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文档简介

3.1.3 概率的基本性质,【自主预习】 主题1:事件的关系与运算 1.在抛掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件: C1=出现1点,C2=出现2点,C3=出现3点,C4=出现4 点,C5=出现5点,C6=出现6点,D1=出现的点数不大,于1,D2=出现的点数大于4,D3=出现的点数小于6, E=出现的点数小于7,F=出现的点数大于6,G=出现的点数为偶数,H=出现的点数为奇数.如果事件C1发生,则一定有哪些事件发生?反之,成立吗?在集合中,集合C1与这些集合之间的关系怎样描述?,提示:如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,D3,E,H,反之,如果事件D1,D3,E,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.所以从集合的观点看,事件C1是事件D3,E,H的子集,事件C1与事件D1相等.,2.在问题1的基础上,如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生?事件C3和事件D2能同时发生吗?它们两个事件有什么关系?事件G与事件H呢?,提示:如果事件D2与事件H同时发生,就意味着事件C5发生.事件C3和事件D2不能同时发生,且在一次试验中可能一个也不发生.同样的,事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.,通过以上探究总结出事件间的关系及其运算事件的关系:,发生,BA,AB,不可能,事件,AB=,不可能,事件,必,然事件,AB=,事件的运算:,事件A发生或事件B发生,AB,A+B,事件A发生且事件B发生,AB,AB,主题2:概率的基本性质 1.一个事件的频率的范围是什么?必然事件的频率呢?不可能事件的频率呢?,提示:由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在01之间.必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0.,2.如果事件A与事件B互斥,则事件AB发生的频数与事件A,B发生的频数有什么关系?fn(AB)与fn(A),fn(B)有什么关系? 提示:若事件A与事件B互斥,则AB发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,从而有fn(AB)=fn(A)+fn(B).,由于频率逐渐稳定于概率,所以根据上述频率的特点可 以总结出概率的几个基本性质: (1)任何事件概率的取值范围为_.即0P(A)1. (2)_的概率为1,_的概率为0.,0,1,必然事件,不可能事件,(3)概率的加法公式:若事件A与事件B为互斥事件,则 P(AB)=_. (4)若A与B互为对立事件,则P(A)=_,P(_)=1, P(_)=0.,P(A)+P(B),1-P(B),AB,AB,【深度思考】 结合教材P121例题你认为利用概率的加法公式求概率 的步骤有哪些? 第一步:_. 第二步:_. 第三步:_.,确定各个事件是两两互斥的,求出各个事件分别发生的概率,利用互斥事件的概率加法公式直接求解,【预习小测】 1.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则( ) A.AB B.AB C.A与B互斥 D.A与B互为对立事件,【解析】选C.由互斥事件、对立事件的概念可知:A与B互斥但不对立.,2.某小组有5名男生和3名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件是 ( ) A.至少有1名男生与全是女生 B.至少有1名男生与全是男生 C.至少有1名男生与至少有1名女生 D.恰有1名男生与恰有2名女生,【解析】选D.A中两事件互斥且对立,B,C中两个事件能同时发生故不互斥,D中两事件互斥不对立.,3.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为 .事件A 表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点 数出现”,则一次试验中,事件A+ ( 表示事件B的对 立事件)发生的概率为 ( ),【解析】选C.由题意记C表示“大于等于5的点数出 现”,事件A与事件C互斥.由概率的加法公式可得 P(A+C)=P(A)+P(C)=,4.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.25,则不中奖的概率为_.,【解析】中奖的概率为0.1+0.25=0.35,中奖与不中奖互为对立事件,根据对立事件的概率公式,可得不中奖的概率为1-0.35=0.65. 答案:0.65,【补偿训练】某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23, 0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中: (1)射中10环或7环的概率. (2)不够7环的概率. (仿照教材P 例2的解析过程),【解析】(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为AB. 故P(AB)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49. 所以射中10环或7环的概率为0.49.,(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环,但由于这些概率都未知,故不能直接求解,可考虑从反面入手,不够7环的反面为大于等于7环,即7环、8环、9环、10环,由于这两个事件必有一个发生,另一个不发生,故是对立事件.,设“不够7环”为事件E,则事件 为“射中7环或8环或9 环或10环”,又“射中7环”“射中8环”“射中9环” “射中10环”是彼此互斥的事件, 所以P( )=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97, 从而P(E)=1-P( )=1-0.97=0.03. 所以不够7环的概率为0.03.,【互动探究】 1.观察互斥事件与对立事件的集合表示,思考互斥事件一定是对立事件吗?对立事件一定是互斥事件吗?,提示:从互斥事件与对立事件的图示表示可以看出,对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.,2.互斥事件和对立事件的定义中都用事件A和B来定义的,能否认为互斥事件和对立事件都是仅适用于两个事件之间?,提示:不能,在一次试验中,只要不可能同时发生的事件都是互斥事件,一般适用于两个或多个事件之间.而对立事件,两者必有其一发生,仅适用于两个事件之间.,3.概率的加法公式是否对任意的两个事件都适用呢? 提示:不是,只有两个事件为互斥事件的时候才成立,事实上,对任意的两个事件它们和事件的概率和每个事件的概率应该满足:P(AB)P(A)+P(B).,4.如果事件A和事件B的互斥事件分别为C,D,那么C与D一定是互斥事件吗? 