2016年宜春市高二数学下期末试卷(文含答案和解释)

1 / 26 2016 年宜春市高二数学下期末试卷 (文含答案和解释 ) 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m XX-2016 学年江西省宜春市上高二中高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1抛物线 y=4x2的焦点坐标是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 0） c D 2下列命题中正确的是（ ） A若 a b，则 ac2 bc2B若 ab 0， a b，则 c若 a b， c d， 则 a c b dD若 a b， c d，则 3与双曲线 =1有共同的渐近线，且过点（ 2， 2）的双曲线标准方程为（ ） A B c D 4已知 x 与 y 之间的一组数据： x0123 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程 =+，则 m 的值为（ ） 2 / 26 A 1B 5曲线 y=2x lnx在点（ 1， 2）处的切线方程为（ ） A x y+1=0B x+y+1=0c x+y 1=0D x y 1=0 6若曲线（ t 为参数）与曲线 x2+y2=8 相交于 B， c 两点，则 |Bc|的值为（ ） A B c D 7长郡中学早上 8 点开始上课，若学生小典与小方匀在早上 7： 40至 8： 00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早 5 分钟到校的概率为（ ） A B c D 8若两个正实数 x， y 满足，且不等式有解，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 1， 4） B（ ， 1） （ 4， + ） c（ 4， 1） D（ ， 0） （ 3， + ） 9在三棱椎 A BcD中，侧棱 AB， Ac， AD两两垂直， ABc ，AcD ， ADB 的面积分别为，则该三棱椎外接球的表面积为（ ） A 2B 6c D 24 10设函数 f（ x） =（ x a） 2+（ lnx2 2a） 2，其中 x 0，aR ，存在 x0使得 f（ x0）成立，则实数 a 值是（ ） A B c D 1 3 / 26 11已知椭圆（ a b 0）上一点 A 关于原点的对称点为点B， F 为其右焦点，若 AFBF ，设 ABF= ，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（ ） A B c D 12设 f（ x）为定义在 R 上的可导函数， e 为自然对数的底数若 f（ x） lnx，则（ ） A f（ 2） f（ e） ln2， 2f（ e） f（ e2） B f（ 2） f（ e） ln2， 2f（ e） f（ e2） c f（ 2） f（ e） ln2， 2f（ e） f（ e2） D f（ 2） f（ e） ln2， 2f（ e） f（ e2） 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分 .请将答案填写在答题纸上） . 13椭圆 +y2=1 中，以点 m（ 1，）为中点的弦所在直线方程是 14已知函数 f（ x） =x（ x a）（ x b）的导函数为 f （ x），且 f （ 0） =4，则 a2+2b2的最小值为 15已知圆 c： x2+y2+6x+8y+21=0，抛物线 y2=8x的准 线为l，设抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 m，则 m+|Pc|的最小值为 16设函数 f（ x） =lnx+， mR ，若对任意 b a 0， 1恒成立，则 m 的取值范围为 4 / 26 三、解答题：（本大题共 6 小题共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程是（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 c 的极坐标方程为 2cos2+2sin2 2sin 3=0 （ 1）求直线 l 的极坐标方程； （ 2）若直线 l 与曲线 c 相交于 A、 B 两点，求 |AB| 18设函数 f（ x） =|2x+1| |x 4| （ I）解不等式 f（ x） 0； （ ）若 f（ x） +3|x 4| m 对一切实数 x 均成立，求实数m 的取值范围 19某制造商 3 月生产了一批乒乓球，随机抽取 100 个进行检查，测得每个球的直径（单位： mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表： 分组频数频率 ，） ，） ，） ， 20y 合计 1001 5 / 26 （ 1）求出频率分布表中的 x， y，并在图中补全频率分布直方图； （ 2）若以上述频率作为 概率，已知标准乒乓球的直径为，试求这批乒乓球的直径误差不超过的概率； （ 3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 ，）的中点值是）作为代表据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数） 20如图，在三棱锥 V ABc中，平面 VAB 平面 ABc， VAB为等边三角形， AcBc 