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一道陈省身杯竞赛题的推广解答 山东省邹城市第一中学（273500）常媛媛 第三届陈省身杯数学奥林匹克第6题： 已知实数a,b,c1，且a+b+c=9，试证明： ab+bc+caa+b+c。 贵刊xx年第12期文“对一道奥林匹克数学竞赛试题的证明及思考”中，把这个不等式加强为：正实数a,b,ck，且a+b+c=9，试证明：ab+bc+caa+b+c。该文验证了k=12的正确性，但是文末指出最小的k值如何求解呢？笔者试图找出最小的k值。 原式两边同时平方，即证明：ab+bc+ca2(ab+bc+ca)9。 讨论：（1）当ab+bc+ca9时，上述不等式显然成立。 （2）当ab+bc+ca9时，由于a,b,c是对称的，所以不妨假设abc，则a3，c3，当然b与3的关系是不确定的，但是此时却满足ab4，给出如下证明。 采用反证法：若ab4，因为a3，所以b1，则b1，那么可得a4，这样可得到a+b+c4+43+439，矛盾！因此bc1。而这样ab+bc+ca4+1+4=9，得到矛盾！因此ab4。 下面控制c的值不变，这样a+b=9c是一个定值，因此a的范围确定为9c2,92c，现将y=ab+bc+ca视为关于a的一元函数，而由条件a+b=9c，对a求导可得1+b=0，故b=1，对y=ab+bc+ca求关于a的导数得y=ba0，这样，可判断此导数是小于等于零的，因此y=ab+bc+ca2(ab+bc+ca)在条件（2）下也是一个关于a的单调递减函数。 接下来，我们给定一个三元数组(a0,b0,c0)，控制c0的值不变，满足a0b0c0，并满足a0b0+b0c0+c0a09，此时函数y=ab+bc+ca2(ab+bc+ca)应该在(9c02,9c02,c0)处取到最大值；这是因为从(a0,b0,c0)变化到(9c02,9c02,c0)时，a的值是变小的，因此ab+bc+caa0b0+b0c0+c0a09始终成立！说明函数 y=ab+bc+ca2(ab+bc+ca)的单调递减的性质没有改变！ 下面，令a=b=x,则c=92x，当然x3，若满足不等式x2+x(92x)+x(92x)2x2x(92x)2x(92x)9，解之3x2+16x94x(92x)。 这是无理不等式，讨论：当3x2+16x90时，即3x8+373，此时两边平方可得(x3)(3x3)4x216x3+2(3x)，这是一个四次不等式，先拆项，即 (x3)2(3x3)28x(x3)(3x3)+16x(x3)+32x(x3)0，提取公因式(x3)，得到(x3)(x3)(3x3)28x(3x3)+48x0，再化简成(x3)(x3)(3x3)224x(x3)0，再提公因式(x3)2(3x3)224x0，3x214x+30，最后解得3x7+2103； 当3x2+16x90时，解得x8+373，此时c=
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