2016年6月八年级数学下第17章反比例函数与三角形综合题专训题（华师大附答案和解释）

1 / 23 2016 年 6 月八年级数学下第 17 章反比例函数与三角形综合题专训题（华师大附答案和解释） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址华师大版八年级下册第章反比例函数与三角形综合题专训（含答案） 一、反比例函数与等腰三角形结合 试题、（ XX常州）如图，反比例函数 y=的图象与一次函数y=x 的图象交于点 A、 B，点 B 的横坐标是 4点 P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线 AB的上方 （ 1）若点 P 的坐标是（ 1， 4），直接写出 k 的值和 PAB 的面积； （ 2）设直线 PA、 PB与 x 轴分别交 于点 m、 N，求证： PmN是等腰三角形； （ 3）设点 Q 是反比例函数图象上位于 P、 B 之间的动点（与点 P、 B 不重合），连接 AQ、 BQ，比较 PAQ 与 PBQ 的大小，并说明理由 【解答】解：（ 1） k=4， SPAB=15 提示：过点 A 作 ARy 轴于 R，过点 P 作 PSy 轴于 S，连接 Po， 2 / 23 设 AP与 y 轴交于点 c，如图 1， 把 x=4代入 y=x，得到点 B 的坐标为（ 4， 1）， 把点 B（ 4， 1）代入 y=，得 k=4 解方程组，得到点 A 的坐标为（ 4， 1）， 则点 A 与点 B 关于原点对称， oA=oB ， SAoP=SBoP ， SPAB=2SAoP 设直线 AP的解析式为 y=mx+n， 把点 A（ 4， 1）、 P（ 1， 4）代入 y=mx+n， 求得直线 AP的解析式为 y=x+3， 则点 c 的坐标（ 0， 3）， oc=3， SAoP=SAoc+SPoc =ocAR+ocPS =34+31= ， SPAB=2SAoP=15 ； （ 2）过点 P 作 PHx 轴于 H，如图 2 B（ 4， 1），则反比例函数解析式为 y=， 设 P（ m，），直线 PA 的方程为 y=ax+b，直线 PB 的 方程为y=px+q， 联立，解得直线 PA的方程为 y=x+ 1， 3 / 23 联立，解得直线 PB的方程为 y= x+1， m （ m 4， 0）， N（ m+4， 0）， H （ m， 0）， mH=m （ m 4） =4， NH=m+4 m=4， mH=NH ， PH 垂直平分 mN， Pm=PN ， PmN 是等腰三角形； （ 3） PAQ=PBQ 理由如下： 过点 Q 作 QTx 轴于 T，设 AQ 交 x 轴于 D， QB的延长线交 x轴于 E，如图 3 可设点 Q 为（ c，），直线 AQ的解析式为 y=px+q，则有 ， 解 得：， 直线 AQ的解析式为 y=x+ 1 当 y=0时， x+ 1=0， 解得： x=c 4， D （ c 4， 0） 同理可得 E（ c+4， 0）， DT=c （ c 4） =4， ET=c+4 c=4， 4 / 23 DT=ET ， QT 垂直平分 DE， QD=QE ， QDE=QED mDA=QDE ， mDA=QED Pm=PN ， PmN=PNm PAQ=PmN mDA ， PBQ=NBE=PNm QED ， PAQ=PBQ 试题、（ 2016 黄冈校级自主招生）如图，直线 oB 是一次函数 y=2x 的图象，点 A 的坐标是（ 0， 2），点 c 在直线 oB上且 Aco 为等腰三角形，求 c 点坐标 【解答】解：若此等腰三角形以 oA为一腰，且以 A 为顶点，则 Ao=Ac1=2 设 c1（ x， 2x），则得 x2+（ 2x 2） 2=22， 解得，得 c1（）， 若此等腰三角形以 oA 为一腰，且以 