2016年赣州市高一数学下期末试卷（有答案和解释）

1 / 23 2016 年赣州市高一数学下期末试卷（有答案和解释） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX-2016 学年江西省赣州市高一（下）期末数学试卷 一、选择题（共 12小题，每小题 5 分，满分 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1在等差数列 an中，已知首项 a1=1，公差 d=3，若 an=301时，则 n 等于（ ） A 96B 99c 100D 101 2若不论 m 取何实数，直线 l： mx+y 1+2m=0 恒过一定点，则该定点的坐标为（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） c（ 2， 1） D（ 2， 1） 3对于实数 a， b， c，下列命题正确的是（ ） A若 a b，则 ac2 bc2B若 a b 0，则 a2 ab b2 c若 a b 0，则 D若 a b 0，则 4已知 1， a， b， c， 4 成等比数列，则实数 b 为（ ） A 4B 2c 2D 2 5不等式 x2 ax 6a2 0（ a 0）的解集为（ ） A（ ， 2a） （ 3a， + ） B（ ， 3a） （ 2a，+ ） c（ 2a， 3a） D（ 3a， 2a） 2 / 23 6过 点（ 3， 1）作圆（ x 1） 2+y2=r2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为（ ） A 2x+y 5=0B 2x+y 7=0c x 2y 5=0D x 2y 7=0 7设 a 1， b 0，若 a+b=2，则 +的最小值为（ ） A 2B 6c 4D 3+2 8设向量，满足 |=|=|+|=1，则 | t|（ tR ）的最小值为（ ） A 2B c 1D 9已知不等式组表示的平面区域的面积等于 3，则 a 的值为（ ） A 1B c 2D 10定义为 n 个正数 p1， p2， pn 的 “ 均倒数 ” 若已知数列 an的前 n 项的 “ 均倒数 ” 为，又，则 =（ ） A B c D 11已知，是平面内的非零向量，且，不共线，则关于 x的方程 x2+x+=0的解的情况是（ ） A至少有一个实数解 B至多有一个实数解 c至多有两个实数解 D可能有无数个实数解 12已知圆的方程为 x2+y2 8x+15=0，若直线 y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为 1 的圆与圆 c 有公共点，则 k 的最小值是（ ） A B c D 3 / 23 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20分） 13设 ABc 的内角 A， B， c 的对边分别为 a， b， c若 a=，sinB=， c=，则 b= 14已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若，且 A、 B、 c三点共线（该直线不过原点 o），则 S200= 15在平面直角坐标系 xoy 中，若点 P（ m， 1）到直线 4x 3y 1=0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x+y3 表示的平面区域内，则 m= 16已知关于 x 的不等式 ax2+3ax+a 2 0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分 .解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17已知直线 l 过点（ 2， 1）和点（ 4， 3） （ ）求直线 l 的方程； （ ）若圆 c 的圆心在直线 l 上，且与 y 轴相切于（ 0， 3）点，求圆 c 的方程 18在锐角 ABc 中，内角 A， B， c 的对边分别为 a， b， c，且 2asinB=b （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 a=4， b+c=8，求 ABc 的面积 4 / 23 19从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入 800万元，以后每年投入将比上年减少本年度当地旅游业 收入估计为 400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 （ 1）设 n 年内（本年度为第一年）总投入为 an万元，旅游业总收入为 bn万元写出 an， bn的表达式； （ 2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 20 ABc 的三个内角 A、 B、 c 的对边分别为 a， b， c， A、B、 c 成等差数列，且 （ 1）求 ac的值； （ 2）若 sinA、 sinB、 sinc 也成等差数列，试判断 ABc 的形状，并说明理由 21已知一非零向量列 满足： =（ 1，），且 =（ xn， yn） =（ xn 1 yn 1， xn 1+yn 1）（ n2 ） （ 1）求证： |是等比数列； （ 2）求证：，（ n2 ）的夹角 n 为定值 22已知曲线 c 的方程为： ax2+ay2 2a2x 4y=0（ a0 ， a为常数） （ 1）判断曲线 c 的形状； （ 2）设曲线 c 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、 B（ A、 B 不同于原点 o），试判断 AoB 的面积 S 是否为定值？