且 Ac=Bc=， o， m 分别为 AB， VA的中点 （ 1）求证： VB 平面 moc； （ 2）求证： co 面 VAB； （ 3）求三棱锥 c VAB的体积 21已知椭圆 c： +=1（ a b 0），过椭圆的 上顶点与右顶点的直线 l，与圆 x2+y2=相切，且椭圆 c 的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合； （ 1）求椭圆 c 的方程； （ 2）过点 o 作两条互相垂直的射线与椭圆 c 分别交于 A， B两点，求 oAB 面积的最小值 22已知函数 f（ x） =2x3 6x 3a|2lnx x2+1|，（ aR ） 6 / 26 （ 1）当 a=0时，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若函数 f（ x）存在两个极值点，求 a 的取值范围 XX-2016学年江西省宜春市上高二中高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1抛物线 y=4x2的焦点坐标是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 0） c D 【考点】抛物线的简单性质 【分析】把抛物线 y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和 p 值，即可得到焦点坐标 【解答】解：抛物线 y=4x2 的标准方程为 x2=y， p=，开口向上，焦点在 y 轴的正半轴上， 故焦点坐标为（ 0，）， 故选 c 2下列命题中正确的是（ ） A若 a b，则 ac2 bc2B若 ab 0， a b，则 7 / 26 c若 a b， c d，则 a c b dD若 a b， c d，则 【考点】不等关系与不等式 【分析】选项 A 可举 c=0推翻；选项 B 可由不等式的性质证明；选项 c、 D 均可举反例 【解答】解：选项 A，当 c=0时，由 a b，不能推得 ac2bc2，故错误； 选项 B，因为 ab 0， a b，由不等式的性质可得，即，故正确； 选项 c，可举 a=2， b=， c=1， d=0，显然满足条件，但 a c b d，故错误； 选项 D，可举 a= 1， b= 2， c=1， d=3，显然满足条件， 但，有，故错误 故选 B 3与双曲线 =1有共同的渐近线，且过点（ 2， 2）的双曲线标准方程为（ ） A B c D 【考点】双曲线的简单性质 【分析】由题意设出与双曲线有共同的渐近线的方程为，把点（ 2， 2）代入求出 ，则答案可求 【解答】解：设所求的双曲线方程为， 所求双曲线过点（ 2， 2），则，即 = 3， 8 / 26 所求双曲线方程为 故选： B 4已知 x 与 y 之间的一组数据： x0123 已求得关于 y 与 x 的线性回归方程 =+，则 m 的值为（ ） A 1B 【考点】线性 回归方程 【分析】求出，代入回归方程解出，列方程解出 m 【解答】解： =， =+=4 =4 ，解得 m= 故选： D 5曲线 y=2x lnx在点（ 1， 2）处的切线方程为（ ） A x y+1=0B x+y+1=0c x+y 1=0D x y 1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】求出函数的导数，可得曲线在（ 1， 2）处的切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程 【解答】解： y=2x lnx的导数为 y=2 ， 可得曲线 y=2x lnx在点（ 1， 2） 处的切线斜率为 k=1， 即有曲线 y=2x lnx 在点（ 1， 2）处的切线方程为 y 2=x9 / 26 1， 即为 x y+1=0 故选： A 6若曲线（ t 为参数）与曲线 x2+y2=8 相交于 B， c 两点，则 |Bc|的值为（ ） A B c D 【考点】直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程 【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论 【解答】解：曲线（ t 为参数），化为普通方程 y=1 x， 曲线 x2+y2=8， y=1 x 代入 x2+y2=8，可得 2x2 2x 7=0， |Bc|= 故选： D 7长郡中学早上 8 点开始上课，若学生小典与小方匀在早上 7： 40至 8： 00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早 5 分钟到校的概率为（ ） A B c D 【考点】几何概型 10 / 26 【分析】设小张到校的时间为 x，小王到校的时间为 y（ x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为= （ x， y|40x60 ， 40y60 是一个矩形区域，则小张比小王至少早 5 分钟到校事件 A=（ x， y） |y x5 作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可 【解答】解：设小张到校的时间为 x，小王到校的时间为 y （ x， y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为 = （ x， y|40x60 ， 40y60 