xx届高考数学不等式知识导航复习教案

1 / 23 XX 届高考数学不等式知识导航复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第七章 不等式 高考导航 考试要求重难点击命题展望 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式 (组 )的实际背景 . 2.一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 . 3.二元一次不等式 组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组； (2)了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 . 4.基本不等式： (a ， b0) (1)了解基本不等式的证明过程； 2 / 23 (2)会用基本不等式解决简单的最大 (小 )值问题 . 本章重点： 1.用不等式的性质比较大小； 2.简单不等式的解法； 3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题； 4.基本不等式的应用 . 本章难点： 1.含有参数不等式的解法； 2.不等式的应用； 3.线性规划的应用 . 不等式具有应用广泛、知识综合、能力复合等特点 .高考考查时更多的是与函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和综合，将不等式及其性质的运用渗透到这些问题的求解过程中进行考查 . 线性规划是数学应用的重要内容，高考中除考查线性规划问题的求解与应用外，也考查线性规划方法的迁移 . 知识网络 不等式的性质 典例精析 题型一 比较大小 【例 1】已知 a 0， a1 ， P loga(a3 a 1)， Q loga(a2 a 1)，试比较 P 与 Q 的大小 . 3 / 23 【解析】因为 a3 a 1 (a2 a 1) a2(a 1)， 当 a 1 时， a3 a 1 a2 a 1， P Q； 当 0 a 1 时， a3 a 1 a2 a 1， P Q； 综上所述， a 0， a1 时， P Q. 【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为： 作差； 变形； 判断符号； 得出结论 . 【变式训练 1】已知 m a 1a 2(a 2)， n x 2(x12) ，则 m， n 之间的大小关系为 ( ) n 【解 析】选 c.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递 . m a 1a 2 a 2 1a 2 22 2 4，而 n x 2(12) 2 4. 题型二 确定取值范围 【例 2】已知 2 2 ，求 2 ， 2的取值范围 . 【解析】因为 2 2 ，所以 42 4 ， 4 24 ， 两式相加得 2 2 2. 又 4 2 4 ，所以 2 2 2 ， 又因为 ，所以 2 0，所以 2 2 0， 4 / 23 综上 2 2 2 ， 2 2 0 为所求范围 . 【点拨】求含字母的数 (式 )的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质 . 【变式训练 2】已知函数 f(x) ax2 c，且 4f(1) 1， 1f(2)5 ，求 f(3)的取值范围 . 【解析】由已知 4f(1) a c 1， 1f(2) 4ac5. 令 f(3) 9a c (a c) (4a c)， 所以 故 f(3) 53(a c) 83(4a c) 1,20. 题型三 开放性问题 【例 3】已知三个不等式： ab 0； ca db； bc ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？ 【解析】能组成 3 个正确命题 .对不等式 作等价变形 :ca dbbc adab 0. (1) 由 ab 0 ， bc adbc adab 0 ，即 ； (2)由 ab 0， bc adab 0bc ad 0bcad，即 ； 5 / 23 (3) 由 bc ad 0 ， bc adab 0ab 0 ，即⇒ ;. 故可组成 3 个正确命题 . 【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形 . 【变式训练 3】 a、 b、 c、 d 均为实数，使不等式 ab cd 0和 ad bc都成立的一组值 (a， b， c， d)是 _(只要写出符合条件的一组即可 ). 【解析】写出一个等比式子，如 21 42 0.此时内项的积和外项的积相等，减小 42 的分子，把上式变成不等式 2132 0，此时不符合 ad bc 的条件，进行变换可得 21 3 2 0，此时 2 ( 2) 1( 3).故 (2,1， 3， 2)是符合要求的一组值 . 总结提高 1.不等式中有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质 .