高中数学导数概念教学设计.doc

目 录前言1一、基本情况分析及理论依据1（一）教学内容分析1（二）学生分析2（三） 教学目标分析3二、教学过程设计3（一）平均变化率4（二）瞬时变化率9（三）导数的概念理解及几何意义15三、教学反思19结束语20参考文献21致 谢22高中数学“导数”概念教学设计前言十七世纪，有许多科学问题需要解决，归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动物体的瞬时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值、最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线 围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心 、一个体积相当大的物体作用于另一 物体上的引力。这些问题成了促使微积分产生的因素。数学泰斗牛顿和莱布尼茨把函数的平均变化研究提高到一个新的阶段，他们以大量的物理问题和几何问题为背景，研究了平均变化率，引进了一个全新的运算求导数，进而引进了导数的逆运算求积分，创造了微积分学，这不仅对数学，而且对整个人类文明产生了不可估量的影响。导数是高中数学中一个非常重要的知识项目，它在高考分数中占据较大的比重，而且也具有很大的应用价值，不仅仅是其应用价值，更重要的是还是其解决问题的方法具有非常重要的方法论价值。而在导数的学习中，概念常常让学生感到十分抽象，对于这些相对比较抽象的概念，教师要善于利用科学的教学方法，才能使原本抽象，难懂的知识变得形象、简单，我要通过对教学内容分析、学生分析、教学目标、教学重难点分析、教学过程分析完成对一节导数教学的设计。一、基本情况分析及理论依据（一）教学内容分析“导数”是高中新课程教材选修2-2中“第一章 导数及其应用”中1.1的内容，这一章分为四节，分别为表1 导数及其应用1.1 导数1.2 导数的运算1.3 导数的应用1.4 定积分与微积分基本定理而“1.1导数”是导数学习的起始课，主要内容有变化率问题、导数的概念和导数的几何意义。导数概念是微积分中的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用，在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。新课标教材通过大量的物理，实际生活和几何等方面首先理解导数概念解决的问题及其解决的思想，通过丰富的感性认识，尽量淡化极限的语言对导数概念仅需形式化描述带来的困扰，在高中阶段利用极限的语言刻画导数的概念和讨论导数的运算法则是学生学习的难点，教材则是不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），这种直观形象的方法中蕴含了逼近的思想，来定义导数的，采用的是平均变化率到瞬时变化率进而认识导数。从变化率的角度重新认识平均速度概念，明确函数的平均变化率就是函数在某一区间上的变化快慢的数量描述，而瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢，重点是平均速度到瞬时速度的过程的描述的理解。通过本章学习，体会用微观驾驭宏观的辩证思维方法，领略微积分学的文化价值，本节课的作用举足轻重，是学习导数，进入微积分的“敲门砖”。在这一节中，教科书给出了“1.1.1函数的平均变化率”、“1.1.2瞬时速度与导数”、“1.1.3导数的几何意义”三小节内容，依据三个课时的安排我会这样来设计教学内容。表 2第一课时平均变化率的概念，从平均变化率到瞬时变化率第二课时极限，导数概念，导函数概念第三课时割线与切线的概念，导数的几何意义（二）学生分析高中二年级的学生正值身心快速发展的时期，他们思维活跃，乐于探索，敢于探究，但逻辑思维能力尚属经验型，导数概念对于学生来说比较抽象，其定义方法学生也不大熟悉。但学生已具备了一些基础知识，如物理中的平均速度和瞬时速度、作自由落体运动的物体下落速度的变化等，因此学生具备经历从平均变化率过渡到瞬时变化率，从而概括出导数概念，理解导数几何意义的能力。（3） 教学目标分析1知识与技能（1）通过对实例的分析，知道平均变化率的概念，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程。（2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。