xx届高三物理一轮复习学案：电磁感应

1 / 45 XX 届高三物理一轮复习学案：电磁感应 XX届高三物理一轮复习学案：电磁感应 教学目标 1知道电磁感应现象，知道产生感应电流的条件。 2会运用楞次定律和左手定则判断感应电流的方向。 3会计算感应电动势的大小（切割法、磁通量变化法）。 4通过电磁感应综合题目的分析与解答，深化学生对电磁感应规律的理解与应用，使学生在建立力、电、磁三部分知识联系的同时，再次复习力与运动、动量与能量、电路计算、安培力做功等知识，进而提高学生的综合分析能力。 教学重点、难点分析 1楞次定律、法拉 第电磁感应定律是电磁感应一章的重点。另外，电磁感应的规律也是自感、交流电、变压器等知识的基础，因而在电磁学中占据了举足轻重的地位。 2在高考考试大纲中，楞次定律、法拉第电磁感应定律都属 II 级要求，每年的高考试题中都会出现相应考题，题型也多种多样，在历年高考中，以选择、填空、实验、计算各种题型都出现过，属高考必考内容。同时，由电磁感应与力学、电学知识相结合的题目更是高考中的热点内容，题目内容变化多端，需要学生有扎实的知识基础，又有一定的解题技巧，因此在复习中要重视这方面的训练。 2 / 45 3电磁感应现象及规律在 复习中并不难，但是能熟练应用则需要适量的训练。关于楞次定律的推广含义、法拉第电磁感应定律在应用中何时用其计算平均值、何时要考虑瞬时值等问题都需通过训练来达到深刻理解、熟练掌握的要求，因此要根据具体的学情精心选择一些针对性强、有代表性的题目组织学生分析讨论达到提高能力的目的。 4电磁感应的综合问题中，往往运用牛顿第二定律、动量守恒定律、功能关系、闭合电路计算等物理规律及基本方法，而这些规律及方法又都是中学物理学中的重点知识，因此进行与此相关的训练，有助于学生对这些知识的回顾和应用，建立各部分知识的联系。但 是另一方面，也因其综合性强，要求学生有更强的处理问题的能力，也就成为学生学习中的难点。 5楞次定律、法拉第电磁感应定律也是能量守恒定律在电磁感应中的体现，因此，在研究电磁感应问题时，从能量的观点去认识问题，往往更能深入问题的本质，处理方法也更简捷， “ 物理 ” 的思维更突出，对学生提高理解能力有较大帮助，因而应成为复习的重点。 教学过程设计 一、电磁感应现象 1产生感应电流的条件 感应电流产生的条件是：穿过闭合电路的磁通量发生变化。 3 / 45 以上表述是充分必要条件。不论什么情况，只要满足电路闭合和磁通量发 生变化这两个条件，就必然产生感应电流；反之，只要产生了感应电流，那么电路一定是闭合的，穿过该电路的磁通量也一定发生了变化。 当闭合电路的一部分导体在磁场中做切割磁感线的运动时，电路中有感应电流产生。这个表述是充分条件，不是必要的。在导体做切割磁感线运动时用它判定比较方便。 2感应电动势产生的条件。 感应电动势产生的条件是：穿过电路的磁通量发生变化。 这里不要求闭合。无论电路闭合与否，只要磁通量变化了，就一定有感应电动势产生。这好比一个电源：不论外电路是否闭合，电动势总是存在的。但只有当外电路闭合时 ，电路中才会有电流。 3关于磁通量变化 （ 1）在匀强磁场中，磁通量 =BSsin（ 是 B 与 S 的夹角），磁通量的变化 =2 -1 有多种形式，主要有： S 、 不变， B 改变，这时 =BSsin B 、 不变， S 改变，这时 =SBsin B 、 S 不变， 改变，这时 =BS （ sin2 -sin1 ） 当 B、 S、 中有两个或三个一起变化时，就要分别计算 1 、2 ，再求 2 -1 了。 4 / 45 （ 2）在非匀强磁场中，磁通量变化比较 复杂。有几种情况需要特别注意： 如图所示，矩形线圈沿 abc 在条形磁铁附近移动，试判断穿过线圈的磁通量如何变化？如果线圈 m沿条形磁铁轴线向右移动，穿过该线圈的磁通量如何变化？ （穿过上边线圈的磁通量由方向向上减小到零，再变为方向向下增大；右边线圈的磁通量由方向向下减小到零，再变为方向向上增大） 如图所示，环形导线 a 中有顺时针方向的电流， a 环外有两个同心导线圈 b、 c，与环形导线 a 在同一平面内。当 a 中的电流增大时，穿过线圈 b、 c 的磁通量各如何变化？在相同时间内哪一个变化更大？ （ b、 c 线圈所围面积 内的磁通量有向里的也有向外的，但向里的更多，所以总磁通量向里， a 中的电流增大时，总磁通量也向里增大。由于穿过 b 线圈向外的磁通量比穿过 c 线圈的少，所以穿过 b 线圈的磁通量更大，变化也更大。） 如图所示，虚线圆 a 内有垂直于纸面向里的匀强磁场，虚线圆 a 外是无磁场空间。环外有两个同心导线圈 b、 c，与虚线圆 a 在同一平面内。当虚线圆 a 中的磁通量增大时，穿过线圈 b、 c 的磁通量各如何变化？在相同时间内哪一个变化更大？ （与 的情况不同， b、 c 线圈所围面积内都只有向里的磁5 / 45 通量，且大小相同。因此穿过它们的磁通量和磁通量变化 都始终是相同的。） 二、楞次定律 1楞次定律 感应电流具有这样的方向，即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。 楞次定律解决的是感应电流的方向问题。它关系到两个磁场：感应电流的磁场（新产生的磁场）和引起感应电流的磁场（原来就有的磁场）。