一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明 .要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条件推出与结论相反的结果 .在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系，要注意条件的弱化与加强，不可想当然 .如在应用 ab 0， a b1a1b 这一性质时，不可弱化为 a b1a 1b，也不可强化为 a b 01a 1b. 6 / 23 2.题设条件含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍 . 3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键 . 简单不等式的解法 典例精析 题型一 一元二次不等式的解法 【例 1】解下列不等式： (1)x2 2x 3 0； (2)已知 A x|3x2 7x 2 0， B x| 2x2 x 10 ，求 AB ， (RA)B. 【解析】 (1)方程两根为 x1 1， x2 3， 所以原不等式解集为 x|x 1 或 x 3. (2)因为 A x|13 x 2， RA x|x13 或 x2 ，B x|x 12 或 x1 ， 所以 AB x|x 12 或 x 13， (RA)B x|x 12 或 x2. 【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系 .对于 0 的不等式解7 / 23 集简称 “ 大于取两端，小于取中间 ”. 【变式训练 1】设函数 f(x)若 f( 4) f(0)， f( 2) 0，则关于 x 的不等式 f(x)1 的解集为 ( ) A.( ， 3 1， )B. 3， 1 c. 3， 1(0 ， )D. 3， ) 【解析】选 c.由已知对 x0 时 f(x) x2 bx c，且 f(4) f(0)，知其对称轴为 x 2，故 b2 2b4. 又 f( 2) 0，代入得 c 4，故 f(x) 分别解之取并集即得不等式解集为 3， 1(0 ， ). 题型二 解含参数的一元二次不等式问题 【例 2】解关于 x 的不等式 mx2 (m 2)x 2 0(mR). 【解析】当 m 0 时，原不等 式可化为 2x 2 0，即 x 1； 当 m0 时，可分为两种情况： (1)m 0 时，方程 mx2 (m 2)x 2 0 有两个根， x1 1，x2 2m. 所以不等式的解集为 x|x 1 或 x 2m； (2)m 0 时，原不等式可化为 mx2 (2 m)x 2 0， 其对应方程两根为 x1 1， x2 2m， x2 x1 2m ( 1) m 2m. 8 / 23 m 2 时， m 2 0， m 0，所以 x2 x1 0， x2 x1， 不等式的解集为 x| 1 x 2m； m 2 时， x2 x1 1， 原不等式 可化为 (x 1)2 0，解集为 ； 2 m 0 时， x2 x1 0，即 x2 x1， 不等式解集为 x|2m x 1. 综上所述： 当 m 2 时，解集为 x| 1 x 2m； 当 m 2 时，解集为 ； 当 2 m 0 时，解集为 x|2m x 1； 当 m 0 时，解集为 x|x 1； 当 m 0 时，解集为 x|x 1 或 x 2m. 【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根 的大小写出解集 . 【变式训练 2】解关于 x 的不等式 ax 1x 1 0. 【解析】原不等式等价于 (ax 1)(x 1) 0. 当 a 0 时，不等式的解集为 x|x 1； 当 a 0 时，不等式的解集为 x|x 1a 或 x 1； 当 1 a 0 时，不等式的解集为 x|1a x 1； 当 a 1 时，不等式的解集为 ； 当 a 1 时，不等式的解集为 x| 1 x 1a. 9 / 23 题型三 一元二次不等式与一元二次方程之间的联系 【例 3】已知 ax2 bx c 0 的解集为 x|1 x 3，求不等式 cx2 bx a 0 的解集 . 【解析】由于 ax2 bx c 0 的解集为 x|1 x 3，因此a 0， 且 ax2 bx c 0 的两根为 1、 3，则 ba 1 3， ca 13 ，即 ba 4， ca 3. 又 a 0，不等式 cx2 bx a 0可以化为 cax2 bax 1 0，即 3x2 4x 1 0， 解得 x 13 或 x 1. 【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根 . 【变式训练 3】 (XX 江西 )若不等式 9 x2 k(x 2) 2 的解集为区间 a， b，且 b a 2，则 k . 【解析】 2.作出函数 y 9 x2 和 y k(x 2) 2 的图象，函数 y 9 x2 的图象是一个半圆，函数 y k(x 2) 2 的图象是过定点 ( 2， 2)的一条动直线 .依题意，半圆在直线下方的区间长度为 2，则必有 a 1，即 1 是方程 9 x2 k(x 2) 2 的根，代入得 k 2. 总结提高 1.