、上海市政协委员。）,红楼梦作者考证,1987年复旦大学数学系李贤平教授的工作。 李教授用陈大康先生对每个回目所用的47个虚字(之，其，或，亦呀，吗，咧，罢；的，着，是，在，可，便，就，但，儿等)出现的次数(频率)，作为红楼梦各个回目的数字标志，输人计算机，然后将其使用频率绘成图形，从中看出不同作者的创作风格。据此，他提出了红楼梦成书新说：,红楼梦作者考证,是轶名作者作石头记，曹雪芹“批阅十载，增删五次”，将自己早年所作风月宝鉴插入石头记，定名为红楼梦，成为前80回书。后40回是曹雪芹的亲友将曹的草稿整理而成，其中宝黛故事为一人所写。而程伟元、高鹗为整理全书的功臣,红楼梦作者考证,设想你面前有10个空盒子，按110进行了编号。在你看不到的情况下，你的朋友把一个鸡蛋放进了其中一个盒子里。然后，你的朋友对你说：“你按编号依次打开盒子。我保证，你将在某个盒子里意外地发现鸡蛋。” 你不妨推理一下，是否在某个盒子中意外地发现鸡蛋。,意料之外的鸡蛋,第二次世界大战期间（1943年或1944年），瑞典广播公司播放了一个广播声明： 本周将举行一次民防演习。为了确保各个民防单位真正处于无准备的状态，预先任何人都不会知道演习将在那一天发生。 瑞典数学家莱纳特.埃克波姆在声明中发现了微妙的矛盾，并且告诉了他的学生。从此，这个问题就传遍世界，并被改写成不同的版本。,意料之外的演习,一位老师告诉学生，考试将在下周周末除外的某一天进行，具体在星期几呢？只有到了考试那天才知道，这是预先料不到的。 学生做了如下分析：按老师的说法，不会是星期五考试，因为如果到了星期四还没有考试，那就可以断定考试会在星期五进行，而这样老师说的话就是错的。因此星期五考试可以排除了。于是，只可能在星期一到星期四考。然而，同样的理由可以得出星期四也不可能考。依此类推下去，用同样的理由推出星期三、星期二、星期一都不可能考试。,意料之外的考试,？,为什么,问题出在推理的第一步是错误的。 假如前四天都没有考试，你推断星期五不会考试，而老师考试了，这样出乎你的意料了。其实，在那天考试都出乎你的意料。,为什么,一天早上，在一个有20个孩子的班级里，有14个孩子竟脸上带着泥巴进了教室。这些孩子能够看到其他孩子脸上是否有泥巴，而看不到自己脸