前者和后者的关系不是 “ 同向 ” 或“ 反向 ” 的简单关系，而是前者 “ 阻碍 ” 后者 “ 变化 ” 的关系。 在应用楞次定律时一定要注意： “ 阻碍 ” 不等于 “ 反向 ” ，“ 阻碍 ” 不是 “ 阻止 ” 。 （ 1）从 “ 阻碍磁通量变化 ” 的角度来看，无论什么原因，只要使穿过电路的磁通量发生了变化， 就一定有感应电动势产生。 “ 阻碍 ” 的不是磁感强度 B，也不是磁通量 ，而是阻碍穿过闭合回路的磁通量变化。 （ 2）从 “ 阻碍相对运动 ” 的角度来看，楞次定律的这个结论可以用能量守恒来解释：既然有感应电流产生，就有其它能转化为电能。又由于感应电流是由相对运动引起的，所以只能是机械能转化为电能，因此机械能减少。磁场力对物体做负功，是阻力，表现出的现象就是 “ 阻碍 ” 相对运动。 6 / 45 （ 3）从 “ 阻碍自身电流变化 ” 的角度来看，就是自感现象。 自感现象的应用和防止。 应用：日光灯电路图及原理：灯管、镇流器和启动器的作用。 防止 ：定值电阻的双线绕法。 2右手定则。 对一部分导线在磁场中切割磁感线产生感应电流的情况，右手定则和楞次定律的结论是完全一致的。这时，用右手定则更方便一些。 3楞次定律的应用及其推广 楞次定律强调的是感应电流的方向，感应电流的磁场阻碍原磁通量的变化。我们可将其含义推广为：感应电流对产生的原因（包括外磁场的变化、线圈面积的变化、相对位置的变化、导体中电流的变化等）都有阻碍作用。因此用推广含义考虑问题可以提高运用楞次定律解题的速度和准确性。 楞次定律的应用应该严格按以下四步进行： 确定原磁场方向； 判定原磁场如何变化（增大还是减小）； 确定感应电流的磁场方向（增反减同）； 根据安培定则判定感应电流的方向。 【例题 1】如图所示，有两个同心导体圆环。内环中通有顺时针方向的电流，外环中原来无电流。当内环中电流逐渐增大时，外环中有无感应电流？方向如何？ 解：由于磁感线是闭合曲线，内环内部向里的磁感线条数和7 / 45 内环外部向外的所有磁感线条数相等，所以外环所围面积内（这里指包括内环圆面积在内的总面积，而不只是环形区域的面积）的总磁通量向里、增大，所以外环中感应电流磁场的方向为向外，由安培定则，外环中感应电流方向为逆 时针。 【例题 2】如图所示，闭合导体环固定。条形磁铁 S 极向下以初速度 v0¬沿过导体环圆心的竖直线下落过程，导体环中的感应电流方向如何？ 解：从 “ 阻碍磁通量变化 ” 来看，当条形磁铁的中心恰好位于线圈 m 所在的水平面时，磁铁内部向上的磁感线都穿过了线圈，而磁铁外部向下穿过线圈的磁通量最少，所以此时刻穿过线圈 m 的磁通量最大。因此全过程中原磁场方向向上，先增后减，感应电流磁场方向先下后上，感应电流先顺时针后逆时针。 从 “ 阻碍相对运动 ” 来看，线圈对应该是先排斥（靠近阶段）后吸引（远离阶段），把条形磁铁等效为 螺线管，该螺线管中的电流是从上向下看逆时针方向的，根据 “ 同向电流互相吸引，反向电流互相排斥 ” ，感应电流方向应该是先顺时针后逆时针的，与前一种方法的结论相同。 【例题 3】如图所示， o1o2 是矩形导线框 abcd 的对称轴，其左方有垂直于纸面向外的匀强磁场。以下哪些情况下 abcd中有感应电流产生？方向如何？ A将 abcd以 cd为轴转动 60B 将 abcd向右平移 8 / 45 c将 abcd以 ab为轴转动 60D 将 abcd向纸外平移 解： A、 B 两种情况下原磁通量向外，减少，感应电流磁场向外，感应电流方向为 abcd。 c、 D 两种情况下穿过 abcd的磁通量没有发生变化，无感应电流产生。 【例题 4】如图所示装置中， cd 杆原来静止。当 ab 杆做如下那些运动时， cd杆将向右移动？ A向右匀速运动 B向右加速运动 c向左加速运动 D向左减速运动 解： .ab 匀速运动时， ab 中感应电流恒定， L1 中磁通量不变，穿过 L2的磁通量不变化， L2 中无感应电流产生， cd保持静止， A 不正确； ab向右加速运动时， L2中的磁通量向下，增大，通过 cd 的电流方向向下， cd 向右移动， B 正确；同理可得 c 不正确， D 正确。选 B、 D 【例题 5】如图所示，当 磁铁绕 o1o2 轴匀速转动时，矩形导线框（不考虑重力）将如何运动？ 解：本题分析方法很多，最简单的方法是：从 “ 阻碍相对运动 ” 的角度来看，导线框一定会跟随条形磁铁同方向转动起来。如果不计一切摩擦阻力，最终导线框将和磁铁转动速度无限接近到可以认为相同；如果考虑摩擦阻力，则导线框的转速总比条形磁铁转速小些（线框始终受到安培力矩的作用，大小和摩擦力的阻力矩相等）。如果用 “ 阻碍磁通量变化 ” 来分析，结论是一样的，但是叙述要复杂得多。可见这9 / 45 类定性判断的题要灵活运用楞次定律的各种表达方式。 【例题 6】如图所示，水平面上有 两根平行导轨，上面放两根金属棒 a、 b。当条形磁铁如图向下移动时（不到达导轨平面）， a、 b 将如何移动？ 解：若按常规用 “ 阻碍磁通量变化 ” 判断，则需要根据下端磁极的极性分别进行讨论，比较繁琐。而且在判定 a、 b 所受磁场力时。