解一元二次不等式的一般步骤 : 10 / 23 (1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零； (2)计算相应的判别式； (3)当 0 时，求出相应的一元 二次方程的两根； (4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集 . 2.当含有参数时，需分类讨论 .分类标准往往根据需要而设定 .如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等 . 3.要注意三个 “ 二次 ” 之间的联系，重视数形结合思想的应用 . 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 典例精析 题型一 平面区域 【例 1】已知函数 f(x)的定义域为 2， ) ，且 f(4)f( 2) 1， f(x) 为 f(x)的导函数，函数 y f(x) 的图象如图所示， 则平面区域所围成的面积是 ( ) 【解析】选 B.由 f(x) 的图象可知， f(x)在 2,0上是减函数，在 0， ) 上是增函数 . 因为 f( 2) f(4) 1，所以当且仅当 x( 2,4)时，有f(x) f( 2) f(4) 1. 作出可行域如图所示，其围成的图形面积为 4. 11 / 23 【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 . 【变式训练 1】若 a0 ， b0 ，且当时，恒有 ax by1 ，则以 a， b 为坐标的点 P(a， b)所形成的 平面区域的面积是 () 2 【解析】选 c.当 a b 1 时，满足 x y1 ，且可知 0a1 ，0b1 ，所以点 P(a， b)所形成的平面区域为边长为 1 的正方形，所以面积为 1.本题关键是确定点所形成的区域形状 . 题型二 利用线性规划求最值 (1)z x 2y 4 的最大值； (2)z x2 y2 10y 25 的最小值； (3)z 2y 1x 1 的取值范围 . 【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标 A(1,3)，B(3,1)， c(7,9). (1)易知直 线 x 2y 4 z 过点 c 时， z 最大 . 所以 x 7， y 9 时， z 取最大值 21. (2)z x2 (y 5)2 表示可行域内任一点 (x， y)到定点m(0,5)的距离的平方， 过点 m 作直线 Ac 的垂线，易知垂足 N 在线段 Ac 上， 故 z 的最小值是 (|0 5 2|2)2 92. 12 / 23 (3)z 2y ( 12)x ( 1)表示可行域内任一点(x， y)与定点 Q( 1， 12)连线斜率的 2 倍 . 因为 kQA 74， kQB 38，所以 z 的取值范围为 34， 72. 【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可 行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键 . 【变式训练 2】已知函数 f(x) 13x3 ax2 bx 1(a， bR)在区间 1,3上是减函数，求 a b 的最小值 . 【解析】因为 f(x) x2 2ax b， f(x)在区间 1,3上是减函数 . 所以 f(x)0 在 1,3上恒成立 .则 作出点 (a， b)表示的平面区域 . 令 z a b，求出直线 2a b 1 0 与 6a b 9 0 的交点 A 的坐标为 ( 1,3). 当直线 z a b 过点 A( 1,3)时， z a b 取最小值 2. 题型三 线性规划的实际应用 【例 3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有 72m3，第二种有 56m3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料，第二种木料，可获利润 6 元，生产一个衣柜需要用第一种木料，第二种木13 / 23 料，可获利润 10 元 .木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？ 【解析】设圆桌生产的张数为 x，衣柜生产的个数为 y，所获利润为 z，则 z 6x 10y， 当直线 l： 6x 10y 0 平移到经过点 m(350,100)时， z 6x 10y 最大 . zmax 6350 10100 3100， 所以生产圆桌 350 张，衣柜 100 个可获得最大利润 3100 元 . 【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义 (如本题中 x0 ， y0) ，然后画出可行域，利用图形求解 . 【变式训练 3】某实验室需购某种化工原料至少 106 千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋 35 千克，价格为 140 元；另一种是每袋 24 千克，价格为 120 元 .