是一个矩形区域， 对应的面积 S=2020=400 ， 则小张比小王至少早 5分钟到校事件 A=x|y x5 作出符合题意的图象， 则符合题意的区域为 ABc ，联立得 c（ 55， 60）， 由得 B（ 40， 45）， 则 SABc=1515 ，由几何概率模型可知小张比小王至 少早 5 分钟到校的概率为 =， 故选： A 8若两个正实数 x， y 满足，且不等式有解，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 1， 4） B（ ， 1） （ 4， + ） c（ 4， 1） D（ ， 0） （ 3， + ） 11 / 26 【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式 【分析】将不等式有解，转化为求 （ x+） min m2 3m，利用 “1” 的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于 m的一元二次不等式的解集即可得到答案 【解答】解： 不等式有解， （ x+） min m2 3m， x 0， y 0，且， x+= （ x+）（） =+2=4， 当且仅当，即 x=2， y=8时取 “=” ， （ x+） min=4， 故 m2 3m 4，即（ m+1）（ m 4） 0， 解得 m 1 或 m 4， 实数 m 的取值范围是（ ， 1） （ 4， + ） 故选： B 9在三棱椎 A BcD中，侧棱 AB， Ac， AD两两垂直， ABc ，AcD ， ADB 的面积分别为，则该三棱椎外接球的表面积为（ ） A 2B 6c D 24 【考点】球的体积和表面积 【分析】三棱锥 A BcD中，侧棱 AB、 Ac、 AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球12 / 26 的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，即可求三棱锥外接球的表面积 【解答】解：三棱锥 A BcD中，侧棱 AB、 Ac、 AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径， 侧棱 Ac、 Ac、 AD 两两垂直， ABc 、 AcD 、 ADB 的面积分别为、， ABAc= ， ADAc=， ABAD= AB= ， Ac=1， AD= 球的直径为： = 半径为 三棱锥外接球的表面积为 4=6 故选： B 10设函数 f（ x） =（ x a） 2+（ lnx2 2a） 2，其中 x 0，aR ，存在 x0使得 f（ x0）成立，则实数 a 值是（ ） A B c D 1 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】把函数看作是动点 m（ x， lnx2）与动点 N（ a， 2a）之间距离的平方，利用导数求出曲线 y=2lnx 上与直线 y=2x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线13 / 26 斜率的关系列式求得实数 a 的值 【解答】解：函数 f（ x）可以看作是动点 m（ x， lnx2）与动点 N（ a， 2a）之间距离的平方， 动点 m 在函数 y=2lnx 的图象上， N 在直线 y=2x的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由 y=2lnx得， y=2，解得 x=1， 曲线上点 m（ 1， 0）到直线 y=2x 的距离最小，最小距离d=， 则 f（ x） ， 根据题意，要使 f（ x0） ，则 f（ x0） =，此时 N 恰好为垂足， 由 kmN=，解得 a= 故选： A 11已知椭圆（ a b 0）上一点 A 关于原点的对称点为 点B， F 为其右焦点，若 AFBF ，设 ABF= ，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（ ） A B c D 【考点】椭圆的简单性质 【分析】首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以： AB=NF，再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a，由离心率公式 e=由的范围，进一步求出结14 / 26 论 【解答】解：已知椭圆（ a b 0）上一点 A 关于原点的对称点为点 B， F 为其右焦点，设左焦点为： N 则：连接 AF， AN， AF， BF 所以：四边形 AFNB 为长方形 根据椭圆的定义： |AF|+|AN|=2a ABF= ，则： ANF= 所以： 2a=2ccos+2csin 利用 e= 所以： 则： 即：椭圆离心率 e 的取值范围为 故选： A 12设 f（ x）为定义在 R 上的可导函数， e 为自然对数的底数若 f（ x） lnx，则（ ） A f（ 2） f（ e） ln2， 2f（ e） f（ e2） B f（ 2） f（ e） ln2， 2f（ e） f（ e2） c f（ 2） f（ e） ln2， 2f（ e） f（ e2） D f（ 2） f（ e） ln2， 2f（ e） f（ e2） 【考 点】利用导数研究函数的单调性 15 / 26 【分析】构造函数 g（ x），求出函数的单调性，从而求出函数值的大小即可 【解答】解：令 g（ x） =， 则 g （ x） =， f （ x） lnx， g （ x） 0， g （ x）在 R 递增， g （ 2） g（ e） g（ e2）， f （ 2） f（ e） ln2， 2f（ e） f（ e2）， 故选： B 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分 .