应该以磁极对它们的磁场力为主，不能以 a、 b间的磁场力为主（因为它们的移动方向由所受的合磁场的磁场力决定，而磁铁的磁场显然是起主要作用的）。如果注意到：磁铁向下插，通过闭合回路的磁通量增大，由 =BS 可知磁通量有增大的趋势，因此 S 的相应变化应该是阻碍磁通量的增加，所以 a、 b 将互相靠近。这样判定 比较起来就简便得多。 【例题 7】如图所示，绝缘水平面上有两个离得很近的导体环 a、 b。将条形磁铁沿它们的正中向下移动（不到达该平面），a、 b 将如何移动？ 解：根据 U=BS，磁铁向下移动过程中， B 增大，所以穿过每个环中的磁通量都有增大的趋势，由于 S 不可改变，为阻碍增大，导体环应该尽量远离磁铁，所以 a、 b 将相互远离。 【例题 8】如图所示，在条形磁铁从图示位置绕 o1o2 轴转动 90 的过程中，放在导轨右端附近的金属棒 ab 将如何移动？ 10 / 45 解：无论条形磁铁的哪个极为 N 极，也无论是顺时针转动还是逆时针转动，在转动 90 过程中，穿过闭合电路的磁通量总是增大的（条形磁铁内、外的磁感线条数相同但方向相反，在线框所围面积内的总磁通量和磁铁内部的磁感线方向相同且增大。而该位置闭合电路所围面积越大，总磁通量越小，所以为阻碍磁通量增大金属棒 ab 将向右移动。 【例题 9】如图所示， a、 b 灯分别标有 “36V40W” 和“36V25W” ，闭合电键，调节 R，使 a、 b 都正常发光。这时断开电键后重做实验：电键闭合后看到的现象是什么？稳定后那只灯较亮？再断开电键，又将看到什么现象？ 解：重新闭合瞬间，由于电感线圈对电流增大的阻碍作用，a 将慢慢亮起 来，而 b 立即变亮。这时 L 的作用相当于一个大电阻；稳定后两灯都正常发光， a 的额定功率大，所以较亮。这时 L 的作用相当于一只普通的电阻（就是该线圈的内阻）；断开瞬间，由于电感线圈对电流减小的阻碍作用，通过 a 的电流将逐渐减小， a 渐渐变暗到熄灭，而 abRL 组成同一个闭合回路，所以 b 灯也将逐渐变暗到熄灭，而且开始还会闪亮一下（因为原来有 IaIb），并且通过 b 的电流方向与原来的电流方向相反。这时 L 的作用相当于一个电源。（若将 a 灯的额定功率小于 b 灯，则断开电键后 b 灯不会出现 “ 闪亮 ” 现象。） 【例题 10】如图所示， 用丝线将一个闭合金属环悬于 o 点，11 / 45 虚线左边有垂直于纸面向外的匀强磁场，而右边没有磁场。金属环的摆动会很快停下来。试解释这一现象。若整个空间都有垂直于纸面向外的匀强磁场，会有这种现象吗？ 解：只有左边有匀强磁场，金属环在穿越磁场边界时（无论是进入还是穿出），由于磁通量发生变化，环内一定有感应电流产生。根据楞次定律，感应电流将会阻碍相对运动，所以摆动会很快停下来，这就是电磁阻尼现象。还可以用能量守恒来解释：有电流产生，就一定有机械能向电能转化，摆的机械能将不断减小。若空间都有匀强磁场，穿过金属环的磁通量不变化， 无感应电流，不会阻碍相对运动，摆动就不会很快停下来。 【例题 11】如图所示，蹄形磁铁的 N、 S 极之间放置一个线圈 abcd，磁铁和线圈都可以绕 oo 轴转动，若磁铁按图示方向绕 oo 轴转动，线圈的运动情况是： A俯视，线圈顺时针转动，转速与磁铁相同 B俯视，线圈逆时针转动，转速与磁铁相同 c线圈与磁铁转动方向相同，但开始时转速小于磁铁的转速，以后会与磁铁转速一致 D线圈与磁铁转动方向相同，但转速总小于磁铁的转速 师：本题目中由于磁铁转动，就使穿过线圈的磁感线数目发生变化（开始图转时， U 从零增 加），因而会产生感应电流，线圈因通有电流又受磁场的作用力（安培力）而转动。这样12 / 45 分析虽然正确，但较费时间。若应用楞次定律的推广意义来判断就省时多了。大家可以试试。具体地说，就是先要解决两个问题： 引起 U 变化的原因是什么？ 由于 “ 阻碍 ” 这个 “ 原因 ” ，线圈表现出来的运动应是怎样的？（学生思考后回答） （设置这样的定向思维的提问，目的不是了解学生怎样解题，而是着重让学生体会楞次定律的推广含义的具体应用方法。学生很容易回答上述提问：引起 U 的变化原因是线圈转动，由于要 “ 阻碍 ” 转动，表现为线圈跟着磁铁同向转动，所以，可 以排除选项 A） 师：进一步推理，线圈由于阻碍铁相对线圈的转动而跟着转起来后，线圈的转速能与磁铁一致吗？（回答：不会一致，若一致就不是阻碍而阻止了） 师：楞次定律的核心是 “ 阻碍 ” ，让我们做出线圈转速小于磁铁转速的结论，因此可以排除选项 B。同时，线圈依靠磁铁对线圈施以安培力而跟着转起来后，始终两者转速都不会一样的。（为什么，这个推理请自己用反证法论证）其实这就是异步感应电动机的工作原理。答案： D 【例题 12】如图，水平导轨上放着一根金属导体，外磁场竖直穿过导轨框。当磁感强度 B减小时，金属棒将怎样运动？ 师：请大家不光会用楞次定律去分析，更要学会用楞次定律的推广含义去判断。 13 / 45 本题中产生感应电流的原因是外磁场 B 的减少，使穿过回路的 U 减少。为阻碍 U 减少，应表现出回路面积增大，所以可动的金属棒 ab应向外运动。 指点：本题的分析也可以用逆向思维方法推知感应电流的方向。由于阻碍磁通量 U ，导体棒向右运动，作用在导体棒上的安培力方向一定向右，用左手定则可知导体棒中的感应电流方向一定是从 ba 。 