2016海淀区高三数学理下学期期中试卷（有答案）

1 / 17 2016 海淀区高三数学理下学期期中试卷（有答案） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 海淀区高三年级 XX-2016 学年度第二学期期中练习 数学试卷（理科） 本试卷共 4 页， 150分考试时长 120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 1函数的定义域为 A 0 ， ） B 1 ，）c（， 0 D（， 1 2某程序的框图如图所示，若输入的 z i（其中 i 为虚数单位），则输出的 S 值为 A 1 B 1 c i D i 3若 x， y 满足，则的最大值为 2 / 17 A B 3 c D 4 4某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A B c D 5已知数列的前 n 项和为 Sn，则 “ 为常数列 ” 是 “” 的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 c充分必要条件 D既不充分也不必要条 件 6在极坐标系中，圆 c1:与圆 c2:相交于 A， B 两点，则AB A 1 B c D 2 7已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是 A B c D 8某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是 A甲只能承担第四项工作 B乙不能承担第二项工作 c丙可以不承担第三项工作 D丁可以承担第三项工作 3 / 17 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30分 9已知向量，若，则 t _ 10在等比数列中， a2 2，且，则的值为 _ 11在三个数中，最小的数是 _ 12已知双曲线 c：的一条渐近线 l 的倾斜角为，且 c 的一个焦点到 l 的距离 为，则 c 的方程为 _ 13如图，在三角形三条边上的 6 个不同的圆内分别填入数字 1， 2， 3 中的一个 （ ）当每条边上的三个数字之和为 4 时，不同的填法有_种； （ ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_种 14已知函数，对于实数 t，若存在 a 0， b 0，满足：，使得 2，则记 a b 的最大值为 H（ t） （ ）当 2x时， H（ 0） _ （ ）当且 t 时，函数 H（ t）的值域为 _ 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 15（本小题满分 13分） 4 / 17 如图，在 ABc 中，点 D 在边 AB上，且记 AcD ， BcD （ ）求证：； （ ）若，求 Bc的长 16（本小题满分 13分） XX 年世界卫生组织、联合国儿童基 金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广 XX 年 12 月 10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖目前，国内青蒿人工种植发展迅速 某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了 100株青蒿进行对比试验现在从山上和山下的试验田中各随机选取了 4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示： （ ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量； （ ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为，根据样本数据， 5 / 17 试估计与的大小关系（只需写出结论）； （ ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取 1 株，记这2 株的产量总和为，求 随机变量的分布列和数学期望 17（本小题满分 14分） 如图，在四棱锥 P ABcD 中， PA 平面 ABcD，四边形 ABcD为正方形，点 m， N 分别为线段 PB， Pc上的点， mNPB （ ）求证： Bc 平面 PAB； （ ）求证：当点 m 不与点 P， B 重合时， m， N， D， A 四个点在同一个平面内； （ ）当 PA AB 2，二面角 c AN D 的大小为时，求 PN的长 18（本小题满分 13分） 已知函数 f(x) lnx 1， （ ）求函数 f(x)的最小值； （ ）求函数 g(x)的单调区间； （ ）求证：直线 y x 不是曲线 y g(x)的切线。 19（本小题满分 14分） 已知椭圆 c：的离心率为，椭圆 c 与 y 轴交于 A， B 两点， 6 / 17 且 AB 2 （ ）求椭圆 c 的方程； （ ）设点 P是椭圆 c上的一个动点，且点 P在 y轴的右侧直线 PA， PB与直线 x 4 分别交于 m， N 两点若以 mN为直径的圆与 x 轴交于两点 E，F，求点 P 横 坐标的取 值范围及 EF的最大值 20（本小题满分 13分） 给定正整数 n(n3) ，集合若存在集合 A， B， c，同时满足下 列条件： Un ABc ，且 AB Bc Ac ； 集合 A 中的元素都为奇数，集合 B 中的元素都为偶数，所有能被 3 整除的数都在集 合 c 中（集合 c 中还可以包含其它数）； 集合 A， B， c 中各元素之和分别记为 SA， SB， Sc，有 SA SB Sc； 则称集合 Un为可分集合 （ ）已知 U8 为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合 A， B， c； （ ）证明：若 