xx届高三数学综合法和分析法23

1 / 8 XX 届高三数学综合法和分析法 23 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 综合法和分析法 一、教学目标： （一）知识与技能： 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 （二）过程与方法 : 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力； （三）情感、态度与价值观： 通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点： 了解分析法和综合法的思考过程、特点 三、教学难点： 分析法和综合法的思考过程、特点 四、教学过程 : （一）导入新课： 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。 2 / 8 （二）推进新课： 1.综合法 在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如： 已知 a,b0,求证 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。 学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的 证明方法 设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义 证明 :因为， 所以。 因为， 所以。 因此。 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。 用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等 ,Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为： 综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知3 / 8 的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。 例 1、在 ABc 中 ,三个内角 A,B,c 的对边分别为 ,且 A,B,c成等差数列 ,成等比数列 ,求证 ABc 为等边三角形 . 分析：将 A,B,c 成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+c;A,B,c 为 ABc 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是 A+B+c=； a,b， c 成等比数列，转化为符号语言就是此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求于是，可以用余弦定理为工具进行证明 证明：由 A,B,c成等差数列，有 2B=A+c 因为 A,B,c为 ABc 的内角，所以 A+B+c= 由 ，得 B= 由 a,b， c 成等比数列，有 由余弦定理及 ，可得 再由 ，得 即， 因此 从而 A=c 由 ，得 A=B=c= 所以 ABc 为等边三角形 4 / 8 注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来 例 2、已知求证 分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明： 1)差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设 ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设 故原不等式得证。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。 2.分析法 证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使 Q 成立的充分条件 P1，为了证明 P1 成立，再去寻求 P1 成立的充分条件 P2，为了证明 P2成立，再去寻求 P2 成立的充分条件 P3， 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。 例如：基本不等式（ a0， b0）的证明就用了上述方法。 5 / 8 要证 ， 只需证 ， 只需证 ， 只需证 由于显然成立，因此原不等式成立。 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。 分析法可表示为： 分析法的特点是：执果索因 例 3、求证。 分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。 证明：因为都是正数，所以为了证明 ， 只需明 6 / 8 ， 展开得 ， 只需证 ， 因为成立，所以 成立。 在本例中，如果我们从 “21 25” 出发，逐步倒推回去，就可以用 综合法 证出结 论。但 由于我 们很难 想到从“2125” 入手，所以用综合法比较困难。 事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P 若由 P 可以推出 Q 成立，就可以证明结论成立下面来看一个例子 例 4、已知，且 求证：。 分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工 作可以从已知条件中消去。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由 2 一 2 得把7 / 8 与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数把结论转化为 ,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的 证明：因为，所以将 代入，可得 . 另一方面，要证 ， 即证， 即证 ， 即