【例题 13】如图所示，一闭合的铜环从静止开始由高处下落通过条形磁铁后继续下降，空气阻力不计，则在铜环的运动过程中，下列说 法正确的是： A铜环在磁铁的上方时，环的加速度小于 g，在下方时大于 g B铜环在磁铁的上方时，加速度小于 g，在下方时也小于 g c铜环在磁铁的上方时，加速度小于 g，在下方时等于 g D铜环在磁铁的上方时，加速度大于 g，在下方时小于 g 师：正确答案是 B。本题中引起铜环内产生感应电流的原因是铜环在磁铁的磁场中相对磁铁发生运动，使铜环内 先增加后减少，铜环内产生感应电流，磁场对通有感应电流的铜环又施以磁场力。要判断磁场力的方向，还依赖于对磁铁周围的磁场空间分布的了解。但是用 “ 阻碍引起感应电流的原因 ” 来 判断就简捷的多。由于铜环下落而产生感应电流，使铜环受到磁场力，而磁场力一定对铜环的下落起阻碍作14 / 45 用，使铜环下落速度增加得慢些，即。 【例题 14】如图所示，当磁铁竖直向下穿向水平面上的回路中央时（未达到导轨所在平面），架在导轨上的导体棒 P、Q 将会怎样运动？（设导轨 m、 N 光滑） P、 Q 对导轨 m、 N 的压力等于 P、 Q 受的重力吗？ 师：除了直接用楞次定律判断外，请用阻碍相对运动来分析。（经过上面几题的指导，学生肯定会判断。） 生：由于磁铁靠近回路使回路中 ，则为使阻碍 增加，P、 Q 一定向回路内侧运动，即回路面积会 缩小。另一方面，欲使回路阻碍磁铁向下靠近，回路应向下后退，但因 “ 无路可退 ” 而使回路与支承面， P、 Q 与导轨之间都压得更紧！因此 P、 Q 对导轨施加的压力大于 P、 Q 受的重力。 【例题 15】如图所示， mN 是一根固定的通电长直导线，电流方向向上。今将一金属线框 abcd 放在导线上，让线框的位置偏向导线的左边，两者彼此绝缘，当导线中的电流 I 突然增大时，线框整体受力情况为： A受力向右 B受力向左 c受力向上 D受力为零 分析：首先判断由于电流 I 增大使穿过回路 abcd 的磁通量U 增大还是减小。由于线框位置偏向导线左边， 使跨在导线左边的线圈面积大于右边面积，线圈左边部分内磁感线穿出，右边部分内磁感线穿入，整个线框中的合磁通量是穿出的，并且随电流增大而增大。 15 / 45 再用 “ 阻碍磁通量变化 ” 来考虑线框受磁场力而将要发生运动的方向。显然线框只有向右发生运动，才与阻碍合磁通量增加相符合，因此线框受的合磁场力应向右。正确选项为A。 说明；以上 5 个例题都可以按楞次定律的应用步骤去分析。而我们特意采用了楞次定律含义的推广： “ 阻碍使 U 变化的原因 ” 去判断，意图是让大家缩简思维活动程序，提高做题速度，加深对楞次定律中 “ 阻碍 ” 含义的理解。但同时需注意的是，绝不能用简化方法代替基本方法，基本方法能使我们对电磁感应的发生过程了解得更细致，而简化方法只能快速地看到电磁感应的结果，在答题时显示出简捷性和灵活性。 楞次定律中的 “ 阻碍 ” 作用也导致了电磁感应过程中能量的转化，因而电磁感应过程就是能量转化的过程。因此，运用楞次定律也可判断能量的转化。 【例题 16】如图所示，在 o 点正下方有一个具有理想边界的磁场，将铜环从 A 点由静止释放，向右摆至最高点 B，不计空气阻力，则以下说法正确的是 A A、 B 两点等高 B A 点高于 B 点 c A 点低于 B 点 D铜环将做等幅摆动 师：铜环进入磁场又离开磁场的两个过程，铜环中的磁通量 都是变化的，故产生感应电流。现进一步分析，铜环在摆16 / 45 动中机械能守恒吗？（学生回答。） 师；此题的思维过程为：由于铜环进入、离开磁场的过程中都有磁通量 的变比，一定会产生感应电流，一定会使铜环受到安培力作用，而安培力一定阻碍铜环相对磁场的进、出运动。正因铜环需克服安培力做功 使铜环的机械能转化为电能 铜环做减幅振动。因而正确答案为 B。 同学们还可思考：若将铜环改为铜片或球，答案不同吗？（答案一样）只要将铜片或铜球看成是许多并联在一起的铜环即可，它们都会 产生感应电流（涡流），使自身发热，机械能损失。这种由于电磁感应而使振动的机械能减小的因素叫电磁阻尼。在磁电式仪表中，为防止仪表通电后指针偏转到某处后来回振动，就利用了这种电磁阻尼原理。反之，若不希望振动的机械能由于电磁阻尼而损失，则需采取使钢环不闭合（留有小缺口），将铜片上开许多缺口以使之不产生感应电流，或产生的感应电流很小的措施。 最后还需指出的是楞次定律与右手定则的关系。两者是一般规律与特殊规律的关系。各种产生感应电流的情况下都可用楞次定律判断其方向，而用右手定则只用于判断闭合电路中一部分导体做切割磁 感线运动时产生的感应电流方向。 三、法拉第电磁感应定律 “ 由于磁通量的变化，使闭合回路中产生感应电流 ” ，这只是表现出来的电磁感应现象，而其实质是由于磁通量的变17 / 45 化，使闭合回路中产生了电动势 E 感应电动势。感应电动势比感应电流更能反映电磁感应的本质。而法拉第电磁感应定律就解决了感应电动势大小的决定因素和计算方法。 1法拉第电磁感应定律 电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，即，在国际单位制中可以证明其中的 k=1，所以有，该式计算的是 t 时间内的平均电动势，但不能理解为E 的算术 平均值。