（3）通过函数图象直观地理解导数的几何意义。2过程与方法（1）体会平均变化率瞬时变化率导数的概念呈现方法。（2）用数值逼近、解析式抽象、几何直观感受的方法体会由平均变化率到瞬时变化率的过渡过程。（3）让学生经历概念的形成过程，体验“逼近”的数学思想，体验数学中所蕴涵的“运动变化美”，激发学生对数学的欣赏与热爱；在实际问题的解决过程中加深对导数概念及其内涵的理解，培养学生的数学应用意识与解决问题的能力。3情感态度与价值观通过导数概念的形成过程，体会导数的思想及其内涵，激发学生兴趣；师生共同推导函数的几何意义，让学生在观察，思考，发现中学习，培养学生勇于探索、勤于思考的精神，使学生获得学习数学的兴趣与信心。4教学重点、难点（1）平均变化率到瞬时变化率的极限思想与过程，理解逼近思想、理解导数的概念及其内涵。（2）导数的几何意义的理解。二、教学过程设计教学中要遵循“创设问题情境提出问题分析问题解决问题”的原则，帮助学生从实例中领悟什么是平均变化率，什么是瞬时变化率，通过创设问题情境，由学生发现平均变化率不能精确反映函数在某一点的变化情况，进而提出问题解决的方案，不断减少自变量的改变量，用平均变化率“逐渐”“逼近”函数在某一点的变化率，即瞬时变化率，结合二次函数曲线图像的切率讨论引入对导线概念的理解，探索导数的几何意义。具体情况如下： （一）平均变化率1创设情境，导入新课通过四个问题情景，分别为问题情景1 如何从数学角度刻画2006年至2010年这四年我国人均GDP“猛增”？问题情景2 如何从数学角度刻画房价“暴涨”？问题情景3 如何从数学角度刻画气温“陡降”？问题情景4 如何从数学角度刻画春笋“快长”？类比得出可用比值刻画变化的快慢程度。2. 通过实际问题，抽象数学概念利用课本里的教学实际例子，使学生明白平均速度的意义，平均速度能够准确描述一个物体在某一时间运动情况，通过对应的图像，来认识其“陡与缓”和平均变化率之间的关系，用怎样的数学模型刻画函数值变化的快慢程度？思考1 你能给出在区间上平均变化率的定义吗？思考2 平均变化率有怎样的几何意义？ 课本图1-1是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系，是出发点，是山顶，爬山路线用函数表示。自变量表示某旅游者的水平位置，函数值表示此时旅游者所在的高度，想想看，如何用数量表示此旅游者登山路线的平缓及陡峭程度呢？图1-1学生：用斜率。教师：很好，大家对斜率很熟悉啊，那我们怎么用斜率来表示陡峭程度呢？引导学生思考。师生共同得出斜率与陡峭程度关系。某旅游者从点爬到点，假设这段山路是平直的，设点A的坐标为，点的坐标，自变量的改变量为-，记作，函数值的改变量为，记作，即=-,=.于是此人从点爬到点的位移可以用向量 来表示，假设向量对轴的倾斜角为，直线AB的斜率为，从图1-2容易看出？图1-2“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。例如，山坡可近似的看作线段，再用对平直山坡分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画，注意各小段的是不尽相同的，但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值 来度量，由此，我们引出函数平均变化率的概念。平均变化率的概念：一般地，已知函数，,是其定义域内不同的两点,记，则当时，商称作函数在区间(或)的平均变化率。注 这里,可为正值，也可为负值，但，可以为0。学生参与了概念发生发展的全过程，充分体现教师组织者、引导着、合作者，学生是参与者、研究者、实践者的身份特征。平均变化率的几何意义就是函数图像上两点、所在直线的斜率。通过平均变化率几何意义的探讨，培养了学生数形结合的能力和以直代曲的思维方法。这一设计把发现知识的主动权交给了学生，让学生在发现结论的成功中体会学习的快乐，成为学习的主人。为进一步理解平均变化率，提出如下问题问题1 为什么在变化率前“平均”两个字？学生：如果将某一曲线段再分成若干小段，每一段上的变化率很可能是不一样的，所以说是“平均变化率”。教师：怎么理解这个“率”字？学生：“率”通常指两个量的比值，凡用到“率”字的，都有这样的含义。教师：太好了，认识到问题的本质了！问题2 平均变化率的值有哪些可能？学生：可能为正值、负值，也可能为零。教师：如果是负值，那么哪个值大，所对应的曲线的陡峭程度就大吗？学生：如果是负值，就必须看它的绝对值。问题3 以上讨论体现了一个非常重要的数学思想，是什么？学生：是数形结合思想。