习题课II北航理论力学王琪.pdf

2009-11-181 理论力学理论力学 习 题 课习 题 课 II 虚位移原理虚位移原理/质点动力学质点动力学 作业：1-19、1-21、1-25作业：1-19、1-21、1-25 2009-11-182 理论力学理论力学虚位移原理虚位移原理 基本概念基本概念 力的功、约束及其分类、自由度、广义坐标、虚位 移、虚功、理想约束、势能、平衡位置的稳定性 力的功、约束及其分类、自由度、广义坐标、虚位 移、虚功、理想约束、势能、平衡位置的稳定性 基本原理和定理基本原理和定理 虚位移原理、平衡位置稳定性定理虚位移原理、平衡位置稳定性定理 基本方法基本方法 原理的基本形式、广义坐标形式原理的基本形式、广义坐标形式 当质点系在势力场中时虚位移原理的形式当质点系在势力场中时虚位移原理的形式 2009-11-183 理论力学理论力学虚位移原理虚位移原理 rFvFdd = = = =tW元功元功(elementary work): )()()()( R 11 O n i m j i WWWWMFPF j += = 则 等效力系作功定理等效力系作功定理: 若作用于刚体上的力系等效若作用于刚体上的力系等效 , R121Omn MFPPFFF=LL即： 理想约束理想约束：质点系中质点系中所有约束力所有约束力在在任何 虚位移 任何 虚位移上所作上所作虚功之和虚功之和为零的约束。为零的约束。 0 1 N = = n i ii rF 虚位移原理： 平衡虚位移原理： 平衡 0 1 = = n i ii rF 具有双面、理想约束具有双面、理想约束 质点系在有势力场中平衡是稳定的充要条件：势能取极小值质点系在有势力场中平衡是稳定的充要条件：势能取极小值 2009-11-184 理论力学理论力学 习题4-7：习题4-7：应用虚位移原理求解应用虚位移原理求解A、B处的约束力。处的约束力。 问题：问题：在约束力 在约束力 MA FAx FAy 中，哪些与主动力偶中，哪些与主动力偶M无关？无关？ 2009-11-185 理论力学理论力学 习题4-4：习题4-4：求图示系统的平衡位置（求求图示系统的平衡位置（求解方法见精品课网站）。解方法见精品课网站）。 问题：问题：若已知套筒若已知套筒A的虚位移铅垂向下， 确定杆上 的虚位移铅垂向下， 确定杆上B点的虚位移方向，并画在图上。点的虚位移方向，并画在图上。 2009-11-186 理论力学理论力学 质点动力学主要内容质点动力学主要内容 点的运动学点的运动学 运动方程、速度、加速度运动方程、速度、加速度 矢量法、直角坐标法、自然坐标法（密切面、曲率）矢量法、直角坐标法、自然坐标法（密切面、曲率） 点的复合运动点的复合运动 绝对运动、相对运动、牵连运动绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度绝对速度、相对速度、牵连速度 绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度 基本定理与方程基本定理与方程 速度合成定理、加速度合成定理速度合成定理、加速度合成定理 质点动力学方程（惯性参考系和质点动力学方程（惯性参考系和非惯性参考系非惯性参考系） 2009-11-187 理论力学理论力学 n 2 n tt ea ea s s D:(3/2, -1) 2009-11-1810 理论力学理论力学 问题5:问题5:动点动点M 沿椭圆轨道运动,其加速度始终指向沿椭圆轨道运动,其加速度始终指向O 点，定性分析动点点，定性分析动点M 运动的特点。运动的特点。 1. 第一象限：第一象限：( ) 2. 第二象限第二象限: ( ) 3. 第三象限：第三象限：( ) 4. 第四象限：第四象限： ( ) v M A B C a O A: 速度的模增加; A: 速度的模增加; B: 速度的模减小B: 速度的模减小 A A 2009-11-1811 理论力学理论力学 x h uo A B 讲解过 演示过 讲解过 演示过 x u 思考过思考过 练习过练习过 2009-11-1812 理论力学理论力学 试题：试题：已知图示瞬时圆盘中心已知图示瞬时圆盘中心O的速度和加速度，求此瞬时 的速度和加速度，求此瞬时 AB 杆的角速度和角加速度。杆的角速度和角加速度。 动点：动点：圆盘中心圆盘中心O 动系：动系：AB杆杆 绝对运动： 相对运动： 牵连运动： 绝对运动： 相对运动： 牵连运动： 直线运动 直线运动 定轴转动 直线运动 直线运动 定轴转动 运动分析运动分析： rea vvv+=速度分析速度分析 Ra v a a A B o 0 30 e v r v ear , 0vvv=Q R v OA v AB 2 ae = Cr n e t ea aaaaa+=加速度分析加速度分析 t e a n e a r a 0n e 0t e 0 a 30sin30cos30cos: aaay+= t e a OA a AB t e = AB AB y 2009-11-1813 理论力学理论力学 A u B u A B R o uuu BA = 例：例：车车A和车和车B分别沿各自的道路匀速行驶，求图示瞬时分别沿各自的道路匀速行驶，求图示瞬时, （1）坐在车坐在车A上的人观察到车上的人观察到车B的速度和加速度的速度和加速度; （2）坐在车坐在车B上的人观察到车上的人观察到车A的速度和加速度的速度和加速度. (1)：车车A为动系；车为动系；车B为动点为动点 (2)：车车B为动系；车为动系；车A为动点为动点 求相对速度和相对加速度求相对速度和相对加速度 2009-11-1814 理论力学理论力学 A u B