xx届高考数学备考复习：椭圆、双曲线、抛物线（含轨迹问题）

1 / 23 XX 届高考数学备考复习：椭圆、双曲线、抛物线（含轨迹问题） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 专题五：解析几何 第二讲椭圆、双曲线、抛物线（含轨迹问题） 【最新考纲透析】 1圆锥曲线 （ 1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 （ 2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 （ 3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。 （ 4）了解圆锥曲线的简单应用。 （ 5）理解数形结合的思想。 2曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。 【核心要点突破】 要点考向 1：圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程 考情聚焦： 1圆锥曲线的定义、几何性质及标准方程是每年必考内容，虽然大纲降低了对双曲线的要求，但在选择题2 / 23 中仍然考查双曲线。 2可单独考查，也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查。 3既可以以小题的形式考查（属中、低档题），也可以以解答题形式考查（属于中、高档题）。 考向链接： 1已知圆锥曲线上一点及焦点，首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解。 2求圆锥 曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法。 3求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的等量关系，然后把 b 用 a、 c 代换，求的值。 4在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关。 例 1：（ XX安徽高考理科 19）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。 (1)求椭圆的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程； (3)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。 【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标 准方程，椭圆的简单性质，点关于直线的对称性等知识，考查考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平，探究意识，创新意识和综合运算求解能力 3 / 23 【思路点拨】（ 1）设出椭圆的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解； （ 2）根据角平分线的性质求出直线的斜率或直线上的一个点的坐标，进而求得直线的方程； （ 3）先假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点，在此基础之上进行推理运算，求解此两点，根据推理结果做出判断。 【规范解答】（ 1）设椭圆的方程为（）， 由题意，又，解得： 椭圆的方程为 （ 2）方法 1：由（ 1）问得，又，易得为直角三角形，其中 设的角平分线所在直线与 x 轴交于点，根据角平线定理可知：，可得， 直线的方程为：，即。 方法 2：由（ 1）问得，又， ， ， ，直线的方程为：，即。 （ 3）假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点、， 令、，且的中点为 ， 又，两式相减得 : 4 / 23 ,即（ 3）， 又在直线上，（ 4） 由（ 3）（ 4）解得：， 所以点与点是同一点，这与假设矛盾， 故椭圆上不存在关于直线对称的相异两点。 【方法技巧】 1、求圆锥曲线的方程，通常是利用待定系数法先设出曲 线的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解； . 2、利用向量表示出已知条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算； 3、对于存在性问题，其常规解法是先假设命题存在，再根据题设条件进行的推理运算，若能推得符合题意的结论，则存在性成立，否则，存在性不成立。 要点考向 2：最值或定值问题 考情聚焦： 1以圆锥曲线为载体的最值或定值问题在高考题中几乎每年都涉及。 2可与函数、不等式等知识交汇，体现知识间的联系。 3多以解答题形式出现，属中高档题目。 考向链接：解析几何中的最值问题涉及的知识面较 广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种： （ 1）利用函数，尤其是二次函数求最值； （ 2）利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值； 5 / 23 （ 3）利用不等式，尤其是均值不等式求最值； （ 4）利用数形结合，尤其是切线的性质求最值。 例 2：（ XX北京高考文科 9）已知椭圆 c的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线与椭圆 c 交与不同的两点 m， N，以线段 mN为直径作圆 P,圆心为 P. （ ）求椭圆 c 的方程； （ ）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标； （ ）设 Q（ x,y）是 圆 P 上的动点，当变化时，求 y 的最大值 . 