教师：著名数学家华罗庚说：形缺数，不入微；数缺形，不直观，数形结合，既直观，又入微，这就叫珠联璧合、统一和谐、相得益彰，平均变化率是曲线“陡峭程度”的“数量化”或“视觉化”。通过问题的分析，培养学生观察分析、逻辑思维能力，数学概念的辨析能力，数形结合的思想。3.课堂练习例1 求函数在区间(或)的平均变化率。图1-3解 函数在区间(或的平均变化率为。由上式可以看出，当取定值时，取不同的值，函数的平均变化率不同，当取定值，取不同的值时，该函数的平均变化率也不一样。例如，取正值，并不断增大时，该函数的平均变化率也不断地增大，曲线变得越来越“陡峭”。例2 求函数=在区间(或)的平均变化率(，且+)。解 函数= 的平均变化率。例3 甲、乙两人跑步，路程与时间关系及百米赛跑路程与时间关系如图1-4所示，试问：（1）在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快？（2）甲、乙两人百米赛跑，问快到终点时，谁跑的较快？ 图1-4设计的目的是让学生观察图形，直接的感悟平均变化率的意义，帮助学生更好的了解巩固平均变化率的概念。例4 已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001。解 (1)函数在1,3上的平均变化率为4； (2)函数在1,2上的平均变化率为3； (3)函数在1,1.1上的平均变化率为2.1； (4)函数在1,1.001上的平均变化率为2.001。引申 已知函数= .问题（1） 求函数在 ()上的平均变化率；（2） 当趋近于1时，函数在上的平均变化率有何趋势？解 （1）函数在()上的平均变化率为 （2）当趋近于1时，函数在上的平均变化率趋近于2。 总结求函数在区间上的平均变化率的步骤求自变量的增值；求函数的增值；求平均变化率；此环节设置的目的是为学生理解导数的几何意义打下基础。（二）瞬时变化率1.设疑导入瞬时速度设疑 设在米高的跳台上，跳水运动员跳离跳台时竖直向上的速度为，运动员在时刻（单位：）距离水面的高度（单位：），其中为重力加速度，于是，计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？经过计算、讨论，学生会发现运动员在这段时间内的平均速度为0，但我们都知道在这段时间内他一直在运动着，也就是说不可能是静止的，到底为什么会出这种情况呢？通过数值与现实的矛盾，使学生意识到平均速度只能描述物体在某段时间内的运动状态，为了研究物体在某个时刻运动状态，引入瞬时速度的概念。2.瞬时变化率概念探索让学生体会平均速度到瞬时速度这一出现过程，再实现由平均变化率到瞬时变化率的过渡，瞬时变化率与导数的关系，引出导数的定义，导函数的定义。在上面的平均速度理解的基础上，如何来求出一个物体在某一点时间的速度呢？这一速度就是我们所说的瞬时速度，为了解决这一问题，我们采取以下探究方法。 回到高台跳水问题，在米高的跳台上，跳水运动员跳离跳台时竖直向上的速度为，运动员在时刻（单位：）距离水面的高度（单位：），其中为重力加速度，问题4 思考如何求运动员在某一时刻的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？让学生独自思考，求当取不同值时，这段时间内平均速度（学生自己去，但要满足“越来越接近于0”），学生独自计算各区间容易算出，该运动员在2至2.1（记为2，2.1）这段时间的平均速度 运用计算器可以得到下列平均速度表（见表3）。表3 平均速度表 2，2.1 0.1 -13.59 2，2.01 0.01 -13.149 2，2.001 0.001 -13.1049 2，2.0001 0.0001 -13.10049 2，2.00001 0.00001 -13.100049 1.9，2 0.1 -12.61 1.99，2 0.01 -13.051 1.999，2 0.001 -13.0951 1.999 9，2 0.0001 -13.09951 1.999 99，2 0.00001 -13.099951 同学们通过填表发现为了使平均速度更好的表示瞬时速度，应该让时间间隔尽量小。学生通过充分观察分析，发现尽管各组所取的t有所不同，但是当所取t越来越接近于零时，各组计算出来的平均速度都不约而同的接近于同一个确定的数-13.1。 教师总结 在=2时刻,趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，这个确定的值就是运动员在=2时刻的瞬时速度，这里“”号表示这个运动员在2s时的瞬时速度的方向是竖直向下的。