弦切角定理的证明.doc

弦切角定理的证明 弦切角定理证明 弦切角定理 编辑本段弦切角定义 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，tcb，tca，pca，pcb都为弦切角。 编辑本段弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明： 证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。 tcb=90-ocb boc=180-2ocb ,boc=2tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半） boc=2cab(圆心角等于圆周角的两倍) tcb(敬请期待更好文章：)=cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 证明已知：ac是o的弦，ab是o的切线，a为切点，弧是弦切角bac所夹的弧. 求证：(弦切角定理) 证明：分三种情况： (1)圆心o在bac的一边ac上 ac为直径，ab切o于a， 弧cma=弧ca 为半圆, cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在bac的内部. 过a作直径ad交o于d, 若在优弧m所对的劣弧上有一点e 那么，连接ec、ed、ea 则有：ced=cad、dea=dab cea=cab (弦切角定理) (3)圆心o在bac的外部, 过a作直径ad交o于d 那么cda+cad=cab+cad=90 cda=cab (弦切角定理) 编辑本段弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在rtabc中，c=90，以ab为弦的o与ac相切于点a，cba=60,ab=a求bc长. 解：连结oa，ob. 在rtabc中,c=90 bac=30 bc=1/2a(rt中30角所对边等于斜边的一半) 例2：如图，ad是abc中bac的平分线，经过点a的o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f. 求证：efbc. 证明：连df. ad是bac的平分线bad=dac efd=bad efd=dac o切bc于dfdc=dac efd=fdc efbc 例3：如图，abc内接于o，ab是o直径，cdab于d，mn切o于c， 求证：ac平分mcd，bc平分ncd. 证明：ab是o直径 acb=90 cdab acd=b， mn切o于c mca=b， mca=acd， 即ac平分mcd， 同理：bc平分ncd. 弦切角定理的证明 弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明 证明：设圆心为o，连接oc，ob，oa。过点a作tp的平行线交bc于d， 则tcb=cda tcb=90-ocd boc=180-2ocd ,boc=2tcb 证明：分三种情况： (1)圆心o在bac的一边ac上 ac为直径，ab切o于a， 弧cma=弧ca 为半圆, (2)圆心o在bac的内部. 过a作直径ad交o于d, 那么 . (3)圆心o在bac的外部, 过a作直径ad交o于d 那么 2 连接并延长to交圆o于点d，连接bd因为td为切线，所以td垂直tc，所以角btc+角dtb=90因为td为直径，所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a 3 编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，tcb，tca，pca，pcb都为弦切角。编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。tcb=90-ocbboc=180-2ocb,boc=2tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）boc=2cab(圆心角等于圆周角的两倍)tcb=cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：ac是o的弦，ab是o的切线，a为切点，弧是弦切角bac所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心o在bac的一边ac上ac为直径，ab切o于a，弧cma=弧ca为半圆,cab=90=弦ca所对的圆周角b点应在a点左侧(2)圆心o在bac的内部.过a作直径ad交o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：ced=cad、dea=dabcea=cab(弦切角定理)(3)圆心o在bac的外部,过a作直径ad交o于d那么cda+cad=cab+cad=90cda=cab(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rtabc中，c=90，以ab为弦的o与ac相切于点a，cba=60,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.在rtabc中,c=90bac=30bc=1/2a(rt中30角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是abc中bac的平分线，经过点a的o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：efbc.证明：连df.ad是bac的平分线bad=dacefd=badefd=daco切bc于dfdc=dacefd=fdcefbc例3：如图，abc内接于o，ab是o直径，cdab于d，mn切o于c，求证：ac平分mcd，bc平分ncd.证明：ab是o直径acb=90cdabacd=b，mn切o于cmca=b，mca=acd，即ac平分mcd，同理：bc平分ncd. 弦切角定理证明方法 (1)连oc、oa，则有occd于点c。得ocad，知oca=cad。 而oca=oac，得cad=oac。进而有oac=bac。 由此可知，0a与ab重合，即ab为o的直径。 (2)连接bc，且作ceab于点e。立即可得abc为rt，且acb=rt。 由射影定理有ac?=ae*ab。又cad=cae，ac公用，cda=cea，得ceacda，有ad=ae，所以，ac?=ab*ad。 第一题重新证明如下： 首先证明弦切角定理，即有acd=cba。 连接oa、oc、bc，则有 acd+aco=90 =(1/2)(aco+cao+aoc) =(1/2)(2aco+aoc) =aco+(1/2)aoc, 所以acd=(1/2)aoc， 而cba=(1/2)aoc(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)， 得acd=cba。 另外，acd+cad=90，cad=cab， 所以有cab+cba=90，得bca=90，进而ab为o的直径。 2 证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。 tcb=90-ocb boc=180-2ocb ,boc=2tcb(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半) boc=2cab(圆心角等于圆周角的两倍) tcb=cab(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角) 证明已知：ac是o的弦，ab是o的切线，a为切点，弧是弦切角bac所夹的弧. 求证：(弦切角定理) 证明：分三种情况： (1)圆心o在bac的一边ac上 ac为直径，ab切o于a， 弧cma=弧ca 为半圆, cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在bac的内部. 过a作直径ad交o于d, 若在优弧m所对的劣弧上有一点e 那么，连接ec、ed、ea 则有：ced=cad、dea=dab cea=cab (弦切角定理) (3)圆心o在bac的外部, 过a作直径ad交o于d 那么cda+cad=cab+cad=90 cda=cab (弦切角定理) 编辑本段弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在rtabc中，c=90，以ab为弦的o与ac相切于点a，cba=60,ab=a求bc长. 解：连结oa，ob. 在rtabc中,c=90 bac=30 bc=1/2a(rt中30角所对边等于斜边的一半) 例2：如图，ad是abc中bac的平分线，经过点a的o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f. 求证：efbc. 证明：连df. ad是bac的平分线bad=dac efd=bad efd=dac o切bc于dfdc=dac efd=fdc efbc 例3：如图，abc内接于o，ab是o直径，cdab于d，mn切o于c， 求证：ac平分mcd，bc平分ncd. 证明：ab是o直径 acb=90 cdab acd=b， mn切o于c mca=b， mca=acd， 即ac平分mcd， 同理：bc平分ncd. 弦切角逆定理证明 已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线 证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd， 则角adc=角abc=角cae 而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae 所以角dae=角dac+角cae=90度 故ae为切线 肯特欢迎各位朋友批评指正，王老师18xx60373 弦切角、切割线、相交弦 三条圆这一章已删定理的证明 一、弦切角定理 1、弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图（1）所示，ab为圆的一条弦，bc为圆的切线，abc即为圆的的弦切角。 图（1） bc 2、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半。证明如下： a 图（2） 如图（2）所示，已知ab为o的直径，bd为过圆上b点的切线，求证：（1）cbd=cab,cbd=ceb（2）cbd=cob21证明：（1）ab为o的直径，bd为过b点的切线abbd abd=90o 第1页共1页 肯特教育欢迎各位朋友批评指正，王老师18xx60373abccbd=90 ab为o直径 acb=90 则abccab=90 cbd=cab cab和ceb同弧所对的圆周角cab=ceb 则cbd=ceb （2）cab和cob是同弧所对的圆周角和圆心角cab=cob21