o 为顶点，则oc2=oc3=oA=2， 5 / 23 设 c2（ x ， 2x ），则得 x2+ （ 2x ） 2=22，解得 =， c2 （）， 又由点 c3与点 c2关于原点对称，得 c3（）， 若 此等腰三角形以 oA为底边，则 c4的纵坐标为 1，从而其横坐标为，得 c4（）， 所以，满足题意的点 c 有 4 个，坐标分别为：（），（），（），c4（） 试题、（ XX广西来宾， 23， 10分）已知反比例函数的图像与一次函数图像交于点 A（ 1， 4）和 B（ m,-2） . (1)求这两个函数的关系式 . （ 2）如果点 c 与点 A 关于 x 轴对称，求 ABc 的面积。 （ 3）点 P 是 X 轴上的动点， 是等腰三角形，求点的坐标。 二、反比例函数与等边三角形结合 试题、如图，直线 y=2x+4与 x， y 轴分别交于 A， B 两点，以 oB为边在 y 轴右侧作等边三角形 oBc，将点 c 向左平移，使其对应点 c 恰好落在直线 AB上，则点 c 的坐标为 （1， 2） 6 / 23 解： 直线 y=2x+4与 y 轴交于 B 点， x=0 时，得 y=4， B （ 0， 4） 以 oB为边在 y 轴右侧作等边三角形 oBc， c 在线段 oB的垂直平分线上， c 点纵坐标为 2 将 y=2代入 y=2x+4，得 2=2x+4，解得 x= 1 故答案为：（ 1， 2） 试题、（ XX 黄冈校级自主招生）如图， AoB 和 AcD 均为正三角形，且顶点 B、 D 均在双曲线（ x 0）上，则图中SoBP= （ ） A B c D 4 【解答】解： AoB 和 AcD 均为正三角形， AoB=cAD=60 ， ADoB ， SABP=SAoP ， SoBP=SAoB ， 过点 B 作 BEoA 于点 E，则 SoBE=SABE=SAoB ， 点 B 在反比例函数 y=的图象上， SoBE=4=2 ， SoBP=SAoB=2SoBE=4 故选 D 7 / 23 试题、（ XX 黄冈模拟）如图， P1oA1 、 P2A1A2 是等腰直角三角形，点 P1、 P2 在函数的图象上，斜边 oA1、 A1A2都在 x 轴上，则点 A2的坐标是（ ） A（， 0） B（， 0） c（， 0） D（， 0） 【解答】解：（ 1）根据等腰直角三角形的性质，可设点 P1（ a， a）， 又 y=， 则 a2=4， a=2 （负值舍去）， 再根据等腰三角形的三线合一，得 A1的坐标是（ 4， 0）， 设点 P2的坐标是（ 4+b， b），又 y=，则 b（ 4+b） =4， 即 b2+4b 4=0， 又 b 0， b=2 2， 再根据等腰三角形的三线合一， 4+2b=4+4 4=4， 点 A2的坐 标是（ 4， 0） 故选 c 三、反比例函数与直角三角形结合 8 / 23 试题、（ XX大连模拟）如图，以 RtAoB 的直角顶点 o 为坐标原点， oA所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系， c 为AB的中点，将一个足够大的三角板的直角顶点与 c 重合，并绕点 c 旋转，直角边 cm、 cN与边 oB、 oA相交于 E、 F （ 1）如图 1，当 ABo=45 时，请直接写出线段 cE 与 cF的数量关系： cE=cF （ 2）如图 2，当 ABo=30 时，请直接写出 cE 与 cF 的数量关系： Fc=Ec （ 3）当 ABo= 时，猜想 cE 与 cF的数量关系（用含有 的式子表示），并结合图 2 证明你的猜想 （ 4）若 oA=6， oB=8， D 为 AoB 的内心，结合图 3，判断 D是否在双曲线 y=上，说明理由 【解答】解：（ 1）如图 1，连接 oc， AoB=90 ， mcN=90 ， 四边形 