2017高考数学一轮考点训练-选考内容（含答案）

1 / 24 2017 高考数学一轮考点训练 -选考内容（含答案） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第十三章选考内容 考纲链接 1.几何证明选讲 (1)理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理 (2)会证明和应用以下定理： 直角三角形射影定理； 圆周角定理； 圆的切线判定定理与性质定理； 相交弦定理； 圆内接四边形的性质定理与判定定理； 切割线定理 2坐标系与参数方程 (1)了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的 变化情况 (2)了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化 (3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程 2 / 24 (4)了解参数方程，了解参数的意义 (5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程 3不等式选讲 (1)理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： |a b|a| |b|(a， bR) ； |a b|a c| |c b|(a， bR) (2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax b|c ； |ax b|c ； |x c| |x b|a. (3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法 几何证明选讲 1平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段 _ 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必_ 推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_ 2平行线分线段成比例定理 3 / 24 三条平行 线截两条直线，所得的对应线段 _ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线 )所得的对应线段 _ 3相似三角形的判定定理 判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应 _，两三角形相似 判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成 _且夹角_，两三 角形相似 判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应 _，两三角形相似 注意：与一般三角形相比，直角三角形有一个角为直角，三边长满足勾股定理等这种关系可以使判定两个直角三角形相似的条件得到简化 4相似三角形的性质定理 性质定理 1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 _ 性质定理 2：相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于 _ 4 / 24 性质定理 3：相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于_ 5射影定理 直角三角形斜边上的高是 _的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_ 6圆周角、圆心角和弦切角定理 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的_的一半 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对 _的度数 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角 _；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 _ 推论 2：半圆 (或直径 )所对的圆周角是 _； 90 的圆周角所对的弦是 _ 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的 _ 7圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理：圆的内接四边形的对角 _ 推论：圆内接四边形的外角等于它的 _的对角 (2)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点 _ 推论：如果四边形的一个 外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点 _ 5 / 24 8圆的切线的性质与判定定理 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 _ 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 _ 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 _ 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 _ 9相交弦定理 圆内的两条相交弦， _的积相等 10 (1)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到_的两条线段长的积相等 (2)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到 _的比例中项 (3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 _，圆心和这一点的连线平分 _的夹角且 _切点弦 自查自纠： 1也相等 平分第三边 平分另一腰 2成比例 成比例 3相等 比例 相等 成比例 4相似比 相似比 相似比 的平方 5两直角边在斜边上射影 比例中项 6 圆心角 弧 相等 也相等 直角 直径 圆周角 6 / 24 7 (1)互补 内角 (2)共圆 共圆 8半径 切点 圆心 切线 9被交点分成的两条线段长 10 (1)每条割线与圆的交点 (2)割线与圆交点的两条线段长 (3)相等 两条切线 垂直平分 如图，在 ABc 中， AE ED Dc， FEmDBc ， FD 的延长线交 Bc 的延长线于点 N，且 EF 1，则 BN ( ) A 2B 3 c 4D 6 解： FEmDBc ， AE ED Dc， EFBc AEAc 13， EFcN EDDc 1， EF cN， EFBN EFBc cN 14， BN 4EF 4.故选 c. 如图 AD 是 ABc 的中线， E 是 cA 边靠近 c 点的三等分点，BE 交 AD 于点 F，则 AFFD 为 ( ) A 21B 31 c 41D 51 解：过 D 作 DGAc 交 BE 于 G，则 DG 12Ec，又 AE 2Ec，7 / 24 DGFAEF ， 故 AFFD AEDG 2Ec12Ec 41. 故选 c. 如图， AcB 90 ， cDAB 于点 D， 以 BD 为直径的圆与Bc 交于点 E.则 ( ) A cEcB ADDB B cEcB ADAB c ADAB cD2 D cEEB cD2 解：在 AcB 中，因为 AcB 90 ， cDAB 于点 D，所以cD2 ADDB.又由切割线定理得 cD2 cEcB，所以 cEcB ADDB.故选 A. 如图，过点 D 作圆的切线切圆于 B 点，作割线交圆于 A，c 两点，其中 BD 3， AD 4， AB 2，则 Bc _. 解：由切割线定理得： BD2 cDAD，得 cD 94. 又 A DBc ， D D ， ABDBcD ， BDcD ABBc，解得 Bc 32.故填 32. (XX重庆 )如图，圆 o 的弦 AB， cD 相交于点 E，过点A 作圆 o 的切线与 Dc 的延长线交于点 P，若 PA 6， AE 9，Pc 3， cEED 21 ，则 BE _ 8 / 24 解：由切割线定理，知 PA2 PcPD，即 62 3PD，解得 PD 12， cD PD Pc 9， cE 6， ED 3.由相交弦定理，知 AEBE cEED，即 9BE 63 ，解得 BE 2.故填 2. 类型一 平行线分线段成比例定理的应用 如图，在 ABc 中， EFcD ， AFE B ， AE 6， ED 3，AF 8. (1)求 Ac 的长； (2)求 cD2Bc2 的值 解： (1)EFcD ， AEAD AFAc. AE 6， ED 3， AF 8， 66 3 8Ac， Ac 12. (2)EFDc ， AFE AcD ， 又 AFE B ， AcD B. 又 A A ， AcDABc. cDBc ADAc 6 312 34， cD2Bc2 916. 点拨： 求长度或比值考虑相似，有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，即创造可以形成比例式的条件，从而9 / 24 达到计算或证明的目的 (1)如图所示，在 ABc 中， D 是 Bc 的中点， E 是 Ac的中点， AD 交 BE 于 G，求证： AG 2GD. 证明：作 cHEB 交 AD 的延长线于点 H， AE Ec， cHEB ， AG GH. 又 BD Dc， BDGcDH. GD DH.AG 2GD. (2)在 ABc 中， AD 为 BAc 的平分线，求证： ABAc BDDc. 证明：如图，过 c 作 cEAD ，交 BA 延长线于 E， ADcE ， BAAE BDDc. AD 平分 BAc ， BAD DAc. 由 ADcE 知 BAD E ， DAc AcE ， AcE E ，即 AE Ac. ABAc BDDc. 类型二 相似三角形的判定及性质 如图所 示，已知在 ABc 中， BAc 90 ， ADBc ， E 是10 / 24 Ac 的中点， ED 交 AB 的延长线于 F，求证： ABAc DFAF. 证明： BAc 90 ， ADBc ， ABDcAD ， ABAc BDAD. 又 E 是 Ac 的中点， DE Ec， 4 3 AcB 1 ，而 AFD 为公共角， FBDFDA ， BDAD DFAF， ，由 可得 ABAc DFAF. 点拨： (1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边 (2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来间接证明线段相等或计算线段长度 (XX中原名校联考 )如图，三角形 ABc 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明： ABEADc ； (2)若三角形 ABc 的面积 S 12ADAE，求 BAc 的大小 解： (1)证明：由已知条件，可得 BAE cAD ，因为 AEB11 / 24 与 AcB 是同弧所对的圆周角，所以 AEB AcD. 故 ABEADc. (2)因为 ABEADc ，所以 ABAD AEAc， 又 S 12ABAcsinBAc 且 S 12ADAE ，故 ABAcsinBAc ADAE，由 可知 ABAc ADAE，则sinBAc 1，又 BAc 为 ABc 的内角，所以 BAc 90. 类型三 射影定理的应用 如图所示，已知在边长为 1 的正方形 ABcD 的一边上取一点 E，使 AE 14AD，过 AB 的中点 F 作 HFEc 于 H. (1)求证： FH FA； (2)求 EHHc 的值 解： (1)证明：连结 EF， Fc，在正方形 ABcD 中， AD AB Bc， A B 90. AE 14AD， F 为 AB 的中点， AEAF FBBc 12. EAFFBc. AEF BFc ， EFA BcF. 