对于 n 匝线圈有。 （ 1）用磁通量变化计算感应电动势常见有三种情况： 回路面积 S 不变，仅为 B 变化： B 不变，仅为回路面积 S 变化： 回路面积 S 和 B 均不变，相对位置变化（如转动）： （ 2）将均匀电阻丝做成的边长为 l 的正方形线圈 abcd 从匀强磁场中向右匀速拉而出过程，仅 ab 边上有感应电动势E=Blv， ab边相当于电源，另 3 边相当于外电路。 ab边两端的电压为 3Blv/4，另 3 边每边两端的电压均为 Blv/4。 将均匀电阻丝做成的边长为 l 的正方形线圈 abcd 放在匀强磁场中，当磁感应强度均匀减小时 ，回路中有感应电动势产生，大小为 E=l2（ B/t ），这种情况下，每条边两端的电压 U=E/4-Ir=0均为零。 感应电流的电场线是封闭曲线，静电场的电场线是不封闭的，这一点和静电场不同。 18 / 45 在导线切割磁感线产生感应电动势的情况下，由法拉第电磁感应定律可推导出感应电动势大小的表达式是： E=BLvsin（ 是 B 与 v 之间的夹角）。（瞬时值） 【例题 17】如图所示，长 L1宽 L2的矩形线圈电阻为 R，处于磁感应强度为 B 的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。求：将线圈以向右的速度 v 匀速拉出磁场的过程中，（ 1）拉力的大 小 F；（ 2）拉力的功率 P；（ 3）拉力做的功 W；（ 4）线圈中产生的电热 Q；（ 5）通过线圈某一截面的电荷量 q。 解：这是一道基本练习题，要注意计算中所用的边长是 L1还是 L2，还应该思考一下这些物理量与速度 v 之间有什么关系。 （ 1）、（ 2） （ 3）（ 4）（ 5）与 v 无关 特别要注意电热 Q 和电荷量 q 的区别，其中与速度无关！ 【例题 18】如图所示，竖直放置的 U 形导轨宽为 L，上端串有电阻 R（其余导体部分的电阻都忽略不计）。磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外。金属棒 ab的质量为 m，与导轨接触良好，不计 摩擦。从静止释放后 ab 保持水平而下滑。试求 ab下滑的最大速度 vm 解：释放瞬间 ab 只受重力，开始向下加速运动。随着速度的增大，感应电动势 E、感应电流 I、安培力 F 都随之增大，加速度随之减小。当 F 增大到 F=mg 时，加速度变为零，这19 / 45 时 ab达到最大速度。 由，可得。 这道题也是一个典型的习题。要注意该过程中的功能关系：重力做功的过程是重力势能向动能和电能转化的过程；安培力做功的过程是机械能向电能转化的过程；合外力（重力和安培力）做功的过程是动能增加的过程；电流做功的过程是电能向内能转化的过程。达到稳定速度后， 重力势能的减小全部转化为电能，电流做功又使电能全部转化为内能。这时重力的功率等于电功率也等于热功率。 进一步讨论：如果在该图上端电阻的右边串联接一只电键，让 ab下落一段距离后再闭合电键，那么闭合电键后 ab的运动情况又将如何？（无论何时闭合电键， ab可能先加速后匀速，也可能先减速后匀速，还可能闭合电键后就开始匀速运动，但最终稳定后的速度总是一样的）。 【例题 19】如图所示， U 形导线框固定在水平面上，右端放有质量为 m 的金属棒 ab， ab 与导轨间的动摩擦因数为 ，它们围成的矩形边长分别为 L1、 L2，回路的总电阻 为 R。从t=0 时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均匀变化的匀强磁场 B=kt，（ k0）那么在 t 为多大时，金属棒开始移动？ 解：由 =kL1L2 可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定的，但由于安培力 F=BILB=ktt ，所以安培力将随时间而增大。当安培力增大到等于最大静摩擦力时， ab20 / 45 将开始向左移动。这时有：， 2转动产生的感应电动势 （ 1）转动轴与磁感线平行。如图，磁感应强度为 B 的匀强磁场方向垂直于纸面向外，长 L 的金属棒 oa 以 o 为轴在该平面内以角速度 逆时针匀速转动。求金属棒中的感应 电动势。在应用感应电动势的公式时，必须注意其中的速度 v应该指导线上各点的平均速度，在本题中应该是金属棒中点的速度，因此有。 （ 2）线圈的转动轴与磁感线垂直。如图，矩形线圈的长、宽分别为 L1、 L2，所围面积为 S，向右的匀强磁场的磁感应强度为 B，线圈绕图示的轴以角速度 匀速转动。线圈的ab、 cd两边切割磁感线，产生的感应电动势相加可得 E=BS 。如果线圈由 n 匝导线绕制而成，则 E=nBS 。从图示位置开始计时，则感应电动势的瞬时值为 e=nBScost 。该结论与线圈的形状和转动轴的具体位置无关（但是轴必须与 B 垂直）。 实际上，这就是交流发电机发出的交流电的瞬时电动势公式。 【例题 20】如图所示， xoy坐标系 y 轴左侧和右侧分别有垂直于纸面向外、向里的匀强磁场，磁感应强度均为 B，一个围成四分之一圆形的导体环 oab，其圆心在原点 o，半径为 R，开始时在第一象限。