xx届高考数学圆锥曲线定义应用4

1 / 5 XX 届高考数学圆锥曲线定义应用 4 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 圆锥曲线定义的应用 一、基本知识概要 1、知识精讲： 涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理； 涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。 椭圆的定义：点集 m=P|PF1|+|PF2|=2a， 2a |F1F2|； 双曲线的定义：点集 m=P| |PF1|-|PF2| =2a， 的点的轨迹。 抛物线的定义：到一个定点的距离与到一条得直线的距离相等的点 的轨迹 统一定义： m=P|， 0 e 1 为椭圆， e1 为双曲线， e 1 为抛物线 重点、难点：培养运用定义解题的意识 2、思维方式：等价转换思想，数形结合 特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系 二、例题选讲 例 1、已知两个定圆 o1 和 o2，它们的半径分别为 1 和 2，且 |o1o2|=4，动圆 m 与圆 o1内切，又与圆 o2外切，建立适当的坐标系，求动圆心 m 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲2 / 5 线。 解：以 o1o2的中点 o 为原点， o1o2所在直线为轴建立平面直角坐标系。由 |o1o2|=4 有 o1（ -2， 0） ， o2（ 2， 0）。设动圆的半径为 r。由动圆 m 与圆 o1内切有 |mo1|=|r-1|.由动圆m 与圆 o2 内切有 |mo2|=r+2 。 |mo1|+|mo2|=3 或|mo1|-|mo2|=-3,|o1o2|=4|mo1| -|mo2|=-3m 的轨迹是以 o1、 o2 为焦点，长轴为 3 的双曲线的左支。所以 m 的轨迹方程为（ xb0）的两焦点， P是椭圆上任一点 ,从任一焦点引 F1PF2 的外角平分线的垂线，垂足为 Q 的轨迹为（） A圆 B椭圆 c双曲线 D抛物线 延长垂线 F1Q交 F2P的延长线于点 A 等腰三角形 APF1中， 选 A 例：已知双曲线（ a， b），为双曲线上任一点，F1PF2=, 求 F1PF2 的面积 解：在 F1PF2 中，由三角形面积公式和余弦定理得F1PF2 sin(2c)2 2+ 2-2 cos 由双曲线的定义可得 -3 / 5 =2a,即 2+ 2-2 =4a2 由 得 = 将 代入得 F1PF2 b2=b2cot,所以双曲线的焦点三角形的面积为 b2cot 思维点拔 焦点三角形中，通常用定义和正余弦定理 例：已知（，）为一定点，为双曲线的右焦点，在双曲线右支上移动，当最小时，求点的坐标 解： 过作准线于点，则， 当且公当、三点共线时，最小。此时（，）。 思维点拔 距离和差最值问题，常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系 .12数量关系用定义来进行转换 变式：设（ x,y）是椭圆（ ab0）上一点，、为椭圆的两焦点，求 的最大值和最小值。 解：由椭圆第二定义知 a+ex, 2 a-ex,则 =a2-e2x2,而 0x2a2,所以 的最大值为 a2，最小值为 b2。 例 4过抛物线 y2 2px 的焦点 F 任作一条直线 m，交这抛4 / 5 物线于 P1、 P2两点，求证：以 P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切 分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷 证明：如图 2-17设 P1P2 的中点为 P0，过 P1、 P0、 P2 分别向准线 l 引垂线 P1Q1， P0Q0， P2Q2，垂足为 Q1、 Q0、 Q2，则 P1F P1Q1， P2F P2Q2 P1P2 P1F P2F P1Q1 P2Q2 2 P0Q0 所以 P0Q0 是以 P1P2 为直径的圆 P0 的半径，且 P0Q0l ，因而圆 P0和准线 l 相切 思维点拔 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交以上结论均可用第二定义证明之 变式：求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆相切 取 F1P的中点为 o1，连结 o1o，只须证明：以 F1P 为直径的圆与实轴 A1A2为直径的圆内切 5 / 5 在 PF1F2 中， o1o为 PF1F2 的中位线 故以双曲线的任意焦半径为直径的圆， 与以实轴为直径的圆内切 例 5、求过定点（ 1,2），以 x 轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程。 解：设下顶点为 A(x,y)，由题意知 x 轴为椭圆的下准线，设下焦点为 F(x0,y0) 则。由椭圆定义 将代入即可得椭圆方程为： 三、课堂小结 1、圆锥曲线的定义