一次绝对值函数的最值问题.pdf

l数理化研究I-【关注】一次绝对值函数的最值问题一次绝对值函数是我们十分熟悉的一种简单函数。它与方程、不等式、分段函数等密切相关。由于绝对值具有非负性和表示距离等特性。再加上绝对值概念简单。可移植性强。与其他知识结合能较全面地考查学生的基本数学素养，是高考命题的一个热点。纵观近几年有关一次绝对值函数的高考和竞赛试题直接或以应用题的形式间接考查其最值问题常有出现。但教材中关于一次绝对值函数的内容，只是零星地散布于几个模块中(以人教A版为例)。如必修4中的平面向量的加减法的几何意义。选修系列“中的三角形不等式等。故此本文对一次绝对值函数的最值问题进行探讨供读者参考。函数的图像是函数关系的直观表达式。形象地显示了函数的性质。借助一次绝对值函数的图像我们可以方便地研究其最值，加深对一次绝对值函数的理解和认识。11含一个绝对值的一次函数的最值(1)f(x)=Ixl的图像是以原点为顶点的。v”字形折线。函数在顶点处取得最小值“0)=o无最大值；(2)f(x)=lkx+bl的图像是以(一，0)为顶点的。V”字形折K线，函数在顶点取得最小值“一)=o。无最大值；K(3)f(x)=kIx“l的图像是：当k0时。以(一bO)为顶点的。v”字形折线。函数在顶点处取得最小值f(“)=o。无最大值；当ko时。两端向上无限延伸。故最小值为rain“m)，“n)J；当a+b0时。两端向下无限延伸。故最大值为m一“m)，“n)；当a“=()时两端平行。故有最大值和最小值。最大值为l眦“ml，“n)。最小值为rainl“m)，“n)1。例1：(2007年高考海南、宁夏理22选做c)设函数f(x)=12x+lIIx-4I。求函数y=“x)的最小值。解：“x)=12x+1卜Jx4I-2lx+一卜Jx_4l，因绝对值前的系二I数和为正。故图像是以x-一i1，x=4为折点两端向上无限延伸的二折线故有最小值且最小值为min“一下1)。“4)l-“一彳1)一下9。tJ上二13含多个绝对值的一次函数的最值40-20082刘峥嵘(7)“x)=lxaiI(a；ERiN+)(令a，a。皿i-laI)的图像是：当xaII时，图像是分别向左、右两边向上无限延伸的两条射线。而中问各段在区间h，“。l(i=l。2。n-1)上均为线段。它们首尾相连形成折线形当n为奇数时，在中间点处最低。此时函数有最小值；当n为偶数时在中间段即区间【辄A+。】内最低，此时函数有最小值。代数描述有以下结论：函数“x)=IxaiI(a；RiN+)(令ala2巩an】的最值：当n=2kl(kEN)时当且仅当x趣时。函数“x)有最小值为I(al+a2+虬l卜(虬l+ak一+0时。折线两端向上无限延伸。故有最小值i=-为rainf(a)“动，f(曲；当艺b；0折线两端向下无限延i=I伸。故有最大值为m“(“a。)，“曲，叭当艺b。=o时。两端平i=l行，故有最大值和最小值最大值为nmf“a)“a2)，“曲l。最小值为rainf(aI)，f(a2)，f【aT)1。例2：如图。兰台机器人M、M：、M，和检测台M位处时M：即自动送检。当M：把零件送达M处时，M，即自动送检。设M2的送检在一条直线上，三台机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测。送检程序设定：当M把零件送达M速度为v且送检速度是M。的2倍，是的3倍。现要求M、M：、M，的送检时间总和必须最短。请你设计出检测台M在该直线上的位置(M与M。M2、M，均不能重合)。竺!翌竺!望：-一2一l0l23分析：令检测台坐标为M(x)。所需时间总和为“x)，依题意可得：“x)-上(2Ix+2l+llI+3lx_31)。要求的是当x为何值V时函数取得最小值因绝对值前的系数和为正。所以其图像两端向上无限延伸故有最小值为rain“一2)，“1)f(3)-f(1l=ff3)=些。故当x(1，3)时函数总有最小值。因此。检测台设在V该线段M2M，上(除去两端点)的任一点均可。参考文献：1李勤俭关注绝对值J中学数学教学参考，2005(4)2翟斌，郭亚琴一道高考题的探究与引申叩中学数学教学参考。2006(10)(湛江师范学院附属巾学作者系华南师范犬学2006级教仃顾上)万方数据一次绝对值函数的最值问题一次绝对值函数的最值问题作者：刘峥嵘作者单位：湛江师范学院附属中学刊名：成才之路英文