在满足需要的条件下，最少要花费 元 . 【解析】 500.设需 35 千克的 x 袋， 24 千克的 y 袋，则目标函数 z 140x 120y，约束条件为当 x 1 时， y7124 ，即y 3，这时 zmin 140 1203 500. 总结提高 1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条件和目标函数是关键 . 14 / 23 2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域 . 3.若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点 . 4.实际问题的最优解要求是整 数解时，这时要对最优解 (非整数解 )进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找 . 基本不等式及应用 典例精析 题型一 利用基本不等式比较大小 【例 1】 (1)设 x， yR ，且 xy (x y) 1，则 ( ) y2(2 1) y2(2 1) y2(2 1) y(2 1)2 (2)已知 a， bR ，则 ab， a b2， a2 b22， 2aba b 的大小顺序是 . 【解析】 (1)选 A.由已知得 xy 1 (x y)，又 xy(x y2)2，所以 (x y2)21 (x y). 解得 x y2(2 1)或 x y2(1 2). 因为 x y 0，所以 x y2(2 1). (2)由 a b2ab 有 a b2ab ，即 a b2abab ，所以ab2aba b. 15 / 23 又 a b2 a2 2ab b242(a2 b2)4，所以 a2 b22a b2， 所以 a2 b22a b2ab2aba b. 【点拨】本题 (2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用 . 【变式训练 1】设 a b c，不等式 1a b 1b c a c恒成立，则 的取值范围是 . 【解析】 ( ， 4).因为 a b c，所以 a b 0， b c 0，a c 0. 而 (a c)(1a b 1b c) (a b) (b c)(1a b 1b c)4 ，所以 4. 题型二 利用基本不等式求最值 【例 2】 (1)已知 x 54，则函数 y 4x 2 14x 5 的最大值为 ； (2)已知二次函数 f(x) ax2 bx c 的导数 f(x) ， f(0) 0，对任意实数 x，有 f(x)0 ，则 f(1)f(0) 的最小值为( ) 【解析】 (1)因为 x 54，所以 5 4x 0. 所以 y 4x 2 14x 5 (5 4x 15 4x) 3 2 3 1. 当且仅当 5 4x 15 4x，即 x 1 时，等号成立 . 16 / 23 所以 x 1 时， ymax 1. (2)选 c.因为 f(x)0 ，所以 所以 cb24a. 又 f(x) 2ax b，所以 f(0) b 0， f(1)f(0) a b cb 1 a cb1 4a2 b24ab1 24a2b24ab 2， 当且仅当 c b24a 且 4a2 b2 时等号成立 . 【点拨】应用基本不等 式求最值时，常见的技巧是 “ 拆或凑 ” ，同时注意 “ 一正、二定、三相等 ” 这三个条件，避免出现错误 . 【变式训练 2】已知 x， a， b， y 成等差数列， x， c， d， y成等比数列，求 (a b)2cd 的取值范围 . 【解析】由等差数列、等比数列的性质得 a b x y， cd xy，所以 (a b)2cd (x y)2xy 2 xy yx， 当 yx 0 时， (a b)2cd4 ；当 yx 0 时， (a b)2cd0 ， 故 (a b)2cd 的取值范围是 ( ， 04 ， ). 题型三 应用基本不等式解实际应用问题 【例 3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6吨，每吨面粉的价格为 1800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元，购面粉每次需支付运费 900 元 . (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少 (所购面粉第二天才能使用 )； (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210 吨17 / 23 时，其价格可享受 9 折优惠 (即原价的 90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由 . 【解析】 (1)设该厂 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨，面粉的保管等其他费用为 36x 6(x 1) 62 6 1 9x(x 1). 设平均每天所支付的总费用为 y1，则 y1 1x9x(x 1) 900 61800 900x 9x 108092 10809 10989， 当且仅当 9x 900x，即 x 10 时，取等号 . 