从 t=0 起绕 o 点以角速度 逆时针匀21 / 45 速转动。试画出环内感应电动势 E 随时间 t 而变的函数图象（以顺时针电动势为正）。 解：开始的四分之一周期内， oa、 ob 中的感应电动势方向相同，大小应相加；第二个四分之一周期内穿过线圈的磁通量不变，因此感应电动势为零；第三个四分 之一周期内感应电动势与第一个四分之一周期内大小相同而方向相反；第四个四分之一周期内感应电动势又为零。感应电动势的最大值为 Em=BR2 ，周期为 T=2/ ，图象如右。 3电磁感应中的能量守恒 只要有感应电流产生，电磁感应现象中总伴随着能量的转化。电磁感应的题目往往与能量守恒的知识相结合。这种综合是很重要的。要牢固树立起能量守恒的思想。 【例题 21】如图所示，矩形线圈 abcd 质量为 m，宽为 d，在竖直平面内由静止自由下落。其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为 d，线圈 ab 边刚进入磁场就 开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生了多少电热？ 解： ab 刚进入磁场就做匀速运动，说明安培力与重力刚好平衡，在下落 2d 的过程中，重力势能全部转化为电能，电能又全部转化为电热，所以产生电热 Q=2mgd。 【例题 22】如图所示，水平面上固定有平行导轨，磁感应强度为 B的匀强磁场方向竖直向下。同种合金做的导体棒 ab、22 / 45 cd 横截面积之比为 21 ，长度和导轨的宽均为 L， ab 的质量为 m,电阻为 r，开始时 ab、 cd 都垂直于导轨静止，不计摩擦。给 ab 一个向右的瞬时冲量 I，在以后的运动中， cd的最大速度 vm、最大 加速度 am、产生的电热各是多少？ 解：给 ab冲量后， ab获得速度向右运动，回路中产生感应电流， cd 受安培力作用而加速， ab 受安培力而减速；当两者速度相等时，都开始做匀速运动。所以开始时 cd 的加速度最大，最终 cd 的速度最大。全过程系统动能的损失都转化为电能，电能又转化为内能。由于 ab、 cd 横截面积之比为 21 ，所以电阻之比为 12 ，根据 Q=I2RtR ，所以 cd上产生的电热应该是回路中产生的全部电热的 2/3。又根据已知得 ab 的初速度为 v1=I/m，因此有：、，解得。最后的共同速度为 vm=2I/3m，系统动能损失为 Ek=I2/6m ，其中cd上产生电热 Q=I2/9m。 【例题 23】如图所示，水平的平行虚线间距为 d=50cm，其间有 B=的匀强磁场。一个正方形线圈边长为 l=10cm，线圈质量 m=100g，电阻为 R= 。开始时，线圈的下边缘到磁场上边缘的距离为 h=80cm。将线圈由静止释放，其下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时的速度相等。取 g=10m/s2，求：（ 1）线圈进入磁场过程中产生的电热 Q。（ 2）线圈下边缘穿越磁场过程中的最小速度 v。（ 3）线圈下边缘穿越磁场过程中加速度的最小值 a。 23 / 45 解：（ 1）由于线 圈完全处于磁场中时不产生电热，所以线圈进入磁场过程中产生的电热 Q就是线圈从图中 2 位置到 4 位置产生的电热，而 2、 4 位置动能相同，由能量守恒 Q=mgd= （ 2） 3 位置时线圈速度一定最小，而 3 到 4 线圈是自由落体运动因此有 v02-v2=2g（ d-l），得 v=2m/s （ 3） 2 到 3 是减速过程，因此安培力减小，由 F-mg=ma 知加速度减小，到 3 位置时加速度最小， a=/s2。 【例题 24】用均匀导线做成的正方形线框每边长为，正方形的一半放在垂直纸面向里的匀强磁场中，如图所示，当磁场以每秒 10T 的变化率增强时，线 框中点 a、 b 两点电势差Uab是多少？ 设问：本题显然是属于磁场变化、线圈面积不变而产生感应电动势的问题。但所求的 Uab 等于 a、 b 两点间的感应电动势吗？此回路的等效电路应为怎样的？哪一部分相当于电源，哪一部分相当于外电路？ （学生经过以上几个问题的分析，都会画出等效电路图并求解 Uab。） 等效电路如图所示。方形线框的左半部分内磁通量变化，产生感应电动势，故左半部分相当于电源，右半部分相当于外电路，且内外电阻相等（图中用 r 表示）。 再提问：本题的计算中， S 应取回路面积还是回路中的磁场24 / 45 面积？（让学生讨论后 回答。这是本题的一个知识陷阱） 启发：计算磁场的磁通量 ，应该用什么面积（ S）？ 回答是用磁场的面积。因而本题中计算磁通量变化 =（ BS） =SB 当然同样应为磁场面积，即， L 为线框边长。 ，路端电压： 用楞次定律判断知感应电流是从左半边线框的 b 点流出， a点流入， b 点相当于电源的正极，故 Ub Ua，所以 Uab=-U=- 说明：在电磁感应与电路计算的习题中，只要把电源部分和外电路区分开，找出等效电路，然后利用法拉第电磁感应定律求电动势。利用闭合电路欧姆定律和串联关系进行求解是解决这类 问题应采用的一般方法。 