【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。要求学生掌握椭圆标准中的关系，离心率 .直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解 .第（ ）问中最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想 . 【思路点拨】由焦点可求出，再利用离心率可求出。直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离 . 【规范解答】（ ）因为，且，所以 所以椭圆 c 的方程为 . （ ）由题意知 由得 所以圆 P 的半径为 . 由，解得 .所以点 P 的坐标是（ 0，） . 6 / 23 （ ）由（ ）知，圆 P 的方程 .因为点在圆 P 上。所以由图可知。设，则 当，即，且，取最大值 2. 【方法技巧】（ 1）直线与圆的位置关系：时相离；时相切；时相交； （ 2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧 . 要点考向 3：求参数范围问题 考情聚焦： 1与圆锥曲线有关的求参数范围问题在高考题中经常出现。 2多在解答题中出现，属中高档题。 例 3：（ XX山东高考理科 21）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为 .一 等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和 . （ 1）求椭圆和双曲线的标准方程； （ 2）设直线、的斜率分别为、，证明； （ 3）是否存在常数，使得恒成立？ 若存在，求的值；若不存在，请说明理由 . 【命题立意】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲7 / 23 线 的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试 题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（ 3） 是一个开放性问题，考查了考生的观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力 . 【思路点拨】 (1)根据离心率和周长构造含有的方程组，可求出椭圆的方程，再根据双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点可求双曲线的方程 ;（ 2）设出点 P 的坐标，再将用点 P 的坐标表示，并利用点 P 在双曲线上进行化简；（ 3）设直线 AB 的斜率为，则由（ 2）的结果可将直线 cD 的斜率用表示，然后设出直线 AB 与 cD的方程，利用弦长公式将与表示出来，最后将用表示出来，通过化简可判断是否为常数 . 【规范解答】（ 1）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（， 0），因为双 曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 . （ 2）设点 P（，），则 =， =，所以 = ，又点 P（，）在双曲线上，所以有，即，所以 =1. （ 3）假设存在常数，使得恒成立，则由（ 2）知，所以设直线 AB的方程为，则直线 cD的方程为， 8 / 23 由方程组消 y 得：，设， 则由韦达定理得： 所以 |AB|=，同理可得 |cD|=， 又因为，所以有 =+ =，所以存在常数，使得恒成立。 【方法技巧】解析几何中的存在判断型问题 1、基本特征：要判断在某些确定条件下的某一数学对象 (数值 、图形 )是否存在或某一结论和参数无关 . 2、基本策略：通常假定题中的数学对象存在 (或结论成立 )，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论 .其中反证法在解题中起着重要的作用 .或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的 . 注：与圆锥曲线的参数问题是高考考查的热点问题。解决这类问题常用以下方法： （ 1）根据题意建立参数的不等关系式，通过解不等式求出范围； （ 2）用其他变量表示该参数，建立函数关系，然后利用求值域的相关方法求解； （ 3）建立某变量的一 元二次方程，利用判别式求该参数的范围； 9 / 23 （ 4）研究该参数所对应几何意义，利用数形结合法求解。 要点考向 4：圆锥曲线综合问题 考情聚焦： 1圆锥曲线综合问题，特别是直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线与向量相结合的题目是新课标高考重点考查的内容。 2呈现方式可以是选择题、填空题，属中档题，也可以是解答题，属中高档题。 例 4：（ XX江苏高考 8）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为 A、 B，右焦点为 F。设过点 T（）的直线 TA、 TB 与此椭圆分别交于点 m、，其中m0,。 （ 1）设动点 P 满足 ,求点 P 的轨迹； （ 2）设，求点 T 的坐标； （ 3）设 ,求证：直线 mN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m无关）。 【命题立意】本题主要考查求曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程及其相关的基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。 