xx届高考数学备考复习：函数、基本初等函数的图象与性质

1 / 19 XX 届高考数学备考复习：函数、基本初等函数的图象与性质 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲函数、基本初等函数的图象与性质 【最新考纲透析】 1函数 （ 1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。 （ 2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。 （ 3）了解简单的分段函数，并能简单应用。 （ 4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意 义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。 （ 5）会运用函数图象理解和研究函数的性质。 2指数函数 （ 1）了解指数函数模型的实际背景。 （ 2）理解有理指数幂的含义，了解褛指数幂的意义，掌握幂的运算。 （ 3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。 2 / 19 （ 4）知道指数函数是一类重要的函数模型。 3对数函数 （ 1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。 （ 2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单 调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。 （ 3）知道对数函数是一类重要的函数模型。 （ 4）了解指数函数与对数函数互为反函数（）。 4幂函数 （ 1）了解幂函数的概念 （ 2）结合函数的图象了解它们的变化情况。 【核心要点突破】 要点考向一：基本初等函数问题 考情聚焦： 1一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数，在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。 2常与函数的性质、方程、不等式综合命题，多以选择、填空题的形式出现，属容易题。 考向链 接： 1一元二次、二次函数及指数 对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键，同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用。 3 / 19 2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。 例 1：（ XX全国高考卷 文科 4）函数y=1+ln（ x-1） (x1)的反函数是 （ A） y=-1(x0)(B)） y=+1(x0) (c)y=-1(xR)(D） y=+1(xR) 【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。 【思路点拨】运用求反函数的方法解。 【规范解答】选 D， y=1+ln（ x-1）， ln（ x-1） =y-1,x-1=e,所以反函数为 y=+1(xR) 【方法技巧】求反函数的步骤：（ 1）反解 x,即用 y 表示 x. (2)把 x、 y 互换， （ 3）写出反函数的定义域，即原函数的值域。本题注意指数式与对数式的互化。 例 2：（ XX天津高考文科 6）设（） (A)acb(B)bca(c)abc(D)baf(-a),则实数 a 的取值范围是 () （ A）（ -1， 0） （ 0， 1）（ B）（ - ， -1） （ 1,+ ） （ c）（ -1， 0） （ 1,+ ）（ D）（ - ， -1） （ 0,1） 5 / 19 【命题立意】考查对数函数的图像和性质。 【思路点拨】对 a 进行讨论，通过图像分析 f(a)f(-a)对应的实数 a 的范围。 【规范解答】选 c，当 a0，即 -af(-a)知，在同一个坐标系中画出和函数的图像，由图像可得a1；当 a0 时，同理可 得 -1a0，综上可得 a 的取值范围是（ -1， 0） （ 1,+ ）。 要点考向三：函数图象问题 考情聚焦： 1.函数图象作为高中数学的一个 “ 重头戏 ” ，是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，已成为各省市高考命题的一个热点。 2.常以几类初等函数的图象为基础，结合函数的性质综合考查，多以选择、填空题的形式出现。 考向链接： 1.基本初等函数的图象和性质，函数图象的画法以及图象的三种变换。 2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系、结合图象研究。 3.在研究一些陌 生的方程和不等式时常用数形结合法求解。 例 4：（ XX山东高考理科 11）函数的图象大致是（） 【命题立意】本题考查函数的图象，函数的基础知识以及数6 / 19 形结合的思维能力 , 考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力。 【思路点拨】利用特殊值对图象进行估计分析 . 【规范解答】选 A，因为当 x 2 或 4 时，所以排除 B、 c；当 x -2 时， 2x-，故排除 D，所以选 A. 要点考向四：函数性质问题 考情聚焦：该考向是各省市高考命题大做文章的一个重点。常与多个知识点交汇命题， 且常考常新，既有小题，也有大题，主要从以下三个方面考查： 1.单调性（区间）问题，热点有：（ 1）确定函数单调性（区间）；（ 2）应用函数单调性求函数值域（最值）、比较大小、求参数的取值范围、解（或证明）不等式。 2.奇偶性、周期性、对称性的确定与应用。 