我们把上述关于2s时的瞬时速度用函数平均变化率的变化趋势描述如下，当趋近于0时，趋近于-13.2。我们也可以直接由看出这种变化趋势 = = =-13.1-4.9。当趋近于0时，上式右端趋近于常数-13.1，这与前面取具体值计算的结果一致。一般地，对任一时刻，也可以计算出瞬时速度： = = =。 当趋近于0时，上式右端趋近于，这就是说，在时刻，运动员的瞬时速度是（m/s）。以上分析表明，当趋近于0时，函数h(t)在到+之间的平均变化率，趋近于常数，我们把这个常数称为时刻的瞬时速度。让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度。通过学生自己定量计算分析和我用几何画板演示让学生感受平均速度在时间间隔越来越小时趋近于一个确定的值，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度，体验了极限的过程和思想。问题5 学生发现时，瞬时速度是-13.1，那么瞬时速度不就是将化简后的平均速度中的取0的值吗？由此引发学生讨论：是否可以将化简后平均速度中的直接代为0得到瞬时速度？最后老师必须要向学生强调：我们研究的是平均速度趋近于的变化过程，在此过程中越来越短，但不能为0。当趋于0时，与-13.1无限接近，这是一种极限运算，必须使用极限符号表示逼近过程，而不能简单的将这里的代为0。因为缺乏极限的思想，所以不少学生在这里都会产生这样的疑惑，此时必须要向学生强调“瞬时速度是平均速度中趋近于0时的极限值”，这是一种极限的运算，必须使用极限符号，而不能简单的将平均速度中代为0，点明本节知识的易错点，并做强调。问题6 运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示呢？学生填表并展示。表3 平均速度瞬时速度 通过对比填表使学生认识到平均速度当时间间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的极限模型。这两个问题具有的共同特征，为引出瞬时变化率的表示奠定基础。活动方式 学生对比两个问题，发现它们虽然是两个不同的函数，但是对这两个问题的处理方法是完全相同的，可否将此思路推广到一般的函数中来呢？启发学生自己提出问题7。通过层层展开的探讨，激活学生知识思维的“最近发展区”，引导学生通过类比，由特殊到一般,自主提出新问题。问题7 函数在处的瞬时变化率如何呢？表3 高台跳水 函 数平均变化率 瞬时变化率？3.瞬时变化率、导数概念呈现由以上分析，我们给出函数瞬时变化率的概念：设函数在及其附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数之相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率，趋近于一个常数,那么常数称为函数在点的瞬时变化率。“当趋近于0时，趋近于常数”可以用符号“”（读作“趋近于”）记作当时，上述过程，通常也记作。函数在点的瞬时变化率，通常称为在点的导数，并记，这时又称在点处是可导的，于是上述变化过程，可以记作当时，或 引导学生舍弃具体问题的实际意义,抽象得到导数定义，让学生通过对比，理解导数是一个极限，并明确导数的表示。通过这样的运算过程，学生掌握了瞬时速度的探究经过，深入理解了瞬时速度的概念，学生由认识平均变化率上升到了对瞬时变化率的认识。例5 火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？解 火箭的运动方程为=100，火箭向上位移是初速度引起的位移（100）与重量引起的位移（）的合成。在附近的平均变化率为 = =，当时，上式趋近于100。可见时刻的瞬时速度，令 =0，解得 =，所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0。例6 一正方形铁板在0C时，边长为10，加热后铁板会膨胀，当温度为时，边长变为，为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率。解 设温度的增量为，则铁板面积S的增量 =，因此 ，令，得，所以铁板对温度的膨胀率为。例7 已知函数=，利用导数概念求的值。活动方式:学生先自己解答，教师再给出规范的解答过程，师生共同总结求导步骤。求函数=在=点处的导数的步骤：（1）求函数值的增量；（2）求平均变化率；（3）求极限；记为：“一差、二比、三极限”。本题是一道补充例题.