n 是 3 的倍数，则 Un不是可分集合； （ ）若 Un为可分集合且 n 为奇数，求 n 的最小值 7 / 17 （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数学（理科） 阅卷须知 : 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题（本大题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分） 题号 12345678 答案 ADcAcBcB 二、填空题（本大题共 6 小题 ,每小题 5 分 ,有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分， 共 30分） 9 10 三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 80分 ) 15解：（ ） 在中，由正弦定理 ,有 2 分 在中，由正弦定理 ,有 4 分 因为 ,所以 6 分 因为 ,所以 7 分 8 / 17 （ ）因为， , 由（ ）得 9 分 设 ,由余弦定理 , 11 分 代入 ,得到 , 解得 ,所以 .13 分 16解 :(I)由山下试验田 4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数 2 分 则山下试验田株青蒿的青蒿素产量估算为 g3 分 （ ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差和，结果为 . 6 分 （ ）依题意，随机变量可以取， 7 分 , , ,9 分 p 9 / 17 随机变量的分布列为 11 分 随机变量的期望 . 13 分 17解 : （ ）证明：在正方形中， ,1 分 因为平面，平面，所以 .2 分 因为，且，平面， 所以平面 4 分 （ ）证明：因为平面，平面 , 所以 5 分 在中， 所以 .6 分 在正方形中， ,所以， 7 分 所以可以确定一个平面，记为 所以四个点在同一个平面内 8 分 （ ）因为平面，平面， 所以 ,. 又 ,如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系 ,9 分 所以 . 10 / 17 设平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为 , 设 ,， 因为，所以， 又，所以，即， 10 分 取 ,得到 ,11 分 因为， 所以，即， 取得 ,到 ,12 分 因为二面大小为 ,所以 , 所以 解得 ,所以 14 分 18解 :（ ）函数的定义域为， 1 分 2 分 当变化时，的变化情况如下表： 11 / 17 极小值 4 分 函数在上的极小值为， 所以的最小值为 5 分 （ ）解：函数的定义域为， 6 分 7 分 由（ ）得，所以 8 分 所以的单调增区间是，无单调减区间 . 9 分 （ ）证明：假设直线是曲线的切线 .10 分 设切点为，则，即 11 分 又，则 .12 分 所以 ,得，与矛盾 所以假设不成立，直线不是曲线的切线 13分 19解：（ ）由题意可得， 1 分 ， 2 分 得， 3 分 解， 4 分 椭圆的标准方程为 .5 分 12 / 17 （ ）设， 所以，直线的方程为， 6 分 同理：直线的方程为， 直线与直线的交点为， 7 分 直线与直线的交点为， 线段的中点， 8 分 所以圆的方程为， 9 分 令，则， 10 分 因为，所以， 11 分 所以， 因为这个圆与轴相交 ,该方程有两个不同的实数解， 所以，解得 .12 分 设交点坐标，则（） 所以该圆被轴截得的弦长为最大值为 2.14分 方法二：（ ）设， 所以，直线的方程为， 6 分 同理：直线的方程为， 直线与直线的交点为， 7 分 直线与直线的交点为 ， 若以 mN为直径的圆与 x 轴相交， 则， 9 分 13 / 17 即 即 10 分 因为，所以 ,11 分 代入得到，解得 .12 分 该圆的直径为， 圆心到 x 轴的距离为， 该圆在 x 轴上截得的弦长为； 所以该圆被轴截得的弦长为最大值为 2.14分 方法三： （ ）设， 所以，直线的方程为， 6 分 同理：直线的方程为， 直线与直线的交点为， 7 分 直线与直线的交点为， 所以， 8 分 圆心到 x 轴的距离为， 9 分 若该圆与轴相交，则， 10 分 即， 因为，所以 ,11 分 所以，解得 12 分 该圆在 x 轴上截得的弦长为； 14 / 17 所以该圆被轴截得的弦长为最大值为 2.14分 方法四：记 ,，设 由已知可得， 所以的直线方程为， .6 分 的直线方程为， 令，分别可得， ， .8 分 所以 若以为直径的圆与轴相交于， 因为，所以， .9 分 .10 分 因为，所以 ,.11 分 代入得到 所以， .12 分 所以 所 以 该 圆 被 轴 截 得 的 弦 长 为 最 大 值 为2.14 分 方法五： 设直线与交于点 因为轴，所以有 15 / 17 所以，所以，所以是的中点 .6 分 又设 ,所以直线方程为 ,.7 分 令 ,得 ,所以 .8 分 而 .9 分 若以为直径的圆与轴相交于 则 .10 分 所以 因为，所以 ,代入得到 .11 分 所以，所以或 因为点，所以 .12 分 而 所以该圆被轴截得的弦长为最大值为 2.14分 20解： （ I）依照题意，可以取， 3 分 （ II）假设存在是的倍数且是可分集合 . 设，则依照题意， 故， 而这个数的和为，故 ,矛盾， 所以是 3 的倍数时，一定不是可分集合 7 分 ()35.8 分 16 / 17 因为所有元素和为，又中元素是偶数，所以 =(为正整数 ) 所以，因为为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数 由（ ）知道， 不是 3 的倍数，所以一定有是的倍数 . 当为奇数时，为偶数，而， 所以一定有既是的倍数，又是的倍数