例析向量试题的小题小做.doc

例析向量试题的小题小做 江苏省海州高级中学(222023)刘希栋 在数学教与学的过程中，小题大做与小题小做各有所长，但考试时小题大做在时间和精力等方面很不经济，应力求小题小做。下面通过例子介绍向量试题小题小做的方法和策略。 一、巧妙运用对称性 例1（xx安徽高考理科试题）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120。图1所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。若OC=xOA+yOB,其中x,yR,则x+y的最大值是。 解：以点O为原点，AOB的平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图2，则OC=xOA+yOB=(32(xy),12(x+y)，又点C纵坐标最大值为1，故x+y的最大值是2。 图1图2 二、运用特殊化策略 例2（xx湖南高考理科试题）如图3,OMAB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动,且OP=xOA+ yOB,则x的取值范围是；当x=12时,y的取值范围是。 图3图4 分析：在OP=xOA+yOB（OA,OB不共线）时研究实数对(x,y)，可以判断无论不共线向量OA，OB的相对位置如何，结论都应该是确定的，因而可将向量OA，OB视作垂直的单位向量（特殊化），将问题置于平面直角坐标系中来研究。 点P所在的区域如图4阴影部分（不含边界）所示，其中直线OM的方程为x+y=0，直线AB的方程为x+y=1，实数对(x,y)满足的条件为x0，0 x的取值范围是x0；当x=12时,y的取值范围是12 用同样的方法可快速解决下面的试题： 例3（xx安徽江南十校）如图5，点P是线段OB及线段AB的延长线所围成的阴影区域（含边界）内的任意一点。且OP=xOA+yOB，实数对(x,y)所表示的区域在直线y=4的下侧部分的面积是。 解：按例2的处理方法，点P所在的区域即为图6所示，其中直线AB的方程为x+y=1， 实数对(x,y)满足的条件为x0，x+y1。在直线y=4的下侧部分（图7）的面积是92。 图5图6图7 例4ABC中，OC=14OA,OD=12OB，AD与BC交于点M，设OA=a,OB=b。 （1）OM=（用a,b表示）； （2）分别在线段AC、BD上取一点E和F，使EF过M，设OE=OA,OF=OB，则,满足的关系式为。 解析：在向量OA,OB不共线的情况下，研究OP=xOA+yOB中实数对(x,y)，我们可以将问题置于平面坐标系中来研究。 图8如图8，分别以OA,OB为x,y轴建立平面坐标系， （1）记点A(1,0)，B(0,1)，依题意点C(14,0)，点D(0,12)，直线AD的方程为x+2y=1，直线BC的方程为4x+y=1，解方程组x+2y=1， 4x+y=1，得x=17， y=37，点M(17,37)，所以OM=17a+37b。 （2）由题意，知点E(,0)，点F(0,)，直线EF的方程分别为x+y=1，而EF过M点，所以，17+37=1，这就是所求,满足的关系式。 需要强调的是：与向量夹角或模有关的问题（含向量数量积）不宜用该方法。 参考文献 1康小峰。一道值得欣赏的高考题J。中学数学研究（江西）,xx