2016年夏津县八年级数学下期末试卷（附答案和解释）

1 / 29 2016 年夏津县八年级数学下期末试卷（附答案和解释） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX-2016 学年山东省德州市夏津县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题 1下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B c D 2在函数 y=中，自变量 x 的取值范围是（ ） A x1 且 x 2B x1c x 1 且 x 2D x 1 且 x2 3下列四个等式： ； （） 2=16； （） 2=4； 正确的是（ ） A B c D 4 ABc 中， A ， B ， c 的对边分别记为 a， b， c，由下列条件不能判定 ABc 为直角三角形的是（ ） A A+B=cB A ： B ： c=1 ： 2： 3 c a2=c2 b2D a： b： c=3： 4： 6 5如图， ABc 中，已知 AB=8， c=90 ， A=30 ， DE是中位线，则 DE 的长为（ ） 2 / 29 A 4B 3c D 2 6对于一组数据 1， 1， 4， 2，下列结论不正确的是（ ） A平均数是 1B众数是 1c中位数是方差是 7顺次连接矩形 ABcD各边中点，所得四边形必 定是（ ） A邻边不等的平行四边形 B矩形 c正方形 D菱形 8已知函数 y=（ 2m+1） x+m 3，若这个函数的图象不经过第二象限，则 m 的取值范围是（ ） A m B m 3c m 3D m3 9如图， ABc 中， cDAB 于 D，且 E 是 Ac的中点若 AD=6，DE=5，则 cD的长等于（ ） A 5B 6c 7D 8 10如图，函数 y=2x和 y=ax+4的图象相交于点 A（ m， 3），则不等式 2x ax+4的解集为（ ） A x B x 3c x D x 3 11已知（ a+3） 2+=0，则一次函数 y=ax+b的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 c第三象限 D第四象限 12如图，在矩形 ABcD 中， AB=6cm， Bc=4cm动点 E 从点B 出发，沿着线路 BccDDA 运动，在 Bc 段的平均速度是3 / 29 1cm/s，在 cD段的平均速度是 2cm/s，在 DA段的平均速度是4cm/s，到点 A 停止设 ABE 的面积为 y（ cm2），则 y 与点E 的运动时间 t（ s）的函数关系图象大致是（ ） A B c D 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20分） 13实数 a， b 在数轴上的位置如图所示，那么化简 |a b|的结果是 14对于任意不相等的两个实数 a、 b，定义运算 如下：ab= ，如 32= 那么 812= 15如图，小聪在作线段 AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以 A 和 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于 c、 D，则直线 cD 即为所求根据他的作图方法可知四边形 ADBc一定是 16某一次函数的图象经过点（ 1， 2），且函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小，请写出一个满 足上述条件的函数关系式： 17正方形 A1B1c1o， A2B2c2c1， A3B3c3c2， 按如图所示4 / 29 的方式放置点 A1， A2， A3， 和点 c1， c2， c3 分别在直线 y=kx+b（ k 0）和 x 轴上，已知点 B1（ 1， 1）， B2（ 3，2），则点 B3的坐标是 ，点 Bn的坐标是 三、解答题（本大题共 7 小题，共 64分） 18（ 1）计算： |2 3| + （ 2）已知 x=+1， y= 1，求代数式 x2 y2的值 19 “ 十年树木，百年树人 ” ，教师的素养关系到国家 的未来我市某区招聘音乐教师采用笔试、专业技能测试、说课三种形式进行选拔，这三项的成绩满分均为 100分，并按 2：3： 5 的比例折合纳入总分，最后，按照成绩的排序从高到低依次录取该区要招聘 2 名音乐教师，通过笔试、专业技能测试筛选出前 6 名选手进入说课环节，这 6 名选手的各项成绩见下表： 序号 123456 笔试成绩 669086646584 专业技能测试成绩 959293808892 说课成绩 857886889485 （ 1）笔试成绩的极差是多少？ （ 2）写出说课成绩的中位数、众数； （ 3）已知序号为 1， 2， 3， 4 号选手的成绩分别为分，分，5 / 29 分，分，请你判断这六位选手中序号是多少的选手将被录用？