高三数学一轮复习《导数与函数的极值最值》理.ppt

理数 课标版,第三节 导数与函数的极值、最值,1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 都小 , f (a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f (x)0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数y=f(x)的 极小值.,教材研读,(2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 都大 , f (b)=0,而且在点x=b附近的左侧 f (x)0 ,右侧 f (x)0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 注: 极大值 和 极小值 统称为极值.,2.函数的最值与导数 一般地,求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 ; (2)将函数y=f(x)的各极值与 端点处 的函数值f(a)、 f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 注:如果在区间a,b上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它 必有最大值和最小值.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的极大值不一定比极小值大. (),(2)对可导函数f(x), f (x0)=0是x0点为极值点的充要条件. () (3)函数的极大值一定是函数的最大值. () (4)开区间上的单调连续函数无最值. (),1.(2016四川,6,5分)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= ( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2,答案 D 由题意可得f (x)=3x2-12=3(x-2)(x+2), 令f (x)=0,得x=-2或x=2, 则f (x), f(x)随x的变化情况如下表:,函数f(x)在x=2处取得极小值,则a=2.故选D.,2.设函数f(x)= +ln x,则 ( ) A.x= 为f(x)的极大值点 B.x= 为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 答案 D f(x)= +ln x(x0), f (x)=- + = ,当x2时, f (x)0,此时 f(x)为增函数;当0x2时, f (x)0,此时f(x)为减函数,据此知x=2为f(x)的 极小值点.,3.函数y=xex的最小值是 ( ) A.-1 B.-e C.- D.不存在 答案 C y=xex,y=ex+xex=(1+x)ex.当x-1时,y0;当x-1时,y0.当 x=-1时函数取得最小值,且ymin=- .故选C.,4.函数f(x)=x-aln x(a0)的极小值为 . 答案 a-aln a 解析 f(x)的定义域为(0,+),易知f (x)=1- . 由f (x)=0,解得x=a(a0). 又当x(0,a)时, f (x)0, 函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a.,考点一 运用导数解决函数的极值问题 命题角度一 求已知函数的极值,典例1 (2017成都双流中学月考)设a0,函数f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x). 求函数f(x)的极值. 解析 f(x)的定义域为(0,+). f (x)=x-(a+1)+ = = . 当00,函数f(x)单调递增;若x(a,1),则f (x)0,函数f(x)单调递增. 此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a) =- a2+aln a,极小值是f(1)=- .,考点突破,当a=1时, f (x)= 0,所以函数f(x)在定义域(0,+)内单调递增,此时f(x)没有极值点,故无极值. 当a1时,若x(0,1),则f (x)0,函数f(x)单调递增; 若x(1,a),则f (x)0,函数f(x)单调递增. 此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1) =- ,极小值是f(a)=- a2+aln a. 综上,当01时, f(x)的极大值是- ,极小值是- a2+aln a.,命题角度二 已知函数的极值情况求参数的值或范围 典例2 已知函数f(x)= . (1)求函数f(x)的单调区间; (2)设g(x)=xf(x)-ax+1,若g(x)在(0,+)上存在极值点,求实数a的取值范围. 解析 (1)f(x)= ,x(-,0)(0,+), f (x)= . 当f (x)=0时,x=1. f (x)与f(x)随x的变化情况如下表:,故f(x)的增区间为(1,+),减区间为(-,0)和(0,1). (2)易得g(x)=ex-ax+1, g(x)=ex-a, 当a1时,在(0,+)上,g(x)=ex-a0,即g(x)在(0,+)上递增,此时g(x)在 (0,+)上无极值点. 当a1时,令g(x)=ex-a=0,得x=ln a; 令g(x)=ex-a0,得x(ln a,+); 令g(x)=ex-a1.,方法技巧 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程,2.已知函数极值点和极值求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值列方程组,利用待定系数法求解. (2)验证:因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所 以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.,1-1 已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则 的值为 ( ) A.