3.最值（值域）问题，考题常与函数的其他性质、图象、导数、基本不等式等综合。 例 5：（ XX辽宁文数）（ 21）（本小题满分 12分） 已知函数 . （ ）讨论函数的单调性； （ ）设，证明：对任意， . 解： ()f(x) 的定义域为 (0,+)， . 当 a0 时， 0，故 f(x)在 (0,+)单调增加； 当 a 1 时， 0,故 f(x)在 (0,+)单调减少； 7 / 19 当 1 a 0 时，令 0,解得 x=.当 x(0,) 时 , 0； x( ， +)时， 0,故 f(x)在（ 0,）单调增加，在（， +）单调减少 . () 不妨假设 x1x2. 由于 a 2,故 f(x)在（ 0， +）单调减少 . 所以等价于 4x1 4x2, 即 f(x2)+4x2f(x1)+4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则 +4 . 于是 0. 从而 g(x)在（ 0， +）单调减少，故 g(x1)g(x2) ， 即 f(x1)+4x1f(x2)+4x2 ，故对任意 x1,x2(0,+) ， . 【高考真题探究】 1.（ XX上海高考理科 8）对任意不等于 1的正数 a，函数 f(x)=的反函数的图像都经过点 P，则点 P 的坐标是 【命题立意】本题考查对数函数的性质及反函数的有关性质 【思路点拨】根据对数函数的性质找到原函数过的定点，再由反函数的性质找到关于直线 y=x 的对称点 【规范解答】因为函数的图像过定点，由反函数的性质可8 / 19 知，反函数的图像过定点 2.（ XX全国 理科 8）设， ,则（） AabcBbcaccabDcba 【命题立意】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用以及数形结合的数学思想 . 【思路点拨】利用换底公式，将，变成以 2 为底的对数 .根据对数函数 和指数函数的图像进行分析 . 【规范解答】选 c. a=2=,b=In2=,而 ,所以 ab, c=,而 ,所以，综上 cab. 3.（ XX重庆高考理科 5）函数的图象（） A关于原点对称 B关于直线 y=x 对称 c关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称 【命题立意】本小题考查函数的对称性，考查奇函数、偶函数的概念，考查运算求解的能力，考查数形结合的思想方法 . 【思路点拨】根据选项，可以判断函数是否为奇函数、偶函数，即判断与的关系；如果不是，再判断选项 B， c 是否正确 . 【规范解答】选 D 【解法 1】 9 / 19 ，是偶函数，图象关于 y 轴对称； 【解法 2】 ，有，所以函数的图象关于轴对称 . 【方法技巧】（ 1）指数运算在变形整理中起其重要作用； （ 2）分式加法的逆向运算是本题的变形技巧 . 4.（ XX北京高考文科 6）给定函数 ， ， ， ，其中在区间（ 0， 1）上单调递减的函数序号是 （ A） （ B） （ c） （ D） 【命题立意】考查几类基本初等函数的单调性及简单的图像变换。 【思路点拨】画出各函数的图象，再判断在（ 0， 1）上的单调性。 【规范解答】选 B。各函数在（ 0， 1）上的单调性： 增函数； 减函数； 减函数； 增函数。 （ XX浙江高考理科 10） 设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是（） （ A） 4（ B） 6（ c） 8（ D） 10 【命题立意】本题考查对数型函数的图象，集合元素的表示，考查学生对数运算能力和数形结合的思想。 【思路点拨】把 Q 中的点表示在坐标系中，逐个分析 P 中的每一个函数的图像，找出恰过两点的函数。 10 / 19 【规范解答】选 B。 Q 中有 12 个点，表示在坐标系中； P 中共有 12 个函数，逐个分析 P 中的每一个函数的图像，可知恰过两个点的函数有， ，共 6 个。 6.（ XX江苏高考 11）已知函数 ,则满足不等式的 x 的取值范围是 _。 【命题立意】本题考查分段函数的图像、单调性以及数形结合和化归转化的思想。 【思路点拨】结合函数的图像以及的条件，可以得出与之间的大小关系，进而求解 x 的取值范围 . 【规范解答】画出 ,的图象， 由图像可知，若， 则，即，得 【答案】 【跟踪模拟训练】 一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 6 分，总分 36分） 1设函数 f（ x） =log2x 的反函数为 y=g（ x），若，则 a 等于（ ） A -2B c D 2 2.已知一容器中有 A、 B 两种菌，且在任何时刻 A， B 两种菌的个数乘积为定值 1010，为了简单起见，科学家用来记录 A11 / 19 菌个数的资料，其中为 A 菌的个数，则下列判断中正确的个数为（） 若今天的 PA 值比昨天的 PA值增加 1，则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数多了 10个 假设科学家将 B 菌的个数控制为 5 万个，则此时 A 0B 1c 2D 3 3.函数与在同一坐标系的图象为（） 4.类比 “ 两角和与差的正余弦公式 ” 的形式，对于给定的两个函数，其中，且，下面正确的运算公式是 （） ； ； ； （ A） （ B） （ c） （ D） 5.下列函数中，满足 “ 对任意，（ 0，），当 的是 () A =B.=c.=D (x)=，则（） （ A） -23（ B） 11（ c） 19（ D） 24 二、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，总分 18分） 7已知函数，正实数 m， n 满足，且，若在区间上的最大值为 2，则 12 / 19 8已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 . 