并证明你的判5 / 23 断； （ 3）设直线 l： y= 2x+4与曲线 c 交于不同的两点 m、 N，且 |om|=|oN|，求曲线 c 的方程 XX-2016学年 江西省赣州市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12小题，每小题 5 分，满分 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1在等差数列 an中，已知首项 a1=1，公差 d=3，若 an=301时，则 n 等于（ ） A 96B 99c 100D 101 【考点】等差数列的前 n 项和 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出 【解答】解： 首项 a1=1，公差 d=3， an=301， 301=1+3 （ n 1），解得 n=101 故选： D 2 若不论 m 取何实数，直线 l： mx+y 1+2m=0 恒过一定点，则该定点的坐标为（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 1） c（ 2， 1） D（ 2， 1） 6 / 23 【考点】恒过定点的直线 【分析】将直线的方程整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点，此点即为直线恒过的定点 【解答】解：直线 l： mx+y 1+2m=0 可化为 m（ x+2） +（ y 1） =0 由题意，可得， 直线 l： mx+y 1+2m=0恒过一定点（ 2， 1） 故选 A 3对于实数 a， b， c，下列命题正确的是（ ） A若 a b，则 ac2 bc2B若 a b 0，则 a2 ab b2 c若 a b 0，则 D若 a b 0，则 【考点】命题的真假判断与应用 【分析】选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果 【解答】解： A，当 c=0时，有 ac2=bc2 故错 B 若 a b 0，则 a2 ab=a（ a b） 0， a2 ab； ab b2=b（ a b） 0， ab b2， a2 ab b2故对 c 若 a b 0，取 a= 2， b= 1，可知，故错 D 若 a b 0，取 a= 2， b= 1，可知，故错 故选 B 7 / 23 4已知 1， a， b， c， 4 成等比数列，则实数 b 为（ ） A 4B 2c 2D 2 【考点】等比数列的通项公式 【分析】利用等比数列的性质求得 b=2 ，验证 b=2 不合题意，从而求得 b= 2 【解答】解： 1， a， b， c， 4 成等比数列， b2= （ 1） （ 4） =4， 则 b=2 ， 当 b=2时， a2=（ 1） 2= 2，不合题意，舍去 b= 2 故选： B 5不等式 x2 ax 6a2 0（ a 0）的解集为（ ） A（ ， 2a） （ 3a， + ） B（ ， 3a） （ 2a，+ ） c（ 2a， 3a） D（ 3a， 2a） 【考点】一元二次不等式的解法 【分析】利用因式分解法解不等式即可 【解答】解 x2 ax 6a2 0（ a 0）等价于（ x+2a）（ x3a） 0，解得 3a x 2a， 故不等式的解集为（ 3a， 2a）， 故选： D 8 / 23 6过点（ 3， 1）作圆（ x 1） 2+y2=r2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为（ ） A 2x+y 5=0B 2x+y 7=0c x 2y 5=0D x 2y 7=0 【考点】圆 的切线方程 【分析】由题意画出图形，可得点（ 3， 1）在圆（ x 1） 2+y2=r2上，求出圆心与切点连线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案 【解答】解：如图， 过点（ 3， 1）作圆（ x 1） 2+y2=r2的切线有且只有一条， 点（ 3， 1）在圆（ x 1） 2+y2=r2 上， 连接圆心与切点连线的斜率为 k=， 切线的斜率为 2， 则圆的切线方程为 y 1= 2（ x 3），即 2x+y 7=0 故选： B 7设 a 1， b 0，若 a+b=2，则 +的最小值为（ ） A 2B 6c 4D 3+2 【考点】基本不等式 【分析】利用基本不等式的性质即可得出， 【解答】解： a+b=2 ， 9 / 23 a 1+b=1， += （ +） （ a 1+b） =1+2+=3+2=3+2， 当且仅当 a=， b=2时取等号， 故 a+b=2，则 +的最小值为 3+2， 故选： D 8设向量，满足 |=|=|+|=1，则 | t|（ tR ）的最小值为（ ） A 2B c 1D 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【分析】由题意易得向量的夹角，进而由二次函数可得 |t|2的最小值，开方可得 【解答】解：设向量，的夹角为 ， |=|=|+|=1 ， =1+1+211cos=1 ， 解得 cos= ， = ， | t|2=+t2 =t2+t+1=（ t+） 2+， 当 t=时，上式取到最小值， | t|的最小值为 故选： D 10 / 23 9已知不等式组表示的平面区域的面积等于 3，则 a 的值为（ ） A 1B c 2D 【考点】简单线性规划 【分析】作出不等式组对应的区域，利用的平面区域的面积等于 3，建立条件关系即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： ax y+2=0过定点 A（ 0， 2）， ax y+20 表示直线 ax y+2=0的下方， a 0，则由图象可知 c（ 2， 0）， 由，解得， 即 B（ 2， 2+2a）， 则 ABc 的面积 S=， 故 a=， 故选： D 10定义为 n 个正数 p1， p2， pn 的 “ 均倒数 ” 若已知数列 an的前 n 项的 “ 均倒数 ” 为，又，则 =（ ） A B c D 【考点】类比推理 【分析】由已知得 a1+a2+an=n （ 2n+1） =Sn，求出 Sn后，11 / 23 利用当 n2 时， an=Sn Sn 1，即可求得通项 an，最后利用裂项法，即可求和 【解答】解：由已知得， a1+a2+an=n （ 2n+1） =Sn 当 n2 时， an=Sn Sn 1=4n 1，验证知当 n=1时也成立， an=4n 1， ， =+ （） + （） =1 = 故选 c 11已知，是平面内的非零向量，且，不共线，则关于 x的方程 x2+x+=0的解的情况是（ ） A至少有一个实数解 B至多有一个实数解 c至多有两个实数解 D可能有无数个实数解 【考点】向 量的线性运算性质及几何意义 【分析】原方程即 = x2 x，由于，是平面内的非零向量，且，不共线，可视为 “ 基底 ” ，根据平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 1 、 2 ，使得 1= x2 且 2= x，即可判断出结论 【解答】解：原方程即 = x2 x，由于，是平面内的非零向量，且，不共线，可视为 “ 基底 ” ， 12 / 23 根据平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 1 、 2 ，使得 1= x2 且 2= x， 即当 1= 22 时方程有一解，否则当 1 22 时方程无解， 故关于实数 x 的方程 x2+x+=0的解的情况是 至多有一个解 故选： B 12已知圆的方程为 x2+y2 8x+15=0，若直线 y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为 1 的圆与圆 c 有公共点，则 k 的最小值是（ ） A B c D 【考点】直线与圆相交的性质 【分析】圆 c 的圆心为 c（ 4， 0），半径 r=1，从而得到点 c到直线 y=kx+2的距离小于或等于 2，由此能求出 k的最小值 【解答】解： 圆 c 的方程为 x2+y2 8x+15=0， 整理得：（ x 4） 2+y2=1， 圆心为 c（ 4， 0），半径 r=1 又 直线 y=kx+2 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1为半径的圆与圆 c 有公共点， 点 c 到直线 y=kx+2 的距离小于或等于 2， 2 ， 化简得： 3k2+4k0 ，解之得 k0 ， k 的最小值是 故选： A 13 / 23 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20分） 13设 ABc 的内角 A， B， c 的对边分别为 a， b， c若 a=，sinB=， c=，则 b= 1 【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数 【分析】由 sinB=，可得 B=或 B=，结合 a=， c=及正弦定理可求 b 【解答】解： sinB= ， B= 或 B= 当 B=时， a=， c=， A=， 由正弦定理可得， 则 b=1 当 B=时， c=，与三角形的内角和为 矛盾 故答案为： 1 14已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若，且 A、 B、 c三点共线（该直线不过原点 o），则 S200= 100 【考点】等差数列的前 n 项和；数列递推式；三点共线 【分析】因为，且 A、 B、 c 共线，所以 a1+a200=1，所以 =100 【解答】解： A、 B、 c 三点共线的充要条件是：对平面内任意一点 o， 都有 14 / 23 因为，且 A、 B、 c 共线， 所以 a1+a200=1， 所以 =100 故答案为： 100 15在平面直角坐标系 xoy 中，若点 P（ m， 1）到直线 4x 3y 1=0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x+y3 表示的平面区域内，则 m= 4 【考点】简单线性规划 【分析】先根据点 P 在不等式 2x+y3 表示的平面区域内，建立不等式关系求出 m 1，然后结合点到直线的距离公式建立方程进行求解即可 【解答】解： 点 P 在不等式 2x+y3 表示的平面区域内， 点 P 的坐标满足 2x+y3 ，即 2m+13 ，得 m1 ， 点 P（ m， 1）到直线 4x 3y 1=0的距离为 4， d=4 ， 即 |m 1|=5，则 m 1=5或 m 1= 5， 则 m=6（舍）或 m= 4， 故答案为： 4 16已知关于 x 的不等式 ax2+3ax+a 2 0 的解集为 R，则实数 a 的取值范围 （， 0 15 / 23 【考点】函数恒成立问题 【分析】根据不等式恒成立的条件建立不等式即可得到结论 【解答】解：若 a=0，不等式等价为 2 0，满足条件， 若 a0 ，则要使不等式恒成立， 则， 即， 即， 综上：（， 0， 故答案为：（， 0 三、解 答题（共 6 小题，满分 70 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17已知直线 l 过点（ 2， 1）和点（ 4， 3） （ ）求直线 l 的方程； （ ）若圆 c 的圆心在直线 l 上，且与 y 轴相切于（ 0， 3）点，求圆 c 的方程 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】（ ）由两点式，可得直线 l 的方程； （ ）利用圆 c 的圆心在直线 l 上，且与 y 轴相切于（ 0， 3）点，确定圆心坐标与半径，即可求圆 c 的方程 【解答】解：（ ）由两点式，可得，即 x y 1=0； （ ） 圆 c 的圆心在直线 l 上，且与 y 轴相切于（ 0， 3）16 / 