【例题 25】如图所示，导线全都是裸导线，半径为 r 的圆内有垂直圆平面的匀强磁场，磁感强度为 B。一根长度大于2r 的导线 mN 以速率 v 在圆环上无摩擦地自左端匀速滑动到右端，电路中的定值电阻为 R，其余电阻不计。求： mN从圆环的左端滑到右端的全过程中电阻 R上的电流强度的平均值及通过 R 的电量 q。 设问：此题属磁通量变化类型还是切割类型？ （学生会一看就说是切割类型的。） 再问：你能用 E=Blv 计算出感应电动势吗？ （让学生经讨论后达到共识：因有效切割长度在不断变化，25 / 45 且为非线性变化，故难以 用上式计算出平均感应电动势。） 师：本题难以用特例公式 E=Blv计算，可从一般情况看， mN向右运动，使回路中的磁通量不断减少，可以用法拉第电磁感应定律求平均电动势 由于，。 所以 通过的电量： 追问：本题中何时感应电流最大？感应电流最大值为多少？ 学生：当 mN 运动到圆环中央时，有效切割长度最长，等于圆环直径 2r，这时感应电动势最大，回路中感应电流最大。最大值为 反思：想一想，感应电流的平均值 I 为什么不等于最大电流Imax 与最小电流 Imin=0 的算术平均值？（因 I 是非线性变化的。） 说明：在电 磁感应现象中流过电路的电量 此式具有一般意义。用此式计算电量 q 时，电流强度应该用平均值，而非有效值，更不能用最大值。这是因为此式是根据电流强度的定义式计算的，而用计算的只能是时间内的平均电流强度！ 再加一问：为使 mN 能保持匀速运动，需外加的拉力是恒力还是变力？ 生：使 mN 保持匀速运动，应满足合力为零的平衡条件，而26 / 45 mN运动中产生感应电流，磁场会对 mN施加安培力阻碍 mN的运动，因此外力应与安培力二力平衡。又因为 mN 中的感应电流 I 是变化的，所以安培力 F=BIl 也是变化的，需要外力也随之变化。 师：若要求计 算外力的最大功率，你又应该怎样思考？ 生：首先确定何时外力的功率最大。由前面的分析，当 mN运动到圆环中央位置时电流最大，则此时安培力也最大，所需外力最大，由 P=Fv 知，外力的功率最大。由此可以计算最大功率为 问：还有其它算法吗？（提示：若从能量转化角度考虑可以怎样计算？） 生：外力做多少功，就产生多少电能，电路就产生多少焦耳热。因此还可以根据 P 外力 =P电计算： 【例题 26】如图所示，竖直向上的匀强磁场的磁感应强度B0=，并且以的变化率均匀增加。水平放置的导轨不计电阻，不计摩擦阻力，宽度 l=，在导轨上 浮放着一金属棒 mN，电阻 R0= ，并用水平细线通过定滑轮悬吊着质量 m=2kg 的重物。导轨上的定值电阻 R= ，与 P、 Q 端点相连组成回路。又知 PN 长 d=，求：从磁感强度为 B。开始计时，经过多少时间金属棒 mN恰能将重物拉起？ （题目条件较多，要给学生审题时间。） 师：本题属于磁通量变化型。首先请一位学生简述一下物理27 / 45 情景。 物理情景是：由于磁通量 变化使回路中产生感应电流，方向由 mN ，根据左手定则判断， mN 棒将受方向向左的安培力作用，当 F 安 mg 时，重物被拉起。 师：物体刚刚被拉离地面时的临界条件一定为 F安 -mg=0时，即 F 安 =mg。那么在此之前， mN棒未动，则回路面积 S 不变，仅仅是磁场 B 变化。由题意推知，在此过程中，安培力一定是逐渐增大的。那么，究竟是什么原因导致安培力 F 安增大呢？ 由于，式中为定值。 显然只能是因 B 不断增大而使 F 安变大的。 师：根据以上推理和题意，磁感强度随时间 t 变化的函数表达式应写为何种形式？ 生：根据题意， B 是均匀变化的，应为线性函数，又由以上推理知 B 是增加的，因此函数式应为 师：对。以下就可根据重物被拉起的临界条件确定该时刻的磁感强度 Bt，再由上式确定物体被拉起的时刻 t。 请同学们自己计算一下。（并让一同学到黑板上写出过程） 物体刚被拉起时： F 安 =mg 即 得，代入数字得 B=500T。 再代入 B=B0+得 t=495s。 28 / 45 说明： 本题中经过分析判断写出 B 的函数式，是运用了数学知识表达物理规律的体现，这种能力也是高考说明中要求的。 本题分析的是金属棒 mN 尚未运动之前的情况，回路中只有外磁场的磁感增强引起的磁通量变化，而无 “ 切割 ” ，即只有 “ 感生 ” 而无 “ 动生 ” 。当 mN 棒与重物一起运动以后，由于回路面积减小，同时 B ，回路中磁通量变化规律就不好定性分析了。 【例题 27】如图 所示，匀强磁场中固定的金属框架 ABc，导体棒 DE 在框架上沿图示方向匀速平移，框架和导体棒材料相同、同样粗细，接触良好。则 A电路中感应电流保持一定 B电路中磁通量的变化率一定 c电路中感应电动势一定 D棒受到的外力一定 分析：本题属于切割型。 DE 棒相当于电源，电路中的有效切割长度 L 不断增大，由 E=Blv知，感应电动势 E 随之增大，而非定值。所以选项 c 错。 又因为本题的回路中磁通量变化就是 DE 棒做 “ 切割 ” 运动而引起的，所以用公式计算感应电动势与用 E=Blv计算，二者应是一致的，所以选项 B 错。 设问：电路中的感应电流由什么因素确定？ 生：根据闭合电路欧姆定律来确定电流强度。 29 / 45 师：对。