圆系方程问题再探讨.doc

圆系方程问题再探讨 江苏省丹阳高级中学（212300）史建军 1.问题背景 文1及文2讨论了C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0及C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0无公共点时，方程x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0的意义，但均没有指明方程表示何种曲线。 本文试图通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0及x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0的分析，从而阐明：当直线l与M及C1与C2相交（以下简称“相交圆系”）时，上述方程一定表示圆；当直线l与M及C1与C2不相交（以下简称“非相交圆系”）时，上述方程可能表示何种曲线。 2.探究一：“相交圆系”方程一定表示圆吗？ 定理1若直线l:Ax+By+C=0和M:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，则经过两交点的圆系方程： x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0一定表示圆。 证明:x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0, x2+y2+(D+A)x+(E+B)y+F+C=0, (x+D+A2)2+(y+E+B2)2 =(D+A)2+(E+B)24(F+C)4, 判断上式是否表示圆，只需验证 T=(D+A)2+(E+B)24(F+C)0是否成立，M与直线l相交，故有 AD2BE2+CA2+B2 (A2+B2)(D2+E24F)|AD+BE2C|, (AD+BE2C)2(A2+B2)(D2+E24F), T=(D+A)2+(E+B)24(F+C) =D2+E24F+2(DA+BE2C)+2(A2+B2), 直线l为定直线，M为定圆， A,B,C,D,E,F均为常数， T=f()可视为关于的二次函数, =4(DA+BE2C)2(A2+B2)(D2+E24F)0恒成立， 又圆心坐标满足：E+B2+E2D+A2+D2(AB)=1, x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0表示圆心在过M且与直线l垂直的直线上的圆。 定理2若C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则经过两交点的圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2 +y2+D2x+E2y+F2)=0(1)一定表示圆。 证明：x2+y2+D1x+E1y+F1 +(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0, (1+)x2+(1+)y2+(D1+D2)x +(E1+E2)y+F1+F2=0, x2+y2+D1+D21+x+E1+E21+y+F1+F21+=0, x+D1+D22(1+)2+y+E1+E22(1+)2 = (D1+D2)2+(E1+E2)24(1+)(F1+F2)4(1+)2, 判断上式是否表示圆，只需验证： T=(D1+D2)2+(E1+E2)24(1+)(F1+F2)0是否成立， C1与C2相交， |O1O2| D21+E214F12+D22+E224F22 (D12D22)2+(E12E22)2, 平方得D21+E214F1D22+E224F2 2F1+2F2D1D2E1E2。 又|O1O2|r1r2|，故有 D21+E214F12D22+E224F22 (D12D22)2+(E12E22)2, 平方得 D21+E214F1D22+E224F2 2F1+2F2D1D2E1E2,|2F1+2F2D1D2E1E2| T=(D1+D2)2+(E1+E2)24(1+)(F1+F2) =(D21+E214F1)+2(D22+E224F2) +2(D1D2+E1E22F12F2)。 C1和C2为定圆，故在上式中因D1,E1,F1,D2,E2,F2均为常数， T=f()可视为关于的二次函数, =4(D1D2+E1E22F12F2)2(D21+E214F1)(D22+E224F2)0恒成立， 又圆心坐标为(D1+D22(1+), E1+E22(1+)，即 (D12+(D22)1+, E12+(E22)1+)。 故方程x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0表示圆心在直线C1C2上的圆。 3。探究二：“非相交圆系”方程可能表示圆吗？ 3。1直线和圆不相交 定理3若直线l:Ax+By+C=0与M:x2+y2+Dx+Ey+F=0相离，则方程 x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0可能表示圆,点,或不表示任何图形。 证明：x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0，x2+y2+(D+A)x+(E+B)y+F+C=0，直线l和M相离,AD2BE2+CA2+B2D2+E24F2， 平方得(A2+B2)(D2+E24F)01,2=2(DA+BE2C)2(A2+B2)。 