- B.-2 C.-2或- D.不存在,答案 C f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a, f (x)=3x2+2ax+b,由题意知f (1)=3+2a+b=0,b=-3-2a,又f(1)=1+a+b-a2-7a=10, 将代入整理得a2+8a+12=0,解得a=-2或a=-6. 当a=-2时,b=1;当a=-6时,b=9. =-2或 =- ,故选C.,1-2 (2016河北石家庄一模)已知函数f(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底 数,aR).求f(x)的单调区间与极值. 解析 由f(x)=ex-3x+3a知, f (x)=ex-3. 令f (x)=0,得x=ln 3, 于是当x变化时, f (x)和f(x)的变化情况如下表:,故f(x)的单调递减区间是(-,ln 3, 单调递增区间是ln 3,+), f(x)在x=ln 3处取得极小值,极小值为f(ln 3)= -3ln 3+3a=3(1-ln 3+a).,考点二 运用导数解决函数的最值问题 典例3 已知函数f(x)=x2eax,其中a0,e为自然对数的底数. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)求函数f(x)在区间0,1上的最大值. 解析 (1)f (x)=2xeax+x2aeax=x(ax+2)eax. 当a=0时,由f (x)0得x0,由f (x)0得0- . 故函数f(x)在 上单调递增. 在(-,0)与 上单调递减.,(2)当a=0时, f(x)在区间0,1上单调递增,其最大值为f(1)=1. 当-21, f(x)在区间0,1上单调递增,其最大值是f(1)=ea. 当a-2时,0- 1,x=- 是函数f(x)在区间0,1上唯一的极大值点,也 就是最大值点, 此时函数f(x)的最大值是f = . 综上得当-2a0时, f(x)在0,1上的最大值是ea; 当a-2时, f(x)在0,1上的最大值为 .,规律总结 求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值f(a), f(b); (3)将函数f(x)的极值与f(a), f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值. 2-1 (2016湖北七市(州)协作体联考)设nN*,a,bR,函数f(x)= +b, 已知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=x-1. (1)求a,b; (2)求f(x)的最大值.,解析 (1)f(x)的定义域为(0,+), f (x)= . f (1)=a,又切线斜率为1,故a=1. 由曲线y=f(x)过点(1,0),有f(1)=b=0. 故a=1,b=0. (2)由(1)知f(x)= , f (x)= . 令f (x)=0,得1-nln x=0,解得x= . 当00,得f(x)在(0, )上是增函数; 当x 时,有f (x)0,得f(x)在( ,+)上是减函数. 故f(x)在x= 处取得最大值f( )= .,考点三 函数极值与最值的综合应用 典例4 已知函数f(x)= (a0)的导函数y=f (x)的两个零点为-3 和0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间-5,+)上的最大值. 解析 (1)f (x)= = , 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为ex0,所以y=f (x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f (x)与 g(x)符号相同. 因为a0,所以由题意知:当-30,即f (x)0;,当x0时,g(x)0,即f (x)0, 所以f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-,-3),(0,+). (2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有 =-e3, 结合g(0)=b-c=0,g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0,解得a=1,b=5,c=5, 所以f(x)= . 因为f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-,-3),(0,+), 所以f(0)=5为函数f(x)的极大值, 且f(x)在区间-5,+)上的最大值为f(-5)和f(0)中的最大者.,而f(-5)= =5e55=f(0), 所以函数f(x)在区间-5,+)上的最大值是5e5.,方法技巧 解决函数极值、最值问题的策略 (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小. (2)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较才能下 结论,即函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比 较才能确定最值.,3-1 (2016云南统一检测)已知常数a0, f(x)=aln x+2x. (1)当a=-4时,求f(x)的极值; (2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围. 解析 (1)由已知得f(x)的定义域为(0,+), f (x)= +2= .,当a=-4时, f (x)= . 当02时, f (x)0,即f(x)单调递增.,f(x)只有极小值,且在x=2时, f(x)取得极小值f(2)=4-4ln 2. 当a=-4时,