二维离散型随机变量的分布律及性质.ppt

2 二维离散型随机变量的分布律及性质,一、 二维离散型随机变量的联合概率分布,定义 若二维随机变量 的可能取值的全体为有限或可数多个数组，则称 为二维离散型随机变量,象一维离散型分布那样，可以用一个概率分布来表达 二维离散型分布设二维离散型随机变量 可能 的取值为 ,记 则 的联合概率分布律（简称分布律）也可用 如下表3-1表示： 其中：,对二维离散型随机变量，由图3-1知离散型随机变 量 和 的联合分布函数为： (2.1),例 1 一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2.从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同以 、 分别记第一次、第二次取得球上标有的数字，求 的概率分布,二、 二维离散型随机变量的边缘概率分布,二维随机变量 作为一个整体，具有分布函数 ,而 和 都是随机变量，也分别具有分布函数，记之为 ， 依次称为二维随机变量 关于 和 的边缘分布函数边缘分布函数可以由 的分布函数 所确定，事实上 即 （2.2） 同理 （2.3） 对离散型随机变量，由（2.1）和（2.2） 可得：,设 是二维离散型随机变量，它的概率分 布如表3-1所示，那么,同理可得关于 的边缘概率分布也是离散的，它的概率分布如表3-4.其中：,例2 设二维离散型随机变量 的概率分布如表3-5,求关于 及关于 的边缘概率分布.,解 ：可能取的值为数组（1，2）、（2，1）、(2，2).下面先算出取每组值的概率第一次取得1的概率为 ，第一次取得1后，第二次取得2的概率为1.因此，按乘法定理，得 第一次取得2的概率为 ，第一次取得2后，第二次取得1、2的概率都为 同理可得,于是，所要求的概率密度 如表3-2.,解： 求得边缘概率分布如表3-6所示,我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，如上表所示，这便是“边缘分布律”这个词的由来,三、 二维离散型随机变量的条件概率分布,前面第一章讨论过事件的条件概率在事件 发生的条件下事件 发生的条件概率为 这里,对二维随机的变量 ，我们考虑在其中一个变量 取固定值的条件下，另一个变量的概率分布这样 得到的 或 的概率分布叫条件分布,对二维离散型随机变量 ,设 ,考 虑在随机变量 取得可能值 的条件下，随机变量 取它的任一可能值 的条件概率,由上述随机事件的条件概率公式可得：,(2.4),易知，上述条件概率满足概率分布的性质,同理，设 ，则可得到在 时随机变量 的条件概率分布为：,(1),(2),且 (1) (2),例3 设二维离散形随机变量 的概率分布如表3-7, 求 时关于 的条件概率分布及 时关于 的条件概率分布。,解,由 得 的条件概率分布为：,由 得 时 关于 的条件概率分布为：,求得边缘概率分布为:,四、 独立性,下面借助于随机事件的相互独立性，引入随机变量的相互独立性的概念，已知任二事件 相互独立的充分必要条件是: ,从而有如下定义,定义 设 及 ， 分别是二维随机变量 的联合分布函数和边缘分布函数若对所有的 有 即 = （2.6） 则称随机变量 是相互独立的,当 为离散型随机变量时， 是相互独立的条件（2.6）式等价于：对于 的所有可能取值 有,反之，若存在 使得 ， 则称 不独立,即 (2.7),例4 相互独立，填如下表3-8空白处的值,解,故 又 相互独立，所以,所以 从而,从而 所以 同理,例5 设 表示把硬币掷三次时头两次掷出正面的次数， 表示这三次投掷中出现正面的总次数那么，二维随机变量 概率分布如表3-9所示.问随机变量 是不是相互独立？,解,仔细观察概率分布表及由它算出的边缘概率分布，发现 于是有,所以 不是相互独立的随机变量其实，我们从 的实际背景容易得出，头两次掷出的正面次数肯定要影响三次掷出的正面次数，故 不可能相互独立。,例6 证明 离散型随机变量 独立的充分必要条件是：对实数轴上的任意两个点集 有 （2.8） 成