【思路点拨】（ 1）设出 P 点的坐标，然后代入，化简即可；(2)点 T 为直线 mT 和 NT 的交点；（ 3）联立直线 mAT、直线NBT和椭圆方程，求出 m 和 N 的坐标，从而求出直线 mN的方程 ,进而求证结论 . 10 / 23 【规范解答】（ 1）设点 P（ x， y），则： F（ 2， 0）、 B（ 3， 0）、A（ -3， 0）。 由，得化简得。 故所求点 P 的轨迹为直线。 （ 2）将分别代入椭圆方程，以及得： m（ 2，）、 N（，） 直线 mTA方程为：，即， 直线 NTB方程为：，即。 联立方程组，解得：， 所以点 T 的坐标为。 （ 3）点 T 的坐标为 直线 mTA方程为：，即， 直线 NTB方程为：，即。 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到， 解得：、。 方法一：当时，直线 mN方程为： 令，解得：。此时必过点 D（ 1， 0）； 当时，直线 mN 方程为：，与 x 轴交点为 D（ 1， 0）。 所以直线 mN必过 x 轴上的一定点 D（ 1， 0）。 方法二：若，则由及，得， 此时直线 mN的方程为，过点 D（ 1， 0）。 若，则，直线 mD的斜率， 直线 ND的斜率，得，所以直线 mN过 D 点。 11 / 23 因此，直线 mN 必过轴上的点（ 1， 0）。 【方法技巧】由于定点、定值是变化中得不变量，引进参数表述这些量，不变的量就是与参数无关的量，通过研究何时变化的量与参数无关，找到定点或定值的方法叫做参数法，其解题的关键是合适的参数表示变化的量 . 当要解决动直线过定点问题时，可以根据确定直线的条件建立直线系方程，通过该直线过定点所满足的条件确定 所要求的定点坐标 . 【高考真题探究】 1（ XX福建高考文科 1）若点 o 和点 F分别为椭圆的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为（） 【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值 . 【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设 P 为动点，依题意写出的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解 . 【规范解答】选 c，设，则，又因为 ，又，所以 . 2（ XX安徽高考理科 5）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为（） 12 / 23 A、 B、 c、 D、 【命题立意】本题主要考查双曲线方程及其中系数的几何意义，考查考生对双曲线方程理解认知水平 【思路点拨】方程化为标准形式确定实半轴和虚半轴由求半焦距 确定右焦点坐标 . 【规范解答】选 c，双曲线方程为， ，得， 它的右焦点坐标为，故 c 正确 . 3（ XX福建高考理科 ）以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（） 【命题立意】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及圆方程的求解 . 【思路点拨】的 焦点为，求解圆方程时，确定了圆心与半径即可 . 【规范解答】选 D，抛物线的焦点为，又圆过原点，所以， 方程为 . 【方法技巧】方法一：（设圆的标准方程）抛物线的焦点为，圆心为，设圆的方程为，又圆过原点，所求圆的方程为即为； 13 / 23 方法二：（设圆的一般方程）设圆的方程为，抛物线的焦点为，圆心为，又圆过原点，所求圆的方程为 . 4（ XX福建高考文科 9）已知抛物线 c：过点 A（ 1,-2） . （ I）求抛物线 c 的方程，并求其准线方程； （ II）是否存在平行于 oA（ o 为坐标原 点）的直线 L，使得直线 L 与抛物线 c 有公共点，且直线 oA 与 L 的距离等于？若存在，求直线 L 的方程；若不存在，说明理由 . 【命题立意】本题考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类与整合思想 . 【思路点拨】第一步用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程；第二步依题意假设直线 l 的方程为，联立直线与抛物线的方程，利用判别式限制参数 t 的范围，再由直线 oA 与直线 l 的距离等于列出方程，求解出 t 的值，注意判别式对参数 t 的限制 . 【规范解答】（ I）将代入， 得， 故所求的抛物线方程为，其准线方程为； （ II）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与抛物线 c 有公共点，所以，解得。另一方面，由直线 oA与直线的距离等于可得，由于，所以符合题意的直线存在，其方程为 . 14 / 23 【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时，我们一定要注意判别式的限制 .因为抛物与直线有交点，注意应用进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围 . 5（ XX重庆高考文科 21）已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率 （ 1）求双曲线的标 准方程及其渐近线方程； （ 2）如图，已知过点的直线 与过点（其中）的直线的交点 在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交与 ,两点， 求的值 . 【命题立意】本小题考查双曲线的定义、标准方程、性质等基础知识，考查直线方程的基础知识，考查平面向量的运算求解能力，体现了方程的思想和数形结合的思想方法 . 