为什么？ 20如图在四边形 ABcD 中， AB=Bc=2， cD=3， DA=1，且B=90 ，求 DAB 的度数 21已知：如图， AEBF ， Ac平分 BAD ，交 BF 于点 c， BD平分 ABc ，交 AE于点 D，连接 cD 求证：四边形 ABcD 是菱形 22请叙述三角形的中位线定律，并证明 23甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价 的折出售，乙商场只对一次购物中超过 200元后的价格部分按原价的折出售某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原件为 x（ x 0）元，让利后的购物金额为 y 元 （ 1）分别就甲、乙两家商场写出 y 关于 x 的函数解析式； （ 2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明理由 24阅读 1： a、 b 为实数，且 a 0， b 0 因为（） 20 ，所以 a 2+b0 从而 a+b2 （当 a=b时取等号） 阅读 2：若函数 y=x+；（ m 0， x 0， m 为常数），由阅读 16 / 29 结论可知： x+2 ，所以当 x=，即 x=时，函数 y=x+的最小值为 2 阅读理解上述内容，解答下列问题： 问题 1：已知一个矩形的面积为 4，其中一边长为 x，则另一边长为，周长为 2（ x+），求当 x= 时，周长的最小值为 ； 问题 2：已知函数 y1=x+1（ x 1）与函数 y2=x2+2x+10（ x 1），当 x= 时，的最小值为 XX-2016学年山东省德州市夏津县八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1下列二次根式中，是 最简二次根式的是（ ） A B c D 【考点】最简二次根式 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是 【解答】解： A、被开方数含分母，故 A 不是最简二次根式； 7 / 29 B、被开方数含分母，故 B 不是最简二次根式； c、是最简二次根式； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 D 不是最简二次根式； 故选： c 【点评】本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （ 1）被开方数不含分母；（ 2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式 2在函数 y=中，自变量 x 的取值范围是（ ） A x1 且 x 2B x1c x 1 且 x 2D x 1 且 x2 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，就可以求解 【解答】解：由题意得， 1 x0 且 x+20 ， 解得 x1 且 x 2 故选 A 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数 3下列四 个等式： ； （） 2=16； （） 2=4； 正确的是（ ） 8 / 29 A B c D 【考点】二次根式的性质与化简；二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式的意义： =a （ a0 ）， =a（ a0 ），逐一判断 【解答】解： =4 ，正确； = （ 1） 2=14=416 ，不正确； =4 符合二次根式的意义，正确； =4 4，不正确 正确 故选： D 【点评】运用二次根式的意义，判断等式是否成立 4 ABc 中， A ， B ， c 的对边分 别记为 a， b， c，由下列条件不能判定 ABc 为直角三角形的是（ ） A A+B=cB A ： B ： c=1 ： 2： 3 c a2=c2 b2D a： b： c=3： 4： 6 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理 【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可 【解答】解： A、 A+B=c ，又 A+B+c=180 ，则c=90 ，是直角三角形； B、 A ： B ： c=1 ： 2： 3，又 A+B+c=180 ，则 c=90 ，9 / 29 是直角三角形； c、由 a2=c2 b2，得 a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； D、 32+4262 ，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形 