在学生初步建立导数概念，明确用定义求导数的方法之后，进行及时巩固，总结求导步骤，渗透算法思想，进一步加深对导数概念的理解。课堂练习必做题 练习A 1、2；选做题 练习B 2、并思考它的几何意义。让学生独立完成并上台讲解，再次熟悉求导步骤、体会逼近思想，选做题则为下一节课学习导数的几何意义埋下伏笔。(三)导数的概念理解及几何意义在上面探究的基础上进一步提出问题，通过讨论二次函数曲线图像的切率来引入对导线概念的理解，探索导数的几何意义。1.导数的几何意义教师：我们一起来回顾一下平均变化率的定义？学生：已知函数=，是其定义域内不同的两点，记=-，=-，则当时，商=称作函数=在区间(或)的平均变化率。教师：平均变化率在函数图像上所显示的几何意义？师生：经过图像上两点A、B的割线的斜率就是平均变化率。教师：那么割线的斜率=就是平均变化率，当很小很小时，这个割线几乎变成了什么？学生：切线。教师：很好，根据上一节我们学习的导数的定义，当时，函数的增值与自变量的增值的比值的极限就是函数在处的导数，根据导数的定义、割线的变化位置可以看出导数的几何意义是什么呢？由复习旧知识导入新课，过渡自然又能引起学生的求知欲、激发学生的学习兴趣！教师：想想我们上面所说的导数的值和割线斜率的关系是通过什么得到的，哪位同学来说一下导数的几何意义？引导学生说出割线斜率的极限值应该是切线的斜率，进一步一句话来说导数就是在该点处的切线的斜率。2.导数的几何意义的探求过程（1）切线的定义教师：请看图1-5： A是一定点，当动点B沿着曲线趋近于点A 时，观察割线AB的变化趋势图。（多媒体显示动画）图1-5学生：当点B沿着曲线趋近于点A时，割线AB趋近于在A处的切线AD。教师：“当点 B沿着曲线趋近点A 时，割线AB趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线AD称为点A处的切线。”这就是切线的概念。（2）导数的几何意义通过动态图像引导学生说出割线斜率的极限恰好是切线的斜率，割线的极限位置是切线，割线的斜率的极限是导数，进一步说，割线的斜率的极限是切线的斜率，从而得出导数就是切线的斜率这个导数的几何意义。=切线AD的斜率由导数的意义可知，曲线在点的切线的斜率等于。通过动态的演示“逼近”过程，让学生更形象的了解当逐步趋于0 时，割线向切线的转化过程，同时渗透“以直化曲”的微分思想，归纳出切线的定义，导数的几何意义，方便学生掌握切线的定义，突破本节课的难点。这样一步步的引导学生分析思考，始终把学生作为课堂的主体，注重知识的迁移，培养学生独立思考和归纳概括的能力。 3.知识应用、巩固理解（1）例题讲解例8 求抛物线在点(1,1)处的切线的斜率。解 过点（1，1）的切线的斜率是=2因此，抛物线过点（1，1）的切线的斜率为2。例9 求双曲线=过点(2,)的切线方程。解 因为 =，所以这条双曲线过点(2,)的切线的斜率为。由直线方程的点斜式，得切线方程为=，即 。例10 求抛物线过点的切线方程。解 点不在抛物线上，设此切线过抛物线上的点，因为 = = =，所以此切线的斜率为，又因为此切线过点和，所以=，即 ，解得，因此，过切点（2，4），（3，9）的切线方程分别为，即所求切线方程为，。本题让学生先思考，老师进行适时的引导并且让学生总结出求曲线的切线方程的步骤 （1）先求切线斜率；（2）再由点斜式写出切线方程。（2）反馈练习给时间让学生独立完成课本P11练习A第2题第三小题，点两名同学在黑板上作答，根据学生作答的情况进行或详或略的讲解。这样既能及时获得教学反馈，又能及时对学生不懂的地方再次讲解，巩固本节课所学的知识。 从上面的逐步分析，学生能够紧跟教师的思路，步步为营，逐步理解，使得抽象的原理，逐步被简化，学生能够将跳水与二次函数图像这两个过程进行对比，通过对比得出这两个过程如出一辙， 像是在讲述着一个道理，都蕴含着一个思想，那就是“极限” 思想，一方面是通过逐步缩小时间范围，来求出对应的瞬时速度，另一方面是通过割线的倾斜度的不断变化来求出最后无限靠近的切线的斜率，两者都蕴含着“无限靠近” 的思想，循序渐进地完成变化，使学生能够深化理解导数概念以及得到导数的几何意义。三、教学反思本节课的设计以新课程的教学理念为指导，遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的原则。传统的概念教学多是“重结果，轻过程”，常常是直接给出一个定义，几项注意后，就是大量变式训练。本节课我注重过程教学，提出问题、观察归纳、概括抽象，拓展概念让学生充分经历了具体到抽象，特殊到一般，感性到