【思路点拨】（ 1）由求出，再由求出；（ 2）点 E 是关键点，根据点 E 的坐标求出直线 mN 的方程，解两条直线组成的方程组的点 G， H 的坐标，即向量 ,的坐标，再进行向量的数量积运算，化简、整理可得 . 【规范解答】 (1)设 c 的标准方程为 (,)， 则由题意知，又，所以， ， c 的标准方程为 c 的渐近线方程为，即和 . 15 / 23 （ 2）（方法一）由题意点在直线：和：上， 因此有， 所以点 m， N 均在直线上， 因此直线 mN的方程为； 设 G， H 分别是直线 mN与渐近线及的交点， 解方程组及得：， 所以， 故， 因为点 E 在双曲线上，有，所以 . （方法二）设，由方程组 解得， 因为，所以直线 mN的斜率， 故直线 mN的方程为，注意到， 因此直线 mN的方程为 . 以下与解法一相同 . 【方法技巧】（ 1）字母运 算是解答本题的主要特点；（ 2）已知与未知的相互转化，即关于点 E 的坐标两个等式和，通过转化字母的已知与未知的关系，和看作已知，点和代入方程所得，简捷得到直线 mN 的方程；（ 3）关键点 E 在解题中的关键作用 . 6（ XX海南高考理科 T20）设分别是椭圆 E:（ ab0）的左、右焦点，过斜率为 1 的直线与 E 相16 / 23 交于两点，且 ,成等差数列 . （ ) 求 E 的离心率； （ ）设点 P（ 0,-1）满足 ,求 E 的方程 . 【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关 系等等 .解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识 . 【思路点拨】利用等差数列的定义，得出 ,满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算 . 【规范解答】（ ) 由椭圆的定义知，又 得，的方程为，其中 设，则两点坐标满足方程组 化简得， 则， . 因为直线 AB斜率为 1，所以 得，故 ,所以 E 的离心率 . （ ）设两点的中点为，由（ ) 知， . 由，可知 .即，得，从而 . 椭圆 E 的方程为 . 【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关 的计算 . 【跟踪模拟训练】 17 / 23 一、选择题（每小题 6 分，共 36 分） 1已知椭圆两个焦点的坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程是（） A B c D 2已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，斜率为 1 的直线与椭圆相交，截得的弦长为正整数的直线恰有 3 条，则的值为（） 3已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于、两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是 () (A)(B)(c)(D) 4两个正数 a、 b 的等差中项是 ,一个等比中项是的离心率e 等于（） A B c D 5已知抛物线，以为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线方程为（） A B c D 6如图所示，椭圆的离心率 ,左焦点为 F,A、 B、 c 为其三个顶点，直线 cF 与 AB交于 D，则的值等于（） 18 / 23 二、填空题 (每小题 6 分，共 18分 ) 7.如图 ,过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F的直线交抛物线于两点 A、 B,交其准线于 c,若 |Bc|=2|BF|,且 |AF|=3,则此抛物线的方程为 _. 8某抛物线形拱桥的跨度为 20米，拱高是 4 米，在建桥时，每隔 4 米需用一 根柱支撑，其中最高支柱的高度是 9过双曲线的右焦点 F 作倾斜角为的直线，交双曲线于 P,Q两点，则 |PQ的值为 _. 三、解答题（ 10、 11题 15分， 12题 16分） 10如图、椭圆的一个焦点是 F（ 1， 0）， o 为坐标原点。 (1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； (2)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点 .若直线任意转动，都有，求 a 的取值范围 . 11如图，倾斜角为 的直线经过抛物线的焦点 F，且与抛物线交于 A、 B 两点。 （ ）求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程； （ ）若 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点19 / 23 P，证明 |FP|-|FP|cos2 为定值，并求此定值。 12（本题满分 16分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分 已知点是双曲线 m：的左右焦点，其渐近线为，且右顶点到左焦点的距离为 3 (1)求双曲线 m 的方程； (2)过的直线与 m 相交于、两点，直线的法向量为，且，求k 的值； (3)在 (2)的条件下，若双曲线 m 在第四象限的部分存在一点c 满足，求 m 的 值及 ABc 的面积 参考答案 一、选择题 1 D 2 c 3 A 4 D 5 B 6 B 二、填空题 7【解析】分别作 A、 B 在 l 上的射影 A1、 B1, |AA1|=|AF|=3, 20 / 23 |BB1|=|BF|=|Bc|. BcB1=30, |Ac|=