u A B R o uuu BA = 解：解：1） 动点：） 动点：车车B 动系：动系： 车车A 运动分析运动分析 绝对运动： 相对运动： 牵连运动： 圆周运动 曲线运动 直线平移 绝对运动： 相对运动： 牵连运动： 圆周运动 曲线运动 直线平移 rea vvv+=速度分析速度分析 x y e v a a ?, rea =vuvuv AB 加速度分析加速度分析 rea aaa+=, 2 ar R u aa B =0 e =aQ rxB : vuux A += ry 00: vy+= )( rxrBA uuvv+= 2009-11-1815 理论力学理论力学 B u A B R o x y 解：解：2）动点：）动点：车车A， 动系：动系： 车车B A u B u A B R o x y e v e a ? aBA uvu = 运动分析运动分析 绝对运动： 相对运动： 牵连运动 绝对运动： 相对运动： 牵连运动： 直线运动 曲线运动 定轴转动 直线运动 曲线运动 定轴转动 rea vvv+=速度分析速度分析 Crea aaaa+=加速度分析加速度分析 , 2 e Ra= rC 2va= r v r v C a R uB = 0 ry 0 rxe 45sin00: 45cos0: C C aay aaax += += 2 r 2 rryx aaa+= 22 rBA uuv+= rrrr , BAABBAAB aavv结论：结论： 0 a =a 2009-11-1816 理论力学理论力学 演示机构的运动演示机构的运动 2009-11-1817 理论力学理论力学 例：例：OA杆匀角速 转动，求图示瞬时 杆 杆匀角速 转动，求图示瞬时 杆AB上中点上中点D 的 速度和加速度 的 速度和加速度。 O A B D 0 30 4 = = = RAB ROA rea vvv+ += = sin ae vv = = cos ar vv = = Rv = = a 取取AB杆上的杆上的D为动点， 套筒为动系 为动点， 套筒为动系 reaDDD vvv+ += = 0 e = = D vQ raDD vv= = rA v= = 解：求速度解：求速度 取取A点为动点，套筒为动系点为动点，套筒为动系 cosR= = a v r v e v x y 4 1 e = AD v AB 分析分析AB杆的相对运动杆的相对运动 2009-11-1818 理论力学理论力学 O A B D x y D点加速度分析点加速度分析 CreaDDDD aaaa+ + += = )1 ( CraDDD aaa+ += = 研究研究A点加速度点加速度 Cr n e t eaAAAAA aaaaa+ + + += = ？ r n ea sin: AAA aaax+ + = sin a n erAAA aaa = = rrAD aa= =Q 再由（再由（1）式，可求得）式，可求得D点的加速度点的加速度 ? O A B D x y rD a CD a rD v aA a t eA a n eA a rA a CA a AB 0 e = = D aQ 2009-11-1819 理论力学理论力学 思考题：思考题：如何求该瞬时如何求该瞬时AB杆上杆上D点绝对运动轨迹的曲率半径。点绝对运动轨迹的曲率半径。 O A B D x y rD a CD a aD vCraDDD aaa+ += = CreaDDDD aaaa+ + += = 0 e = = D aQ Cr n a t aDDDD aaaa+ += =+ + C n aDD aa= = DC D a v 2 a = = 2 a n a D D v a= = 2009-11-1820 理论力学理论力学 习题习题110：求滑块求滑块A的加速度绳索的拉力。的加速度绳索的拉力。 222 xls+= xxs s&22= = x s s x & & )( 0 vs=&Q 解：根据几何关系有： 上式两边求导得： 解：根据几何关系有： 上式两边求导得： A v s 0 v x sv0 3 22 0 x lv x=& & = = = za ya xa z y x & & & & & & 3 22 0 x lv ax= F gm N F gFFamm N += mgFxmx+=cos:& & 2009-11-1821 理论力学理论力学 求力求力求滑块的求滑块的加速度 求加速度 加速度 求加速度求滑块速度 或运动方程 求滑块速度 或运动方程 cos AB vv = x Rx 22 cos =x Rx xR 22 =& xvA&= RxRxx= 22 & 222222 )(xRRxx=& 22322 2()22xx xRxxR xx+=& 222 42 )(Rx xR x = & & = x Fxm& & cosFxm=& & F N F gm 习题习题111：已知圆盘的角速度和半径，求图示位置绳索的拉力已知圆盘的角速度和半径，求图示位置绳索的拉力 2009-11-1822 理论力学理论力学 111 ttt BBPBll+= ) 1 (0 & RRl+= , 1 tRBBt= Rx=cos)2( tan 22 Rxx Rx x x = & & 222 xRl=+Q xRRxx= 22 & )3( 22 Rx xx l = & & )( 11 = tt RPB 求导得：由几何关系： 求导得： 将（ 求导得：由几何关系： 求导得： 将（2）、（）、（3）代入（）代入（1）可求得：）可求得： )( 1 1 += tt RtRll 1t 方法二：求滑块的速度方法二：求滑块的速度 2009-11-1823 理论力学理论力学 x y 方法三：求滑块的速度方