当=2(DA+BE2C)2(A2+B2)时，T=0，方程表示过M且与l垂直的直线上的点； 当2(DA+BE2C)+2(A2+B2)或 0,方程表示圆心在过M且与l垂直的直线上的圆； 当2(DA+BE2C)2(A2+B2) 2(DA+BE2C)+2(A2+B2)时，T0，方程表示圆心在过M且与l垂直的直线上的圆。 3.2两个圆不相交 定理5若C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相离，则方程 x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y +F2)=0(1)可能表示圆、点或不表示任何图形。 证明：C1和C2相离，|C1C2|r1+r2， D21+E214F12+D22+E224F22 (D12D22)2+(E12E22)2, 平方得 D21+E214F1D22+E224F2 0, 1,2=2(D1D2+E1E22F12F2)2(D22+E224F2)。 当=2(D1D2+E1E22F12F2)2(D22+E224F2)时， T=0，方程表示直线C1C2上的点； 当2(D1D2+E1E22F12F2)+2(D22+E224F2)或 0,方程表示圆心在直线C1C2上的圆； 当2(D1D2+E1E22F12F2)2(D22+E224F2) 2(D1D2+E1E22F12F2)+2(D22+E224F2)时， T0，方程表示圆心在直线C1C2上且过两圆切点的圆。 定理7若C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0内切，则方程： x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y +F2)=0(1)可能表示圆或点。 证明：C1和C2内切，|C1C2|=|r1r2|， D21+E214F12D22+E224F22 =(D12D22)2+(E12E22)2 ，平方得 D21+E214F1D22+E224F2 =2F1+2F2D1D2E1E2。 T=(D1+D2)2+(E1+E2)24(1+)(F1+F2) =(D21+E214F1)+2(D22+E224F2) +2(D1D2+E1E22F12F2)。 T=0可视为关于的二次方程。 =4(D1D2+E1E22F12F2)2(D21+E214F1)(D22+E224F2)=0, 1=2=2(D1D2+E1E22F12F2)2(D22+E224F2) =D21+E214F1D22+E224F2。 当=D21+E214F1D22+E224F2时，T=0，方程表示两圆的切点； 当D21+E214F1D22+E224F2时，T0，方程表示圆心在直线C1C2上且过两圆切点的圆。 定理8若C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0内含，则方程 x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(1)可能表示圆,点,或不表示任何图形。 证明：C1和C2内切，|C1C2|(D12D22)2+(E12E22)2， 平方得 D21+E214F1D22+E224F2 T=(D1+D2)2+(E1+E2)24(1+)(F1+F2) =(D21+E214F1)+2(D22+E224F2) +2(D1D2+E1E22F12F2), T=0可视为关于的二次方程。 =4(D1D2+E1E22F12F2)2(D21+E214F1)(D22+E224F2)0, 1,2=2(D1D2+E1E22F12F2)2(D22+E224F2)。 当=2(D1D2+E1E22F12F2)2(D22+E224F2)时， T=0，方程表示直线C1C2上的点； 当2(D1D2+E1E22F12F2)+2(D22+E224F2)或 0,方程表示圆心在直线C1C2上的圆； 当2(D1D2+E1E22F12F2)2(D22+E224F2) 2(D1D2+E1E22F12F2)+2(D22+E224F2)时， T0,方程不表示任何图形。 4.探究三：圆系方程中的圆有何共同特点？ 定理9已知直线l:Ax+By+C=0与M:x2+y2 +Dx+Ey+F=0，若方程：x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0表示圆（记作N），则N与M:x2+y2+Dx+Ey+F=0有共同的根轴 Ax+By+C=0。 证明：x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0， x2+y2+(D+A)x+(E+B)y+F+C=0。 A,B不同时为0，故N与M为非同心圆， N与M的根轴方程为： x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)x2+y2+Dx+Ey+F=0，即Ax+By+C=0。 定理10已知C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若方程 x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y +F2)=0(1)表示圆(记作N)，则N与 C1,C2均有共同的根轴 (D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0。 证明：x2+y2+D1x+E1y+F1 +(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0, (1+)x2+(1+)y2+(D1+D2