oFcE共圆， ABo=45 ， c 为 AB的中点， Eoc=Foc=45 ， cE=cF ， 故答案为： cE=cF （ 2）如图 2，连接 oc， 9 / 23 AoB=90 ， mcN=90 ， 四边形 oFcE共圆，此圆为 G ，设半 径为 r，作 GPFc ，连接 GF， ABo=30 ， c 为 AB的中点， Boc=30 ， Foc=60 ，可得 FGP=60 ， Fc=2FP=r ， 同理可得 Ec=r， Fc=Ec 故答案为： Fc=Ec （ 3）如图 2，连接 oc， AoB=90 ， mcN=90 ， 四边形 oFcE共圆，此圆为 G ，设半径为 r，作 GPFc ，连接 GF， ABo= ， c 为 AB的中点， Boc= ， Foc=90 ，可得 FGP=90 ， Fc=2FP=2r sin（ 90 ）， 同理可得 Ec=2rsin ， Fc ： Ec=sin（ 90 ）： sin ， Fc=Ec 10 / 23 （ 4）如图 3， oA=6 ， oB=8， AB=10 ， 设 oc为 x， Ac=6 x， D 为 AoB 的内心， oE=x ， BE=8 x， 8 x+6 x=10， x=2 ， 点 D（ 2， 2）代入双曲线 y=不成立， D 不在双曲线 y=上， 四、反比例函数与等腰直角三角形结合 试题、如图，在平面直角坐标系中，点 A1， A2， A3 都在 x 轴上 ，点 B1， B2， B3 都在直线 y=x 上， oA1B1 ，B1A1A2 ， B2B1A2 ， B2A2A3 ， B3B2A3 都是等腰直角三角形，且 oA1=1，则点 BXX的坐标是（ ） A c 11 / 23 解： oA1=1 ， 点 A1的坐标为（ 1， 0）， oA1B1 是等腰直角三角形， A1B1=1 ， B1 （ 1， 1）， B1A1A2 是等腰直角三角形， A1A2=1 ， B1A2=， B2B1A2 为等腰直角三角形， A2A3=2 ， B2 （ 2， 2）， 同理可得， B3（ 22， 22）， B4（ 23， 23）， Bn （ 2n 1， 2n 1）， 点 BXX的坐标是（ 2XX， 2XX） 故选： A 试题、（ XX仪征市一模）如图，点 A 是双曲线 y=在第一象限上的一动点，连接 Ao 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为斜边作等腰 RtABc ，点 c 在第二象限，随着点 A 的运动，点 c 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 y= 【解答】解：连结 oc，作 cDx 轴于 D， AEx 轴于 E，如图， 设 A 点坐标为（ a，）， A 点、 B 点是正比例函数图象与双曲线 y=的交点， 点 A 与点 B 关于 原点对称， 12 / 23 oA=oB ABc 为等腰直角三角形， oc=oA ， ocoA ， Doc+AoE=90 ， Doc+Dco=90 ， Dco=AoE ， 在 coD 和 oAE 中 coDoAE （ AAS）， oD=AE= ， cD=oE=a， c 点坐标为（， a）， a= 4， 点 c 在反比例函数 y=图象上 故答案为 y= 试题、（ XX潮阳区一模）如图，在平面直角坐标系 xoy中，矩形 oABc 的顶点 A 在 x 轴上，顶点 c 在 y 轴上， D 是 Bc 的中点，过点 D 的反比例函数图象交 AB 于 E 点，连接 DE若oD=5， tancoD= （ 1）求过点 D 的反比例函数的解析式； （ 2）求 DBE 的面积； 13 / 23 （ 3） x 轴上是否存在点 P 使 oPD 为直角三角形？