9给出下列四个命题： 函数在区间上存在零点 若 =0，则函数在取得极值； -1，则函数的值域为 R； “” 是 “ 函数在定义域上是奇函数 ” 的充分不必要条件。 其中真命题是（把你认为正确的命题序号都填在横线上） 三、解答题（ 10、 11题每小题 15分， 12题 16分，总分 46分） 10据调查，安徽某地区有 100万从事传统农业的农民，人均年收入 3000元 .为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作 .据估计，如果有 x(x 0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高 2x%，而进入企业 工作的农民人均年收入为3000a元（ a 0为常数） . （ I）在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求 x 的取值范围； （ II）在（ I）的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这 100 万农民的人均年收入达到最大？ 13 / 19 11已知函数 f(x)=lnx-(aR). (1)当 a -e,-1时，试讨论 f(x)在 1,e上的单调性； (2)若 f(x)0时，若对任意实数 x (-,0) ，恒有 g(x)f(t)成立，求实数 a 的取值范围 . 参考答案 1.【解析】选 c 因为函数 f（ x） =log2x 的反函数为所以由 得 2.【解析】选 B 当时，故 错误；若若故 错误； 设 B 菌的个数为 所以，故 正确。 3.【解析】选 A 因为，所以函数的图像在函数图像的下方，排除 c、 D； ，排除 B，故选 A。 14 / 19 4.【解析】选 D 因为， 同理可证其它 3 个式子也成立。 5.【解析】选 A 依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得 A 正确。 6.【解析】选 D 7.【解析】由已知得 所以在区间上的最大值为故 答案： 8.【解析】，函数在 R 上递减。由得： mn 答案： mn 9.【解析】 正确：显然在上是增函数，且 所以函数在区间上存在零点； 不正确，例 ； 正确： 对于 ：若，则又的定义域为 R，所以 “ 函数在定义域上是奇函数 ” ；若函数在定义域上是奇函数，则恒成立。因为， 所以恒成立， 所以，故 “ 函数在定义域上是奇函数 ” 推不出 “” ， 所以 正确。综上正确的为 。 答案： 10.【解】（ I）据题意，（ 100 x） 3000（ 1+2x%）1003000 ， 15 / 19 即 x2 50x0 ，解得 0x50. 又 x 0，故 x 的取值范围是 (0， 50. （ II）设这 100万农民的人均年收入为 y 元，则 y 35x 25(a 1)2 3000 475(a 1)2(0x50). （ 1）若 0 25(a 1)50 ，即 0 a1 ，则当 x 25(a 1)时， y 取最大值； （ 2）若 25(a 1) 50，即 a 1，则当 x 50时， y 取最大值 . 答：当 0 a1 时，安排 25(a 1)万人进入加工企业工作，当 a 1 时，安排 50万人进入企业工作，才能使这 100万人的人均年收入最大 . 11.【解析】 (1)f(x)的定义域为 (0,+) ， 当 -ea -1 时， 1 -ae, 令 f(x)=0 得 x=-a,于是当1x -a 时， f(x)0,f(x) 在 1,-a上为减函数 , 当 -axe 时， f(x)0, f(x) 在 -a,e上为增函数 . 综上可知，当 -ea -1 时 f(x)在 1,-a上为减函数，在 -a,e上为增函数 . (2)由 f(x)x 得 lnx-xlnx -x2. 16 / 19 令 g(x)=xlnx-x2, 要使 axlnx-x2在 1,+) 上恒成立， 只需 ag(x)max, g(x)=lnx -2x+1, 令 (x)=lnx -2x+1, 则 (x)= -2, x1,(x)0,(x) 在 1,+) 上单调递减，(x)(1)= -10,因此 g(x)0, 故 g(x)在 1,+) 上单调递减，则 g(x)g(1)= -1, a 的取值范围是 (-1,+). 12.【解析】（ 1）由题设可得 f(x)+f(-x)=2,即 +=2，解得 . (2) 当 x0 且g(x)+g(-x)=2,g(x)=2 -g(-x)=-x2+ax+1. (3)由（ 1）得 f(t)=t+1(t0),其最小值为 f(1)=3. g(x)=-x2+ax+1=-(x-a/2)2+1+, 当 当 【备课资源】 1.已知函数，若，则实数 =（） （ A） -1（ B）（ c） -1 或（ D） 1 或 (x)=则 f(f(2)的值为 () (A)0(B)1(c)2(D)3 17 / 19 3.设 a=,b=log3,c=30, 则 a,b,c 的大小关系是 () (A)abc(B)bca (c)bac(D)acb 4.已知函数 y=f(x)与 y=ex互为反函数，函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称，若 g(a)=1,则实数 a 的值为() 5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若 f(x)的最小正周期为 3， f(1)0， f(2)=，则 m 的取值范围是（） （ A）（ B）（ c）（ D） 6.如图是函数的图象，则（） （ A）（ B） （ c）（ D） 7.函数 y=f(x)的图象如图所示，则函数的图象大致是（） 8.若定义在 R 上 的函数 g(x)满足：对任意 x1,x2 有g(x1