提示:不一定,C与D有可能同时发生,如A=出现1点, B=出现2点,C=出现2,3,4,5,6点,D=出现1,3,4, 5,6点,显然此时C与D很有可能同时发生.,【拓展延伸】多个互斥事件概率计算公式 一般地,如果事件A1,A2,An两两互斥,那么事件“A1A2An”发生的概率,等于这n个事件分别发生的概率和,即P(A1A2An)=P(A1)+P(A2) +P(An).,【探究总结】 知识归纳:,方法总结:求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件. (2)先求其对立事件的概率,再求所求事件的概率.,【题型探究】 类型一:事件关系的判断 【典例1】从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从110各10张)中,任取一张. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”. (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”.,(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”. 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.,【解题指南】解此类问题,要紧紧抓住互斥与对立事件的定义来判断;或利用集合的观点,结合图形解题.,【解析】(1)是互斥事件,不是对立事件. 理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件.,(2)既是互斥事件,又是对立事件. 理由是:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.,(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件. 理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.,【规律总结】互斥事件与对立事件的判断方法 (1)利用基本概念:互斥事件不可能同时发生;对立事件首先是互斥事件,且必须有一个要发生.,(2)利用集合的观点来判断:设事件A与B所含的结果组 成的集合分别是A,B.事件A与B互斥,即集合AB=;事 件A与B对立,即集合AB=,且AB=I,也即A= B或B= A.,提醒:对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件可以是对多个事件来说的. 拓展:如果A1,A2,An中任何两个事件都是互斥事件,那么我们就说A1,A2,An彼此互斥.,【巩固训练】从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球,观察红球个数和白球个数,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.,(1)至少有1个白球,都是白球. (2)至少有1个白球,至少有1个红球. (3)至少有1个白球,都是红球.,【解析】(1)不是互斥事件,因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生,所以不是互斥事件.,(2)不是互斥事件.因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”,“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”,两个事件可以同时发生,故不是互斥事件.,(3)是互斥事件也是对立事件.因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生,且必有一个发生,所以是互斥事件也是对立事件.,类型二:求对立、互斥事件的概率 【典例2】(1)抛掷一枚骰子,观察掷出骰子的点数,设 事件A为“出现奇数点”,事件B为“出现2点”,已知P(A)= ,P(B)= ,出现奇数点或2点的概率之和为 ( ),(2)一盒中装有各色球12只,其中5只红球、4只黑球、2只白球、1只绿球.从中随机取出1球,求取出1球是红球或黑球的概率.,【解题指南】(1)先判断两事件互斥,再根据互斥事件的概率加法公式计算. (2)首先把复杂的事件正确地分解为一些互斥事件的和,再根据概率的加法公式求解.,【解析】(1)选D.记“出现奇数点或2点”为事件C,因 为事件A与事件B互斥,所以P(C)=P(A)+P(B)=,(2)记事件A1=任取1球为红球;A2=任取1球为黑球; A3=任取1球为白球;A4=任取1球为绿球. 方法一:(利用互斥事件求概率)由题意得,P(A1)= , P(A2)= ,P(A3)= ,P(A4)= .,根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概率公式得,取出1球是红球或黑球的概率为 P(A1A2)=P(A1) +P(A2)=,方法二:(利用对立事件求概率)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1A2的对立事件为A3A4,所以任取1球是红球或黑球的概率为 P(A1A2)=1-P(A3A4)=1-P(A3)-P(A4)=,【延伸探究】 1.(改变问法)题(2)改为求“取出1球是红球、黑球或白球”的概率.,【解析】记事件A1=任取1球为红球;A2=任取1球为 黑球;A3=任取1球为白球;A4=任取1球为绿球. 方法一:(利用互斥事件求概率)P(A1)= ,P(A2)= , P(A3)= ,P(A4)= .,根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概 率公式得,取出1球为红球、黑球或白球的概率为 P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=,方法二:(利用对立事件求概率)A1A2A3的对立事件 为A4,由对立事件概率公式得,取出1球为红球、黑球或 白球的概率为P(A1A2A3)=1- P(A4)=1-,2.(变换条件)题(2)条件变为:袋中有12个小球,分别为 红球、黑球、白球、绿球,从中任取一球,得到红球的 概率为 ,得到黑球或白球的概率是 ,得到白球或绿 球的概率也是 ,结果又是如何?,【解析】从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到 黑球”“摸到白球”“摸到绿球”分别为A,B,C,D,则 有P(BC)=P(B)+P(C)= ;P(DC)=P(D)+P(C)= ; P(BCD)=1-P(A)= ,解得P(B)= ,P(C)= , P(D)= ,所以P(AB)=P(A)+P(B)=,【规律总结】 1.求互斥事件或对立事件的概率的方法及注意点 (1)求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件化为一些彼此互斥的事件的和;二是先求该事件的对立事件的概率.,(2)注意点:采用方法一,一定要注意将事件拆分为若干互斥事件,不能重复和遗漏;采用方法二,一定要找准其对立事件,否则容易出现错误.,2.利用概率的加法公式求概率的步骤 (1)确定各个事件是两两互斥的. (2)求出各个事件分别发生的概率. (3)利用公式求事件的概率.,【巩固训练】某公务员去外地开会,他乘火车、轮船、汽车、

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