若存在，请直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解：（ 1） 四边形 oABc是矩形， Bc=oA ， AB=oc， tancoD= ， 设 oc=3x， cD=4x， oD=5x=5 ， x=1 ， oc=3 ， cD=4， D （ 4， 3）， 设过点 D 的反比例函数的解析式为： y=， k=12 ， 反比例函数的解析式为： y=； （ 2） 点 D 是 Bc的中点， B （ 8， 3）， Bc=8 ， AB=3， E 点在过点 D 的反比例函数图象上， E （ 8，）， SDBE=BDBE=3 ； （ 3）存在， 14 / 23 oPD 为直角三角形， 当 oPD=90 时， PDx 轴于 P， oP=4 ， P （ 4， 0）， 当 oDP=90 时， 如图，过 D 作 DHx 轴于 H， oD2=oHoP ， oP= P （， o）， 存在点 P 使 oPD 为直角三角形， P （ 4， o），（， o） 试题、（ XX 历下区模拟）如图，在平面直角坐标系中有RtABc ， A=90 ， AB=Ac， A（ 2， 0）、 B（ 0， d）、 c（3， 2） （ 1）求 d 的值； （ 2）将 ABc 沿 x 轴的正方向平移 a 个单位，在第一象限内 B、 c 两点的对应点 Bc 正好落在某反比例函数图象上请求出这个反比例函数和此时直线 Bc 的解析式； （ 3）在（ 2）的条件下，直线 Bc 交 y 轴于点 G，作 cmx轴于 m P 是线段 Bc 上的一点，若 Pmc 和 PBB 面15 / 23 积相等，求点 P 坐标 【解答 】解：（ 1）作 cNx 轴于点 N 在 RtcNA 和 RtAoB 中， ， RtcNARtAoB （ HL）， 则 Bo=AN=3 2=1， d=1 ； （ 2）设反比例函数为 y=，点 c 和 B 在该比例函数图象上， 设 c （ a， 2），则 B （ a+3， 1） 把点 c 和 B 的坐标分别代入 y=，得 k=2a； k=a+3， 2a=a+3 ， a=3， 则 k=6，反比例函数解析式为 y= 得点 c （ 3， 2）； B （ 6， 1）； 设直线 cB 的解析式为 y=ax+b，把 c 、 B 两点坐标代入得， 解得： ； 直线 cB 的解析式为： y=； （ 3）连结 BB B （ 0， 1）， B （ 6， 1）， 16 / 23 BBx 轴， 设 P（ m，），作 PQcm ， PHBB SPc m=PQcm= （ m 3） 2=m 3 SPBB =PHBB= （） 6= m+6 m 3= m+6 m= P （，） 试题、（ XX 泰州校级一模）已知点 A（ m、 n）是反比例函数（ x 0）的图象上一点，过 A 作 ABx 轴于点 B， P 是 y轴上一点， （ 1）求 PAB 的面积； （ 2）当 PAB 为 等腰直角三角形时，求点 A 的坐标； （ 3）若 APB=90 ，求 m 的取值范围 【解答】解：（ 1）连接 oA， ABx 轴， ABy 轴， SPAB=SPoB ， 点 A（ m、 n）是反比例函数（ x 0）的图象上一点， SPAB=SPoB=2 ； 17 / 23 （ 2）若 ABP=90 ，则 AB=oB， 则 m=n， m= ， x 0， m=2 ， 点 A（ 2， 2）； 若 PAB=90 ，则 PA=AB，同理可得点 A（ 2， 2）； 若 APB=90 ，则 AP=BP， 过点 P 作 Pc AB于点 c，则 Ac=Bc=Pc， 则点 A（ m， 2m）， 2m= ， x 0， m= ， 点 A（， 2）； 综上，点 A 的坐标为：（ 2， 2）或（， 2）； （ 3） APB=90 ， 点 P 是以 AB 为直径的圆与 y 轴的交点， 由（ 2）可知当 x=时，以 AB 为直径的圆与 y 轴相切，当 x时，以 AB为直径的圆与 