即该厂应 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少 . (2)若厂家利用此优惠条件，则至少应 35 天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每 x(x35) 天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为 y2，则 y2 1x9x(x 1) 900 61800 900x 9x 9729(x35). 因为 y2 9 900x2，当 x35 时， y2 0. 所以 y2 900x 9x 9729 在 35， ) 上是增函数 . 所以 x 35 时， y2 取最小值 704887. 由 704887 10989 知，该厂可以利用此优惠条件 . 【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的18 / 23 结构，再求最值 .当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理 . 【变式训练 3】已知 a 0， b 0，且 2a b 1，求 S 2ab 4a2 b2 的最大值 . 【解 析】因为 a 0， b 0,2a b 1， 所以 4a2 b2 (2a b)2 4ab 1 4ab， 且 1 2a b22ab ，即 ab24 ， ab18. 所以 S 2ab 4a2 b2 2ab (1 4ab) 2ab 4ab 12 12， 当且仅当 a 14， b 12 时，等号成立 . 总结提高 1.基本不等式的几种常见变形公式： ab(a b2)2a2 b22(a， bR) ； 2aba baba b2a2 b22(a 0， b 0). 注意不等式成立的条件及等号成立的条件 . 2.合理拆分 或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立 . 3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立 . 不等式的综合应用 典例精析 题型一 含参数的不等式问题 19 / 23 【例 1】若不等式组的解集中所含整数解只有 2，求 k 的取值范围 . 【解析】由 x2 x 2 0 有 x 1 或 x 2， 由 2x2 (5 2k)x 5k 0 有 (2x 5)(x k) 0. 因为 2 是原不等式组的解，所以 k 2. 由 (2x 5)(x k) 0 有 52 x k. 因为原不等式组的整数解只有 2，所以 2 k3 ，即3k 2， 故 k 的取值范围是 3,2). 【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁 . 【变式训练 1】不等式 ( 1)na 2 ( 1)n 1n 对任意 nN*恒成立，求实数 a 的取值范围 . 【解析】当 n 为奇数时， a 2 1n，即 a (2 1n). 而 (2 1n) 2，则 a 2； 当 n 为偶数时， a 2 1n，而 2 1n2 12 32，所以 a 32. 综上可得 2a 32. 【点拨】不等式中出现 了 ( 1)n 的时候，常常分 n 为奇数和偶数进行分类讨论 . 题型二 不等式在函数中的应用 【例 2】已知函数 f(x) 2x ax2 2 在区间 1,1上是增20 / 23 函数 . (1)求实数 a 的值组成的集合 A； (2)设 x1， x2 是关于 x 的方程 f(x) 1x 的两个相异实根，若对任意 aA 及 t 1,1，不等式 m2 tm 1|x1 x2|恒成立，求实数 m 的取值范围 . 【解析】 (1)f(x) 4 2ax 2x2(x2 2)2， 因为 f(x)在 1,1上是增函数，所以当 x 1,1时，f(x)0 恒成 立， 令 (x) x2 ax 2，即 x2 ax 20 恒成立 . 所以 A a| 1a1. (2)由 f(x) 1x 得 x2 ax 2 0. 设 x1， x2 是方程 x2 ax 2 0 的两个根，所以 x1 x2 a，x1x2 2. 从而 |x1 x2| (x1 x2)2 4x1x2 a2 8， 因为 a 1,1，所以 a2 83 ，即 |x1 x2|max 3. 不等式对任意 aA 及 t 1,1不等式恒成立，即 m2 tm 20 恒成立 . 设 g(t) m2 tm 2 mt m2 2，则 解得 m2 或 m 2. 故 m 的取值范围是 ( ， 22 ， ). 21 / 23 【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值 (最小值 )大于零 (或小于零 )，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了 . 【变式训练 2】设 a， b 0，且 ab 1，不等式 aa2 1 bb2 1 恒成立，则 的取值范围是 . 【解析】 1， ). 因为 ab 1，所以 aa2 1 bb2 1 2a b22ab 1，所以 1.