请将答案填写在答题纸上） . 13椭圆 +y2=1 中，以点 m（ 1，）为中点的弦所在直线方程是 x+2y 2=0 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】判断 m 在椭圆内，设弦 AB的端点为（ x1， y1），（ x2，y2），代入椭圆方程，运用点差法，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，再由点斜式方程，即可得到所求方程 【解答】解：由 m 点代入椭圆方程可得， + 1， 即 m 在椭圆内，则直线与椭圆相交 设弦 AB的端点为（ x1， y1），（ x2， y2）， 16 / 26 即有 +y12=1， +y22=1， 两式相减可得， +（ y1 y2）（ y1+y2） =0， 由中点坐标公式可得， x1+x2=2， y1+y2=1， 代入上式，可得 kAB= =， 即有 弦所在的直线方程为 y =（ x 1）， 即为 x+2y 2=0 故答案为： x+2y 2=0 14已知函数 f（ x） =x（ x a）（ x b）的导函数为 f （ x），且 f （ 0） =4，则 a2+2b2的最小值为 8 【考点】导数的运算 【分析】求函数的导数，得到 ab=4，然后利用基本不等式即可得到结论 【解答】解： f （ x） =x（ x a）（ x b） =x3（ a+b） x2+abx， f （ x） =3x2 2（ a+b） x+ab， f （ 0） =4， f （ 0） =ab=4， a2+ 2b2 ，当且仅当 a2=2b2，即 a=时取等号， 故答案为： 8 15已知圆 c： x2+y2+6x+8y+21=0，抛物线 y2=8x的准线为l，设抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 m，则 m+|Pc|17 / 26 的最小值为 【考点】圆与圆锥曲线的综合 【分析】求出圆的圆心 c 的坐标，利用抛物线定义，当 m+|Pc|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，求解即可 【解答】解：由题意得圆的方程为（ x+3） 2+（ y+4） 2=4， 圆心 c 的坐标为（ 3， 4） 由抛物线定义知，当 m+|Pc|最小时为圆心与抛 物线焦点间的距离， 即 m+|Pc|= 故答案为： 16设函数 f（ x） =lnx+， mR ，若对任意 b a 0， 1恒成立，则 m 的取值范围为 ， + ） 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】由 b a 0， 1 恒成立，等价于 f（ b） b f（ a） a 恒成立；即 h（ x） =f（ x） x在（ 0， + ）上单调递减；h （ x） 0 ，求出 m 的取值范围 【解答】（ ）对任意 b a 0， 1 恒成立， 等价于 f（ b） b f（ a） a 恒成立； 设 h（ x） =f（ x） x=lnx+ x（ x 0）， 则 h（ b） h（ a） h （ x）在（ 0， + ）上单调递减； 18 / 26 h （ x） = 10 在（ 0， + ）上恒成立， m x2+x=（ x） 2+（ x 0）， m ； 对于 m=， h （ x） =0仅在 x=时成立； m 的取值范围是 ， + ） 三、解答题：（本大题共 6 小题共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程是（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 c 的极坐标方程为 2cos2+2 sin2 2sin 3=0 （ 1）求直线 l 的极坐标方程； （ 2）若直线 l 与曲线 c 相交于 A、 B 两点，求 |AB| 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式 【分析】（ 1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得到直线 l 的极坐标方程； （ 2）将直线 l 的极坐标方程代入曲线 c 极坐标方程，可得关于 的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到 AB的长度 【解答】解：（ 1）直线 l 的参数方程是（ t 为参数），化为普通方程得： y=x 19 / 26 在平面直角坐 标系中，直线 l 经过坐标原点，倾斜角是， 因此，直线 l 的极坐标方程是 = ，（ R ）； （ 2）把 = 代入曲线 c 的极坐标方程 2cos2+2sin2 2sin 3=0，得 2 3=0 由一元二次方程根与系数的关系，得 1+2= ， 12= 3， |AB|=|1 2|= 18设函数 f（ x） =|2x+1| |x 4| （ I）解不等式 f（ x） 0； （ ）若 f（ x） +3|x 4| m 对一切实数 x 均成立，求实数m 的取值范围 【考点】函数的最值及其几何意义；绝对值 不等式的解法 【分析】（ I）分类讨论当 