但是随着 DE 棒运动，回路中 E=Blv 随 L 增大，回路的总电阻 R 总也随回路总边长增加而增大，你下一步怎样做才能分析感应电流变还是不变？ 学生：计算 师：请自己计算一下感应电流的瞬时值，以便能确定它是否随时间变化。 （学生活动：在座位上运算。） 师：请一位同学说一下是怎样算的。 学生：先计算 DE 棒在任意时刻 t 在电路中的有效切割长度l=2vttan ， 为顶角 B 的一半。再代入E=Blv求出感应电动势： E=B2vttan ，而电路的总电阻与电路总周长成正比。设该电路材料单位长度的电阻为 R0，则此时电路总电阻为， 回路中的电流强度为 从上面推导的结果看出， I 与时间 t 无关。上式中各量均为定值，因而 I 也为定值， A 项对。 师：分析正确。其实还可以用更简捷的思维方式，即分析 E的增量 E 与总电阻的增量 R 是否成正比，若为正比关系，则说明比值 =恒量，反之则为变量。按此思路考虑，当 DE运动一段位移后，电路中有效切割长度增加了 l ，而电动势增量 El ；另一方面，回路 增加的长度 2ab+l 也与 l成正比（如图），即回路中切割长度每增加 l 时，回路总长30 / 45 度都增加相同的 2ab+l ，而回路电阻增量与回路总长度增量成正比，因此，比值 =定值，即 I=定值。所以 A 项正确。显然，这种推理方式无需计算，能省时间。这是一种半定量式的分析。由于本题是选择题，要求我们尽快做出判断，因而无需经仔细计算后再得结论，只要找到比例关系即可。一般来说，高考中的选择题不考那种需经复杂计算才能做出判断的题，即无需 “ 小题大做 ” ，充其量有半定量分析和简单的计算。 最后，关于棒受的外力应该根据什么关系确定？ 生：根据 DE 棒匀速运动，应满足受力平衡关系，即外力与棒受到的安培力相等。而安培力 F=BIl随 L 变化，故外力也随之变化。 师：对。根据公式 F=BIl 计算安培力时，为什么不是将 DE棒的总长度代入公式分析而是只考虑回路中的那一部分长度？ 生：因 DE 棒上只有接入回路的那部分才有电流通过，而磁场是对通电导体施以安培力的。 师：完全正确。本题的 D 选项是错的。如果概念不清楚，会在 D 选项的判断上出现失误的。我们平时的练习中，一定要重视基本知识，基本规律、基本方法，而不要只会背公式、套公式，那样就学不好物理。 四、电 磁感应中的综合问题 31 / 45 （一）力、电、磁综合题分析 【例题 28】如图所示， AB、 cD 是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为 l，导轨平面与水平面的夹角为 ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感强度为 B，在导轨的 A、 D 端连接一个阻值为 R 的电阻。一根垂直于导轨放置的金属棒 ab，其质量为 m，从静止开始沿导轨下滑。求： ab 棒下滑的最大速度。（要求画出ab棒的受力图，已知 ab与导轨间的动摩擦因数为 ，导轨和金属棒的电阻都不计） 教师：（让学生审题，随后请一位学生说题。）题目中表达的是什 么物理现象？ ab 棒将经历什么运动过程？ 动态分析。 学生： ab 棒沿导轨下滑会切割磁感线，产生感应电动势，进而在闭合电路中产生感应电流。这是电磁感应现象。 ab棒在下滑过程中因所受的安培力逐渐增大而使加速度逐渐减小，因此做加速度越来越小的加速下滑。 教师：（肯定学生的答案）你能否按题目要求画出 ab棒在运动中的受力图？ 学生画图（如图）。 教师指出：本题要求解的是金属棒的最大速度，就要求我们去分析金属棒怎样达到最大速度，最大速度状态下应满足什么物理条件。本质上，仍然是要回答出力学的基本问题：物32 / 45 体受什么力 ，做什么运动，力与运动建立什么关系式？在电磁现象中，除了分析重力、弹力、摩擦力之外，需考虑是否受磁场力（安培力）作用。 提问：金属棒在速度达到最大值时的力学条件是什么？ 要点：金属棒沿斜面加速下滑，随 v 感应电动势E=Blv 感应电流 安培力 F=BIl 合力 a 。当合力为零时， a=0， v 达最大 vm，以后一直以 vm匀速下滑。 （让学生写出 v 达最大的平衡方程并解出 vm。） 板书：当 v 最大时，沿斜面方向的平衡方程为 解出 师：通过上述分析，你能说出何时金属棒的加速度最大？最大加速度为多 少？ 生：金属棒做 a 减小的加速下滑，故最初刚开始下滑时，加速度 a 最大。由牛顿第二定律有： mgsin -mgcos=mam 得 am=g（ sin -cos ） 师设问：如果要求金属棒 ab 两端的电压 Uab 最终为多大，应该运用什么知识去思考？ 引导：求电路两端的电压应从金属棒所在电路的组成去分析，为此应先画出等效电路模型图。 （学生画图。） 板书：（将学生画出的正确电路图画在黑板上，见图） 33 / 45 师：根据电路图可知 Uab指什么电压？（路端电压） （让学生自己推出 Uab表达式及 Uab的最大值。） 板 书： Uab=E-Ir=Blv-Ir 由于金属棒电阻不计，则 r=0，故 Uab=Blv 随金属棒速度vEUab ，最终 提醒：若金属棒的电阻不能忽略，其电阻为 r，则 Uab结果又怎样？ （有的学生会