23 点， 圆心的纵坐标为 3， 横坐标为 2，半径为 2 圆 c 的方程为（ x+2） 2+（ y 3） 2=4 18在锐角 ABc 中，内角 A， B， c 的对边分别为 a， b， c，且 2asinB=b （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 a=4， b+c=8，求 ABc 的面积 【考点】余弦定理；正弦定理 【分析】（ 1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出 sinA=，再由 ABc 是锐角三角形，即可算出角 A的大小； （ 2）由余弦定理 a2=b2+c2 2bccosA 的式子，结合题意化简得 b2+c2 bc=16，与联解 b+c=8 得到 bc 的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得 ABc 的面积 【解答】解：（ 1） ABc 中， 根据正弦定理，得， 锐角 ABc 中， sinB 0， 等式两边约去 sinB，得 sinA= A 是锐角 ABc 的内角， A= ； （ 2） a=4 ， A=， 17 / 23 由余弦定理 a2=b2+c2 2bccosA，得 16=b2+c2 2bccos， 化简得 b2+c2 bc=16， b+c=8 ，平方得 b2+c2+2bc=64， 两式相减，得 3bc=48，可得 bc=16 因此， ABc 的面积 S=bcsinA=16sin=4 19从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入 800万元，以后每年投入将比上年减少本年度当地旅游业收入估计为 400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 （ 1）设 n 年内（本年度为第一年）总投入为 an万元，旅游业总收入为 bn万元写出 an， bn的表达式； （ 2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 【考点】函数模型的选择与应 用 【分析】（ 1）依次写出第 1 年投入量，第 2 年投入量，等等，第 n 年投入量，从而求出 n 年内的总投入量 an，再由第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业收入为 400 （ 1+）万元，归纳出第 n 年旅游业收入为 400 （ 1+） n 1 万元从而得出 n 年内的旅游业总收入 bn （ 2）先设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由 bn an 0，解得 n 的取值范围即可 18 / 23 【解答】解：（ 1）第 1 年投入为 800 万元，第 2 年投入为800 （ 1）万元，第 n 年投入为 800 （ 1） n 1 万元 所以， n 年内的总投入为 an=800+800 （ 1） +800 （ 1） n 1= =40001 （） n； 第 1 年旅游业收入为 400万元，第 2 年旅游业收入为 400（ 1+）万元， 第 n 年旅游业收入为 400 （ 1+） n 1 万元 所以， n 年内的旅游业总收入为 bn=400+400 （ 1+） +400 （ 1+） n 1= =1600 （） n 1 （ 2）设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 bn an 0， 即 1600 （） n 1 40001 （） n 0 化简得 5 （） n+2 （） n 7 0， 设 x=（） n，代入上式得 5x2 7x+2 0， 解此不等式，得， x 1（舍去） 即（） n， 由此得 n5 答：至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入 19 / 23 20 ABc 的三个内角 A、 B、 c 的对边分别为 a， b， c， A、B、 c 成等差数列，且 （ 1）求 ac的值； （ 2）若 sinA、 sinB、 sinc 也成等差数列，试判断 ABc 的形状，并说明理由 【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理 【分析】（ 1）由 A、 B、 c 成等差数列，利用等差数列的性质求出 B 的度数，已知等式利用平面向量的数量积运算法则计算，将 cosB的值代入求出 ac的值即可； （ 2）由 sinA、 sinB、 sinc 也成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再利用正弦定理与余弦定理化简得到结果，即可作出判断 【解答】解：（ 1） A 、 B、 c 成等差数列， 2B=A+c ， A+B+c= ， B= ， 已知等式整理得： =accosB=ac=18， 解得： ac=36 ； （ 2） sinA 、 sinB、 sinc 也成等差数列， 2sinB=sinA+sin c， 在 ABc 中，利用正弦定理化简得： 2b=a+c， 20 / 23 由余弦定理得： b2=a2+c2 2accosB，即（） 2=a2+c2 36， 整理得： a2+c2=72 ， 联立 ，解得： a=c=6， B= ， ABc 为等边三角形 21已知一非零向量列 满足： =（ 1，），且 =（ xn， yn） =（ xn 1 yn 1， xn 1+yn 1）（ n2 ） （ 1）求证： |是等比数列； （ 2）求证：，（ n2 ）的夹角 n 为定值 【考点】等差数列的通项公式；平面向量数量积的 运算 【分析】（ 1）由 =（ xn， yn） =（ xn 1 yn 1， xn 1+yn 1）（ n2 ）可得 xn=， yn=（ xn 1+yn 1），即可证明 = （ 2）由