x4 时，当时，当时，求解原不等式的解集 （ II）利用绝对值三角不等式求出最值，可得 m 的范围， 【解答】解：（ I）当 x4 时， f（ x） =2x+1（ x 4） =x+5 0，得 x 5，所以 x4 成立 当时， f（ x） =2x+1+x 4=3x 3 0，得 x 1，所以 1 x 4 成立 当时， f（ x） = x 5 0，得 x 5，所以 x 5 成立 综上，原不等式的解集为 x|x 1 或 x 5 5 分 20 / 26 （ II） f（ x） +3|x 4|=|2x+1|+2|x 4|2x+1 （ 2x 8）|=9 当，所以 m 9 10 分 19某制造商 3 月生产了一批乒乓球，随机抽取 100 个进行检查，测得每个球的直径（单位： mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表： 分组频数频率 ，） ，） ，） ， 20y 合计 1001 （ 1）求出频率分布表中的 x， y，并在图中补全频率分布直方图； （ 2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为，试求这批乒乓球的直径误差不超过的概率； （ 3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 ，）的中 点值是）作为代表据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数） 【考点】频率分布直方图 21 / 26 【分析】（ 1）根据所给的频数和样本容量，用频数除以样本容量做出每一组数据对应的频率，填入表中，画出对应的频率分步直方图； （ 2）误差不超过，即直径落在 ， 范围内，将直径落在 ， 范围内的频率求和即可得到所求； （ 3）做出每一组数据的区间的中点值，用这组数据的中间值分别乘以对应的这个区间的频率，得到这组数据的总体平均值 【解答】解：（ 1） x=20， y=频率颁布直方图如图： （ 2）误差不超 过，即直径落在 ， 内， 其概率为 += （ 3）整体数据的平均值为 += （ mm） 20如图，在三棱锥 V ABc中，平面 VAB 平面 ABc， VAB为等边三角形， AcBc 且 Ac=Bc=， o， m 分别为 AB， VA的中点 （ 1）求证： VB 平面 moc； （ 2）求证： co 面 VAB； （ 3）求三棱锥 c VAB的体积 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；22 / 26 直线与平面垂直的判定 【分析】（ 1）由中位线定理得 VBom ，故而 VB 平面 moc； （ 2）由三线合一可知 ocAB ，利用面面垂直的性质得出 oc平面 VAB； （ 3）由勾股定理求出 AB， oc，得出 VAB 的面积，代入棱锥的体积公式即可 【解答】证明：（ 1） o ， m 分别为 AB， VA的中点， VBom ，又 VB平面 moc， om平面 moc， VB 平面 moc （ 2） Ac=Bc ， o 是 AB的中点， ocAB ， 又平面 VAB 平面 ABc，平面 VAB 平面 ABc=AB， oc平面 ABc， oc 平面 VAB （ 3） AcBc 且 Ac=Bc=， AB=2 oc=AB=1 VAB 为等边三角形， SVAB= Vc VAB= 21已知椭圆 c： +=1（ a b 0），过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l，与圆 x2+y2=相切，且椭圆 c 的右焦点与抛物线23 / 26 y2=4x的焦点重合； （ 1）求椭圆 c 的方程； （ 2）过点 o 作两条互相垂直的射线与椭圆 c 分别交于 A， B两点，求 oAB 面积的最小值 【考点】椭圆的简单性质 【分析】（ 1）写出过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程，由的到直线的距离得到关于 a， b 的等式，由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆的半焦距长，结合隐含条件联立可得 a，b 的值，则椭圆方程可求； （ 2）当两射线与坐标轴重合时，直接求出 oAB 面积，不重合时，设直线 AB 方程为 y=kx+m，与椭圆方程联立，结合oAoB 得到 k 与 m 的关系，进一步由点到直线的距离得到 o到 AB的距离，再利用基本不等式求得 AB的最小距离，代入三角形面积公式求得最小值 【解答】解：（ 1）过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l 为，即bx+ay ab=0， 由直线与相切，得， 抛物线 y2=4x的焦点为 F（ 1， 0）， c=1 即 a2 b2=1，代入 得 7a4 31a2+12=0， 即（ 7a2 3）（ a2 4） =0，得（舍去）， b2=a2 1=3 故椭圆 c 的方程为； 24 / 26 （ 2）当两射线与坐标轴重合时，； 当两射线不与坐标轴重合时，设直线 AB的方程为 y=kx+m，A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 与椭圆联立消去 y，得（ 3+4k2） x2+8kmx+4m2 12=0 oAoB ， x1x2+y1y2=0 ， x1x2+ （ kx1+m）（ kx2+m） =0 即， 把代入，得， 整理