又 A B 90 ， EFc 90 ， EFFc AEBF AEAF12. 12 / 24 又 EFc A 90 ， EFcEAF. AEF HEF. 又 EF EF， RtEAFRtEHF.FH FA. (2)由 (1)知 EFc 是直角 三角形， FH 是斜边 Ec 上的高， 由射影定理可得 EF2 EHEc， Fc2 cHcE，于是 EHHc EF2Fc2 14. 点拨： 一般四边形问题须转化为三角形 (最好是 Rt) 问题研究，故自然要连结 EF， Fc，第 (1)问也可由勾股定理求出 FH 的长来证； 图中有 2 对全等三角形， 8 对相似三角形，能洞察这些，解此题会游刃有余； 第 (2)问由 EHHc AEBc 求，更简洁 如图所示， AD， BE 是 ABc 的两条高， DFAB ，垂足为 F，直线 FD 交 BE 于点 G， 交 Ac 的延长线于 H，求证： DF2 GFHF. 证明： H BAc 90 ， GBF BAc 90 ， H GBF. AFH GFB 90 ， AFHGFB ， HFBF AFGF， AFBF GFHF. 13 / 24 因为在 RtABD 中， FDAB ， DF2 AFBF， DF2 GFHF. 类型四 圆内接四边形的性质及判定定理的应用 (XX哈三中一模 )如图， AB 是 o 的直径， cB 与 o相切于 B， E 为线段 cB 上一点，连接 Ac， AE，分别交 o 于D， G 两点，连接 DG 并延长交 cB 于点 F. (1)求证： c， D， G， E 四点共圆； (2)若 F 为 EB 的靠近点 E 的三等分点， EG 1， GA 3，求线段 cE 的长 解： (1)证明：连接 BD，则 AGD ABD ， ABD DAB 90 ， c cAB 90 ，所以 c AGD ，所以 c DGE 180 ，所以 c， D， G， E 四点共圆 (2)因为 EGEA EB2，所以 EB 2，又 F 为 EB 的三等分点，所以 EF 23， FB 43， 又因为 FGFD FEFc FB2，所以 Fc 83， cE 2. 点拨： 直径所对圆周角为直角，故考虑连 BD； 证明四点共圆，即证明这四点构成的四边形对角互补； 已知条件为 EG 及GA 的长度，自然考虑计算 EB，从而求得 FGFD，再计算 Ec 即可 14 / 24 (XX新课标 ) 如图，四边形 ABcD 是 o 的内接四边形， AB 的延长线与 Dc 的延长线交于点 E，且 cB cE. (1)证明： D E ； (2)设 AD 不是 o 的直径， AD 的中点为 m， 且 mB mc，证明：ADE 为等边三角形 证明： (1)由题设知 A， B， c， D 四点共圆，所以 D cBE ，由已知 cB cE 得 cBE E ，故 D E. (2)如图，设 Bc 的中点为 N，连结 mN，则由 mB mc 知 mNBc ，故 o 在直线 mN 上 又 AD不是 o 的直径， m为 AD的中点，故 omAD ，即 mNAD. 所以 ADBc ，故 A cBE. 又 cBE E ，故 A E ，由 (1)知， D E ， 所以 ADE 为等边三角形 类型五 圆的切线及与圆有关的比例线段 (XX陕西 )如图， AB 切 o 于点 B，直线 Ao 交 o于 D， E 两点， BcDE ，垂足为 c. (1)证明： cBD DBA ； (2)若 AD 3Dc， Bc 2，求 o 的直径 解： (1)证明： DE 为 o 的直径，则 BED EDB 90 ， 15 / 24 又 BcDE ， cBD EDB 90 ， 从而 cBD BED. 又 AB 切 o 于点 B，得 DBA BED ， cBD DBA. (2)由 (1)知 BD 平分 cBA ， 则 BABc ADcD 3，又 Bc 2，从而 AB 32， Ac AB2 Bc2 4， AD 3. 由切割线定理得 AB2 ADAE，即 AE AB2AD 6， 故 DE AE AD 3，即 o 的直径为 3. 点拨： 与切线有关的角的证明问题，一般都要用到弦切角定理； 计算与圆相关的线段长度问题，一般都要用到圆幂定理； 注意三角形内角平分线定理的灵活应用 (XX吉林长春调研 )如图，圆 m 与圆 N 交于 A，B 两点，以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 m 和圆 N 于 c， D两点，延长 DB 交圆 m 于点 E，延长 cB 交圆 N 于点 F.已知 Bc 5， BD 10. (1)求 AB 的长； (2)求 cFDE. 解： (1)根据弦切角定理， 知 BAc BDA ， AcB DAB ， ABcDBA ，则 ABDB BcBA， 16 / 24 故 AB2 BcBD 50， AB 52. (2)根 据 切 割 线 定 理 ， 知 cA2 cBcF， DA2DBDE， 两式相除，得 cA2DA2 cBDBcFDE， * 由 ABcDBA ，得 AcDA ABDB 5210 22， cA2DA2 12， 又 cBDB 510 12，由 *得 cFDE 1. 