xx届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案

1 / 14 XX 届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第二讲三角变换与解三角形 【最新考纲透析】 1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。 2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。 3能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 4能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括 导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。 5掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 6能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。 【核心要点突破】 要点考向 1：三角变换及求值 2 / 14 考情聚焦： 1利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。 2该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。 3该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。 考向链接： 1在涉及两角和与 差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形 （ 1）； （ 2）角的变换； （ 3）。 2利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型： （ 1） “ 给角求值 ” ，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值； （ 2） “ 给值求值 ” ，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值； （ 3） “ 给值求角 ” ，即给出三角函数值，求符合条件的角。 例 1：已知向量 ,且 () 求 tanA的值； () 求函数 R)的值域 解析：（ ）由题意得 mn=sinA-2cosA=0, 3 / 14 因为 cosA0, 所以 tanA=2. （ ）由（ ）知 tanA=2得 因为 xR,所以 .当时， f(x)有最大值， 当 sinx=-1 时， f(x)有最小值 -3 所以所求函数 f(x)的值域是 要点考向 2：正、余弦定理的应用 考情聚焦： 1利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近 3 年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。 2该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。 3多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。 考 向链接： 1在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意 “ 三统一 ” ，即 “ 统一角、统一函数、统一结构 ” ，是使问题获得解决的突破口。 2在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角4 / 14 不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往 造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。 例 2：（ XX辽宁高考理科 17）在 ABc 中，a,b,c分别为内角 A,B,c的对边，且 （ ）求 A 的大小； （ ）求的最大值 . 【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。 【思路点拨】（ I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角 （ II）由（ I）知角 c 60 -B 代入 sinB+sinc 中，看作关于角 B 的函数，进而求出最值 【规范解答】（ ）由已知，根据正弦定理得 即 由余弦定理得 故， A=120 （ ）由（ ）得： 故当 B 30 时， sinB+sinc 取得最大值 1。 【方法技巧】 5 / 14 (1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用 a 替换sinA，用 b 替换 sinB,用 c 替换 sinc。 sinA,sinB,sinc 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。 (2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使 用。象本例中 B+c 60 要点考向 3：三角函数的实际应用 考情聚焦： 1有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。 2该类问题以实际问题为背景，其建模后为解三角形问题，与三角函数及三角变换等知识交汇。 3多以解答题的形式出现，题目不会太难。 例 3：（ XX江苏高考 7）某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位： m），如示意图，垂直放置的标杆Bc的高度 h=4m，仰角 ABE= ， ADE= 。 (1)该小组已测得一组、的值，算出了 tan=， tan=，请据此算出 H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位： m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时， -最大？ 【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 6 / 14 【思路点拨】（ 1）分别利用表示 AB、 AD、 BD，然后利用AD AB=DB 求解； （ 2）利用基本不等式求解 . 【规范解答】（ 1），同理：，。 AD AB=DB，故得，解得：。 因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。 （ 2）由题设知，得， ，（当且仅当时， 取等号） 故当时，最大。 因为，则，由的单调性可知：当时， -最大。 故所求的是 m。 【高考真题探究】 1（ XX福建高考文科 2）计算的结果等于（） 【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。 【思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。 【规范解答】选 B，。 【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形7 / 14 公式，才能进行灵活的恒等变换。如倍角公式：，的逆用公式为 “ 降幂公式 ” ，即为，在三角函数的 恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。 2（ XX 海南宁夏高考理科 T16）在中， D 为边 Bc 上一点，BD=Dc,=120 ， AD=2，若的面积为，则 =. 【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用 . 【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解 . 【规范解答】设，则，由的面积为可知 ，可得，由余弦定理可知 ，所以 ，所以 由，及 可求得 【答案】 60 【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解 . 3（ XX天津高考理科 7）在 ABc 中，内角 A,B,c的对边分别是 a,b,c，若，则 A=() （ A）（ B）（ c）（ D） 【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。 8 / 14 【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。 【规范解答】选 A，根据正弦定理及得： ， 。 【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。 4（ XX北京高考理科 0）在 ABc 中，若 b=1， c=，则 a=。 【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对利用余弦定理，通过解方程可解出。 【规范解答】由余弦定理得，即，解得或（舍）。 【答案】 1 【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。 5（ XX天津高考理科 7）已知函数 （ ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； （ ）若，求的值。 【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基 本运算能力。 【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角， 9 / 14 【规范解答】（ 1）由，得 所以函数的最小正周期为 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又 ，所以函数在区间上的最大值为 2，最小值为 -1 （ ）由（ 1）可知又因为，所以 由，得从而 所以 6（ XX陕西高考理科 7）如图， A， B 是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45 ， B 点北偏西60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60 且与 B 点相距海里的 c 点的救援 船立即即前往营救，其航行速度为 30海里 /小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？ 【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理，考查了解决三角形问题的能力，属于中档题。 【思路点拨】解三角形 【规范解答】 【跟踪模拟训练】 10 / 14 一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 6 分，总分 36分） 1（ XX 届 山东省实验高三一诊（文）已知点在第四象限 ,则角的终边在 () A第一象限 B第二象限 c第三象限 D第四象限 2若，则的值为 () A B c D 3函数 的最小正周期 T=（） （ A） 2 （ B） （ c）（ D） 4若函数 y=f（ x）同时具有下列三个性质：（ 1）最小正周期为 ，（ 2）图象关于直线对称；（ 3）在区间上是增函数，则 y=f（ x）的解析式可以是（） A B c D 5（ XX届 广东高三六校联考（理）如图， RtABc中， AcBc ， D 在边 Ac上，已知 Bc 2， cD 1， ABD 45 ，则 AD（） A 2B 5c 4D 1 二、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，总分18分） 7在中，角，所对的边分 别是，若，且，则的面积等于_ 11 / 14 8若定义在区间上的函数对上的任意个值， ，总满足 ，则称为上的凸函数已知函数在区间上是 “ 凸函数 ” ，则在 中，的最大值是 _ 9. 已知 ABc 的三个内角 A ， B ， c 满足cosA(sinB+cosB)+cosc=0,则 A=_. 三、解答题（ 10、 11题每小题 15分， 12题 16分，总分 46分） 10（本小题满分 12分）已知 （ 1）求； （ 2）求的值 11已知函数的最小正周期为 . （ 1）求在区间上的最大值和最小值； （ 2）求 函数图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标 . 12在锐角 ABc 中， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 c 所对的边，且 () 确定角 c 的大小 （ ）若 c ,且 ABc 的面积为 ,求 a b 的值。 参考答案 1 c 2 c 3 B 4 c 12 / 14 5 B 6【解析】选 A.依题意，画出图形 . cAo 是等腰三角形， Dco=coA= -2. 在 RtcoD 中， cD=cocosDco =cos（ -2 ） =-cos2 ， 过 o 作 oHAc 于 H 点，则 cA=2AH=2oAcos=2cos. f()=Ac+cD=2cos -cos2. 7 8 9【解析】 cosA(sinB+cosB)+cosc=0 ， cosAsinB+cosAcosB+cos -(A+B) =0， cosAsinB+cosAcosB -cos(A+B)=0， cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0， 即 cosAsinB+sinAsinB=0. 又 sinB0,cosA+