故选 D 【点评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断 5如图， ABc 中，已知 AB=8， c=90 ， A=30 ， DE是中位线，则 DE 的长为（ ） A 4B 3c D 2 【考点】三角形中位线定理；含 30度角的直角三角形 【分析】 先由含 30 角的直角三角形的性质，得出 Bc，再由三角形的中位线定理得出 DE即可 【解答】解： c=90 ， A=30 ， Bc=AB=4 ， 又 DE 是中位线， DE=Bc=2 故选 D 10 / 29 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握含 30 角的直角三角形的性质及三角形的中位线定理 6对于一组数据 1， 1， 4， 2，下列结论不正确的是（ ） A平均数是 1B众数是 1c中位数是方差是 【考点】方差；算术平均数；中位数；众数 【分析】根据众数、中位数 、方差和平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案 【解答】解：这组数据的平均数是：（ 1 1+4+2） 4=1 ； 1 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 1； 把这组数据从小到大排列为： 1， 1， 2， 4，最中间的数是第 2、 3 个数的平均数，则中位数是 =； 这组数据的方差是： （ 1 1） 2+（ 1 1） 2+（ 4 1）2+（ 2 1） 2=； 则下列结论不正确的是 D； 故选 D 【点评】此题考查了方差、平均数、众数和中位数，一般地设 n 个数据， x1， x2， xn 的平均数为，则方差 S2=（ x1） 2+（ x2） 2+ （ xn） 2；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数11 / 29 就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 7顺次连接矩形 ABcD各边中点，所得四边形必定是（ ） A邻边不等的平行四边形 B矩形 c正方形 D菱形 【考点】中点四边形 【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得 EF=GH=Ac，FG=EH=BD，再根 据矩形的对角线相等可得 Ac=BD，从而得到四边形 EFGH 的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答 【解答】解：如图，连接 Ac、 BD， E 、 F、 G、 H 分别是矩形 ABcD 的 AB、 Bc、 cD、 AD 边上的中点， EF=GH=Ac ， FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形 ABcD的对角线 Ac=BD， EF=GH=FG=EH ， 四边形 EFGH是菱形 故选： D 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩12 / 29 形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三 角形的中位线定理是解题的关键 8已知函数 y=（ 2m+1） x+m 3，若这个函数的图象不经过第二象限，则 m 的取值范围是（ ） A m B m 3c m 3D m3 【考点】一次函数图象与系数的关系 【分析】根据一次函数的图象不经过第二象限列出关于 m 的不等式组，求出 m 的取值范围即可 【解答】解： 一次函数 y=（ 2m+1） x+m 3，的图象不经过第二象限， ， 解得： m3 故选 D 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数 y=kx+b（ k0 ）中，当 k 0， b 0 时，函数的图象经过一三四象限是解答此题的关键 9如图， ABc 中， cDAB 于 D，且 E 是 Ac的中点若 AD=6，DE=5，则 cD的长等于（ ） A 5B 6c 7D 8 13 / 29 【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理 【分析】先根据直角三角形的性质求出 Ac 的长，再根据勾股定理即可得出结论 【解答】解： ABc 中， cDAB 于 D， ADc=90 E 是 Ac的中点， DE=5， Ac=2DE=10 AD=6 ， cD=8 故选 D 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键 10如图，函数 y=2x和 y=ax+4的图象相交于点 A（ m， 3），则不等式 2x ax+4的解集为（ ） A x B x 3c x D x 3 【考点】一次函数与一元一次不等式 【分析】先根据函数 y=2x和 y=ax+4的图象相交于点 A（ m，3），求出 m 的值，从而得出点 A 的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式 2x ax+4的解集 14 / 29 【解答】解： 函数 y=2x和 y=ax+4的图 象相交于点 A（ m，3）， 3=2m ， m=， 点 A 的坐标是（， 3）， 不等式 2x ax+4的解集为 x； 故选 A 【点评】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键 11已知（ a+3） 2+=0，则一次函数 y=ax+b的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 c第三象限 D第四象限 【考点】一次函数图象与系数的关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根 【分析】首先根据非负数的性质确定 a、 b 的值，然后确定其不经 过的象限即可 【解答】解： （ a+3） 2+=0， a+3=0 ， 2b 1=0， 解得： a= 3 0， b= 0， 一次函数 y=ax+b的图象经过一、二、四象限， 故选 c 15 / 29 【点评】本题考查了一次函数的性质一次函数 y=kx+b 的图象经过的象限由 k、 b 的值共同决定，有六种情况： 当 k 0， b 0，函数 y=kx+b的图象经过第一、二、三象限， y 的值随 x 的值增大而增大； 当 k 0， b 0，函数 y=kx+b的图象经过第一、三、四象限， y 的值随 x 的值增大而增大； 当 k 0， b 0 时，函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限， y 的值随 x 的值增大而减小； 当 k 0， b 0 时，函数 y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限， y 的值随 x 的值增大而减小； 当 k 0， b=0，函数 y=kx+b的图象经过第一、三象限； 当 k 0， b=0，函数 y=kx+b的图象经过第二、四象限 12如图，在矩形 ABcD 中， AB=6cm， Bc=4cm动点 E 从点B 出发，沿着线路 BccDDA 运动，在 Bc 段的平均速度是1cm/s，在 cD段的平均速度是 2cm/s，在 DA段的平均速度是4cm/s，到点 A 停止设 ABE 的面积为 y（ cm2），则 y 与点E 的运动时间 t（ s）的函数关系图象大致是（ ） A B c D 【考点】动点问题的函数图象 16 / 29 【专题】压轴题 【分析】求 ABE 的面积 y 时，可把 AB 看作底边， E 到 AB的垂线段看作高分三种情况： 动点 E 从点 B 出发，在 Bc上运动； 动点 E 在 cD上运动； 动点 E 在 DA上运动分别求出每一种情况下， ABE 的面积 y（ cm2）点 E 的运动时间 t（ s）的函数解析式，再结合自变量的取值范围即可判断 【解答】解：分三种情况： 动点 E 从点 B 出发，在 Bc上运动 Bc=4cm ，动点 E 在 Bc段的平均速度是 1cm/s， 动点 E 在 Bc 段的运动时间为： 41=4 （ s） y=ABBE=6t=3t ， y=3t （ 0t4 ）， 当 0t4 时， y 随 t 的增大而增大，故排除 A、 B； 动点 E 在 cD 上运动 cD=AB=6cm ，动点 E 在 cD段的平均速度是 2cm/s， 动点 E 在 cD 段的运动时间为： 62=3 （ s） y=ABBc=64=12 ， y=12 （ 4 t7 ）， 当 4 t7 时， y=12； 动点 E 在 DA 上运动 DA=Bc=4cm ，动点 E 在 DA段的平均速度是 4cm/s， 动点 E 在 DA 段的运动时间为： 44=1 （ s） 17 / 29 y=ABAE=64 4（ t 7） =96 12t， y=96 12t（ 7 t8 ）， 当 7 t8 时， y 随 t 的增大而减小，故排除 D 综上可知 c 选项正确 故选 c 【点评】本题考查动点问题的函数图象，根据时间 =路程 速度确定动点 E 分别在 Bc、 cD、 DA 段运动的时间是解题的关键，同时考查了三角形的 面积公式及一次函数的性质，进行分类讨论是解决此类问题常用的方法 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20分） 13实数 a， b 在数轴上的位置如图所示，那么化简 |a b|的结果是 b 【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴 【专题】计算题 【分析】由数轴可得到 a 0， b 0， |a| |b|，根据 =|a|和绝对值的性质即可得到答案 【解答】解： a 0， b 0， |a| |b|， 原式 =a b |a| =a b a = b 18 / 29 故答案为： b 【点评】本题 考查了二次根式的性质与化简： =|a|也考查了绝对值的性质 14对于任意不相等的两个实数 a、 b，定义运算 如下：ab= ，如 32= 那么 812= 【考点】算术平方根 【专题】新定义 【分析】根据所给的式子求出 812 的值即可 【解答】解： ab= ， 812= 故答案为： 【点评】本题考查的是算术平方根，根据题意得出 812=是解答此题的关键 15如图，小聪在作线段 AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以 A 和 B 为圆心，大于 AB 的长为半 径画弧，两弧相交于 c、 D，则直线 cD 即为所求根据他的作图方法可知四边形 ADBc一定是 菱形 【考点】菱形的判定 【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形 ADBc 四边的关19 / 29 系进而得出四边形一定是菱形 【解答】解： 分别以 A 和 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于 c、 D， Ac=AD=BD=Bc ， 四边形 ADBc是菱形 故答案为：菱形 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键 16某一次函数的图象经过点（ 1， 2），且函数 y 的值随自变量 x 的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式： y= x 1 等 【考点】一次函数的性质 【专题】开放型 【分析】根据 y 随着 x 的增大而减小推断出 k 0 的关系，再利用过点（ 1， 2）来确定函数的解析式 【解答】解： y 随着 x 的增大而减小， k 0 又 直线过点（ 1， 2）， 解析式可以为： y= x 1 等 故答案为： y= x 1 等 【点评】此题主要考查了一次函数的性质，得出 k 的符号进20 / 29 而求出是解题关键 17正方形 A1B1c1o， A2B2c2c1， A3B3c3c2， 按如图所示的方式放置点 A1， A2， A3， 和点 c1， c2， c3 分别在直线 y=kx+b（ k 0）和 x 轴上，已知点 B1（ 1， 1）， B2（ 3，2），则点 B3的坐标是 （ 7， 4） ，点 Bn的坐标是 （ 2n 1， 2n 1） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质 【专题】规律型 【分析】首先求得直线的解析式，分别求得 B1， B2， B3的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解 【解答】解： B1 的坐标为（ 1， 1），点 B2的坐标为（ 3，2）， 正方形 A1B1c1o1 边长为 1，正方形 A2B2c2c1边长为 2， A1 的坐标是（ 0， 1）， A2的坐标是：（ 1， 2）， 代入 y=kx+b得， 解得： 则直线的解析式是： y=x+1 A1B1=1 ，点 B2的坐标为（ 3， 2）， A1 的纵坐标是： 1=20， A1的横坐标是： 0=20 1， A2 的纵坐标是： 1+1=21， A2的横坐标是： 1=21 1， 21 / 29 A3 的纵坐标是： 2+2=4=22， A3的横坐标是： 1+2=3=22 1， A4 的纵坐标是： 4+4=8=23， A4 的横坐标是： 1+2+4=7=23 1， 据此可以得到 An的纵坐标是： 2n 1，横坐标是： 2n 1 1 点 B1的坐标为（ 1， 1），点 B2的坐标为（ 3， 2）， 点 B3的坐标为（ 7， 4）， Bn 的横坐标是： 2n 1，纵坐标是： 2n 1 则 Bn的坐标是（ 2n 1， 2n 1） 故答案为：（ 7， 4），（ 2n 1， 2n 1） 【点评】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键 三、解答题（本大题共 7 小题，共 64分） 18（ 1）计算： |2 3| + （ 2）已知 x=+1， y= 1，求代数式 x2 y2的值 【考点】二次根式的化简求值 【分析】（ 1）先化简，再合并同类二次根式即可； （ 2）先根据平方差公式因式分解，再把 x， y 的值代入计算即可 【解答】解：（ 1）原式 =3 2 2+3 =3， 22 / 29 （ 2）原式 =（ x+y）（ x y）， x=+1 ， y= 1， 原式 =（ +1+ 1）（ +1 +1） =22 =4 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键 19 “ 十年树木，百年树人 ” ，教师的素养关系到国家的未来我 市某区招聘音乐教师采用笔试、专业技能测试、说课三种形式进行选拔，这三项的成绩满分均为 100分，并按 2：3： 5 的比例折合纳入总分，最后，按照成绩的排序从高到低依次录取该区要招聘 2 名音乐教师，通过笔试、专业技能测试筛选出前 6 名选手进入说课环节，这 6 名选手的各项成绩见下表： 序号 123456 笔试成绩 669086646584 专业技能测试成绩 959293808892 说课成绩 857886889485 （ 1）笔试成绩的极差是多少？ （ 2）写出说课成绩的中位数、众数； （ 3）已知序号为 1， 2， 3， 4 号 选手的成绩分别为分，分，23 / 29 分，分，请你判断这六位选手中序号是多少的选手将被录用？为什么？ 【考点】加权平均数；中位数；众数；极差 【专题】图表型 【分析】（ 1）根据极差的公式：极差 =最大值最小值求解即可 （ 2）根据中位数和众数的概念求解即可； （ 3）根据加权平均数的计算方法求出 5 号和 6 号选手的成绩，进行比较即可 【解答】解：（ 1）笔试成绩的最高分是 90，最低分是 64， 极差 =90 64=26 （ 2）将说课成绩按从小到大的顺序排列： 78、 85、 85、86、 88、 94， 中位数是（ 85+86） 2= ， 85出现的次数最多， 众数是 85 （ 3） 5 号选手的成绩为： 65+88+94= 分； 6 号选手的成绩为： 84+92+85= 分 序号为 1， 2， 3， 4 号选手的成绩分别为分，分，分，分， 3 号选手和 6 号选手，应被录取 【点评】本题考查加权平均数、中位数、众数和极差的知识，属于基础题，比较容易解答，注意对这些知识的熟练掌握 24 / 29 20如图在四边形 ABcD 中， AB=Bc=2， cD=3， DA=1，且B=90 ，求 DAB 的度数 【考点 】勾股定理的逆定理；勾股定理 【分析】由于 B=90 ， AB=Bc=2，利用勾股定理可求 Ac，并可求 BAc=45 ，而 cD=3， DA=1，易得 Ac2+DA2=cD2，可证 AcD 是直角三角形，于是有 cAD=90 ，从而易求 BAD 【解答】解：如右图所示，连接 Ac， B=90 ， AB=Bc=2， Ac=2 ， BAc=45 ， 又 cD=3 ， DA=1， Ac2+DA2=8+1=9 ， cD2=9， Ac2+DA2=cD2 ， AcD 是直角三角形， cAD=90 ， DAB=45+90=135 故 DAB 的度数为 135 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理解题的关键是连接 Ac，并证明 AcD 是直角三角形 25 / 29 21已知：如图， AEBF ， Ac平分 BAD ，交 BF 于点 c， BD平分 ABc ，交 AE于点 D，连接 cD 求证：四边形 ABcD 是菱形 【考点】菱形的判定 【专题】证明题 【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： 定义； 四边相等； 对角线互相垂直平分 【解答】 证明： Ac 平分 BAD ， BAc=cAD 又 AEBF ， BcA=cAD ， BAc=BcA AB=Bc ， 同理可证 AB=AD AD=Bc ， 又 ADBc ， 四边形 ABcD是平行四边形， 又 AB=Bc， 平行四边形 ABcD 是菱形 【点评】此题主要考查了菱形的判定以及综合利用了角平分线的定义和平行线的性质，利用已知得出 AB=Bc是解题关键 26 / 29 22请叙述三角形的中位线定律，并证明 【考点】三角形中位线定理 【分析】构造平行四边形来证明三角形的 中位线定理 【解答】解：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 理由：如图，延长 DE到 F，使 EF=DE，连结 cF、 Dc、 AF AE=cEDE=EF 四边形 ADcF为平行四边形 ADcF ， AD=cF AD=BD ， BDcF ， BD=cF， 四边形 BcFD为平行四边形 BcDF ， Bc=DF DEBc 且 DE=Bc 【点评】此题是三角形中位线定理，主要考查了平行四边形的性质和判定，解本题的关键是构造平行四边形 23甲、乙两家商 场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价的折出售，乙商场只对一次购物中超过 200元后的价格部分按原价的折出售某顾客打算在促销期间到这两27 / 29 家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原件为 x（