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1 / 3 对数函数中与二次函数有关的问题 教学目的： 通过一些例题的讲解 , 对对数函数的性质、图象及二次函数的一些问题进行复习，使学生加深对函数的认识 , 能够对一些有难度的题进行分析。 教学难点： 复合函数中定义域及值域的求解。 换元后新变量的定义域的确定。 教学过程： 在前段时间中我们学习了对数函数和它们的一些性质 , 下面我们就先来复习一下有关知识 ( 点击性质 , 见幻灯片 2) 。 下面我们来做两道复习巩固题。 1. 求 的定义域。 （要求一个比较复杂的函数的定义域，首先要看清这个复杂函数是由哪几个简 单函数构成的在此是三个以十为底的对数函数，所以我们只要考虑其真数部分要大于即可由此可列出三个不等式习惯上用大括号括起来，表示要同时满足） 分析： x0 可以写成 lg1 ，而该函数为单调递增函数，由此可解出 综上所述 x10 。 2. 试比较 与 的大小。 对于一般的比较大小问题，我们可以通过函数的增减性来解决这道题目显然也是通过此途径来解决但是其给出的条件不是很明确，那么我们就只能先从对数函数本身的条件作为着手点 解： 由这个条件，可以知道这个函数是单调递增的，即真数大的函数值 就大 （请学生口述，屏幕显示第三条可能不会考虑） 则有：当 x-13 即 x4 时， 当 01 综上所述，我们应2 / 3 该选择 好 , 我们来看一个一般问题 , 对于类似与上面这题的复合函数 的单调区间是怎样的 该二次函数图象为一开口向上的抛物线。 若该抛物线与 x 轴有两个交点 若该抛物线与 x 轴只有一个交点 若该抛物线与 x 轴没有交点 若函数 的值域为一切实数 , 求实数 的取值范围。 按照通常的做法，要使函数有意义，必须有： 对一切实数 x 都成立 ，即 其实当 时， 可以看出 可见值域并非为 R ，说明上述解答有误。 要使函数 的值域为 R, 即要真数 取遍所有正数 , 故二次函数 的图象与 x 轴有交点 , 所以 , 得 或 。 故实数 a 的取值范围为 我们在考虑这类复合函数问题的时候 , 要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。 以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的 , 有的时候会和、反过来 , 对数函数作为二次函数的一部分出现 , 下面我们来看这么几道题。 若 , 且 , 求 的最值。 分析 : 既然是求 的最值 , 先对其整理 , 可得 : 而 。 这道题比较简单 , 但要注意对数的计算 , 在最后是通过配方求出最值的。 若 有两个小于 1 的正根 , 且 ，求实数 的取值范围。 分析 : 既然是对数函数 , 我们先不管后面的条件 , 该怎么做就怎么做 , 即先化简函数方程。 则有 由于形式有点复杂 , 我们可以作个代换 , 在此 , 要注意 , 由于变量的代换 , 则其定义域也会随之改变 , 有 : x 教学后记： 由于是多媒3 / 3
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