1用添加平行辅助线的方法构造平行线，是创造应用平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理的条件在使用平行线分线段成比例定理及推论时，一定要注意线段与边的对应 2在证明两个或两个以上的比例式相等时，往往需要找第三个比例式与它们都相等，这时可考虑利用平行线分线段成比例定理或推论，或考虑用线段代换，由相等的传递性得出结论 3证两个三角形相似，在已具备一角对应相等的条件时，往往先探求是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再探求等角的两边对应成比例 4等积式的证明是一 种常见题型，其证题思路一般是化等积式为比例式，再由三角形相似或平行线分线段成比例定理证明 5注意在证明圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，添17 / 24 加辅助线的目的是为了打通已知与未知的通道，构造需要的边、角、三角形，如构造直径所对的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这一性质要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上某一点，那么连接这点和圆心，证明该直线垂直于半径；如果不知直线和圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径已知某直线是圆的切线时，切点的位置一般是确定的，辅助线常常是 连接圆心和切点 6证明多点共圆的常用方法 (1)证明几个点到某个定点距离相等； (2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等 (例：如图，若 AcB ADB 90 ，则 A， B， D，c 四点共圆 ) (3)证明凸四边形内对角互补 (或外角等于它的内角的对角 ) 7相交弦定理、切割线定理和割线定理常与圆周角、弦切角定理联合运用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比或比例式 1如图，在 ABc 中， AED B ， DE 6， AB 10，AE 8，则 Bc 的长为 ( ) 18 / 24 解：由已知条件 AED B ， A 为公共角，所以ADEAcB ，则有 DEBc AEAB，从而 Bc 6108 152.故选 c. 2如图，半径为 2 的 o 中， AoB 90 ， D 为 oB 的中点，AD 的延长线交 o 于点 E，则线段 DE 的长为 ( ) 解：延长 Bo 交 o 于点 F，由相交弦定理可知： BDDF ADDE.又由题知 BD 1， DF 3， AD 5，因此 DE355.故选 c. 3如图， o 与 P 相交于 A， B 两点，点 P 在 o 上 ， o的弦 Bc 切 P 于点 B， cP 及其延长线交 P 于 D， E 两点，过点 E 作 EFcE 交 cB 延长线于点 F.若 cD 2， cB 22，则EF 的长为 ( ) A 2D 22 解：连结 PB， Bc 切 P 于点 B， PBBc ， cD 2， cB 22，由切割线定理得 cB2 cDcE， cE 4， DE 2， BP 1，又 EFcE ， cPBcFE ，得 EFPB cEcB，解得 EF2.故选 B. 19 / 24 4如图， AD， AE， Bc 分别与圆 o 切于点 D， E， F，延长 AF与圆 o 交于另一点 G. 给出下列三个结论： AD AE AB Bc cA； AFAG ADAE； AFBADG. 其中正确结论的序号是 ( ) A B c D 解： cF cE， BF BD， Bc cE BD. AB Bc cA (AB BD) (Ac cE) AD AE.故结论 正确 由切割线定理知 AD2 AFAG ，又 AE AD ，ADAE AFAG，故结论 正确容易判断结论 不正确故选 A. 5 (XX天津 )如 图，在圆 o 中， m， N 是弦 AB 的三等分点，弦 cD， cE 分别经过点 m， N.若 cm 2， mD 4， cN 3，则线段 NE 的长为 ( ) 解：由题意可得 cmmD AmmB ANNB cNNE ，即 24 3NE，解得 NE 83.故选 A. 20 / 24 6 (XX天津 )如图， ABc 是圆的内接三角形， BAc的平分线交圆于点 D，交 Bc 于点 E，过点 B 的圆的切线与 AD的延长线交于点 F.在上述条件下， 给出下列四个结论： BD 平分 cBF ； FB2 FDFA； AE• ;cE BEDE ； AFBD ABBF. 则所有正确结论的序号是 ( ) A B c D 解：由弦切角定理得 FBD EAc BAE ，又 BFD AFB ，故 BFDAFB ，故 BFAF BDAB，即 AFBD ABBF， 对，否定 A， c.显然 正确故选 D. 7 (XX重庆 )过圆外一点 P作圆的切线 PA(A为切点 )，再作割线 PBc 依次分别交圆于 B， c，若 PA 6， Ac 8， Bc 9，则 AB _ 解：如图， 由 PA2 PBPc 得 62 PB(PB 9)，解得 PB 3.再由c BAP 及 P 为公共角得 ABPcAP ， ABcA BPAP，AB 4.故填 4. 8 (XX广东 )如图，已知 AB 是圆 o 的直径， AB 4，21 / 24 Ec 是圆 o 的切线，切点为 c， Bc 1，过圆心 o 作 Bc 的平行线，分别交 Ec 和 Ac 于点 D 和点 P，则 oD _ 解：由题意得 oP 12Bc 12， oA 2，于是 PA cP 22 122 152，由于 DcP B PoADcPAoP ，于是 PDPA PcPoPD 15212152 152，那么 oD 152 12 8.故填 8. 9 (XX湖南 )如图，在 o 中，相交于点 E 的两弦 AB，cD 的中点分别是 m， N，直线 mo 与直线 cD 相交于点 F.证明： (1)mEN Nom 180 ； (2)FEFN FmFo. 证明： (1)如图所示， m ， N 分别是弦 AB， cD 的中点，omAB ， oNcD ，即 omE ENo 90 ，故 mEN Nom 180. (2)由 (1)知， o， m， E， N 四点共圆，故由割线定理即得FEFN FmFo. 10如图所示， PA 为圆 o 的切线， A 为切点， Po 交圆 o 于 B，c 两点， PA 20， PB 10， BAc 的角平分线与 Bc 和圆 o 分别交于点 D 和 E. 22 / 24 (1)求证： ABPc PAAc； (2)求 ADAE 的值 解： (1)证明： PA 为圆 o 的切线， PAB AcP ，又 P 为公共角，