y 轴相离， m 的取值范围为： 0 m 18 / 23 五、反比例函数与全等三角形结合 试题、 XX韶关模拟）如图，点 A（ 2， 2）在双曲线 y1=（ x 0）上，点 c 在双曲线 y2=（ x 0） 上，分别过 A、 c 向x 轴作垂线，垂足分别为 F、 E，以 A、 c 为顶点作正方形 ABcD，且使点 B 在 x 轴上，点 D 在 y 轴的正半轴上 （ 1）求 k 的值； （ 2）求证： BcEABF ； （ 3）求直线 BD的解析式 【解答】（ 1）解：把点 A（ 2， 2）代入 y1=， 得： 2=， k=4 ； （ 2）证明： 四边形 ABcD是正方形， Bc=AB ， ABc=90 ， BD=Ac， EBc+ABF=90 ， cEx 轴， AFx 轴， cEB=BFA=90 ， BcE+EBc=90 ， BcE=ABF ， 19 / 23 在 BcE 和 ABF 中， ， BcEABF （ AAS）； （ 3）解：连接 Ac，作 AGcE 于 G，如图所示： 则 AGc=90 ， AG=EF， GE=AF=2， 由（ 2）得： BcEABF ， BE=AF=2 ， cE=BF， 设 oB=x，则 oE=x+2， cE=BF=x+2， oE=cE ， 点 c 的坐标为：（ x 2， x+2）， 代入双曲线 y2=（ x 0）得：（ x+2） 2= 9， 解得： x=1，或 x= 5（不合题意，舍去）， oB=1 ， BF=3， cE=oE=3， EF=2+3=5 ， cG=1=oB， B（ 1， 0）， AG=5， 在 RtBoD 和 RtcGA 中， ， RtBoDRtcGA （ HL）， oD=AG=5 ， D （ 0， 5）， 设直线 BD的解析式为： y=kx+b， 把 B（ 1， 0）， D（ 0， 5）代入得：， 解得： k=5， b=5 20 / 23 直线 BD的解析式为： y=5x+5 试题、（ XX历城区二模）如图，一条直线与反比例函数 y=的图象交于 A（ 1， 4）， B（ 4， n）两点，与 x 轴交于点 D，Acx 轴，垂足为 c （ 1）求反比例函数的解析式及 D 点的坐标； （ 2）点 P 是线段 AD的中点，点 E， F 分别从 c， D 两点同时出发，以每秒 1 个单位的速度沿 cA， Dc运动，到点 A， c 时停止运动，设运动的时间为 t（ s） 求证： PE=PF 若 PEF 的面积为 S，求 S 的最小值 【解答】（ 1）解：把点 A（ 1， 4）代入 y=得： k=4， 反比例函数的解析式为： y=； 把点 B（ 4， n）代入得： n=1， B （ 4， 1） 设直线 AB的解析式为 y=kx+b， 把 A（ 1， 4）， B（ 4， 1）代入 y=kx+b 得：， 解得： k= 1， b=5， 直线 AB的解析式为： y= x+5， 当 y=0时， x=5， 21 / 23 D 点坐标为：（ 5， 0）； （ 2） 证明： A （ 1， 4）， c（ 1， 0）， D（ 5， 0）， Acx轴于 c， Ac=cD=4 ， AcD 为等腰直角三角形， ADc=45 ， P 为 AD中点， AcP=DcP=45 ， cP=PD， cPAD ， ADc=AcP ， 点 E， F 分别从 c， D 两点同时出发，以每秒 1 个单位的速度沿 cA， Dc运动， Ec=DF ， 在 EcP 和 FDP 中， EcP FDP（ SAS）， PE=PF ； 解： EcPFDP ， EPc=FPD ， EPF=cPD=90 ， PEF 为等腰直角三角形， PEF 的面积 S=PE2， PEF 的面积最小时， EP最小， 当 PEAc 时， PE最小， 22 / 23 此时 EP最小值 =cD=2， PEF 的面积 S 的最小值 =22=2 试