xx届高考数学数形结合思想备考复习教案

1 / 18 XX 届高考数学数形结合思想备考复习教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 m 专题七：思想方法专题 第二讲数形结合思想 【思想方法诠释】 一、数形结合的思想 所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种 “ 结合 ” ，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过 “ 以 形助数，以数解形 ” ，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合 数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化 二、数形结合思想解决的问题常有以下几种： 1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； 2 / 18 2构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； 3构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系； 4构建函数模型并结合其几何意义 研究函数的最值问题和证明不等式； 5构建立体几何模型研究代数问题； 6构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； 7构建方程模型，求根的个数； 8研究图形的形状、位置关系、性质等。 三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点： 1准确画出函数图象，注意函数的定义域； 2用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 （有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。 四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： 1要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； 2要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； 3要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； 3 / 18 4精心联想 “ 数 ” 与 “ 形 ” ，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。 【核心要点突破】 要点考向 1：利用数学概念或数学式的几何意义解题 例 1：实系数一元二次方程 x2+ax+2b=0 有两个根，一个根在区间（ 0， 1）内，另一个根在区间（ 1， 2）内，求： （ 1）点（ a,b）对应的区域的面积； （ 2）的取值范围； （ 3） (a-1)2+(b-2)2的值域 思路精析：列出 a,b 满足的条件 画出点 (a,b)对应的区域 求面积 根据的几何意义求范围 根据 (a-1)2+(b-2)2 的几何意义求值域 解析：方程 x2+ax+2b=0 的两根在区间（ 0， 1）和（ 1， 2）上的几何意义分别是：函数 y=f(x)=x2+ax+2b 与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间（ 0， 1）和（ 1， 2）内， 由此可得 不等式组 由，解得 A（ -3， 1） 由，解得 c（ -1， 0） 在如图所示的 aob 坐标平面内，满足条件的点 (a,b)对应的平面区域为 ABc （不包括边界） （ 1） ABc 的面积为（ h 为 A 到 oa轴的距离） 4 / 18 （ 2）几何意义是点 (a,b)和点 D(1,2)边线的斜率 由图可知 （ 3） (a -1)2+(b-2)2表示的区域内的点 (a,b)与定点 (1,2)之间距离的平方， 注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常 见的对应有： （ 1）连线的斜率； （ 2）之间的距离； （ 3）为直角三角形的三边； （ 4）图象的对称轴为 x=只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法 要点考向 2：用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题 例 2 ：（ 1 ） 已 知 ： 函 数 f(x) 满 足 下 面 关 系 ：f(x+1)=f(x -1); 当 x -1,1 时， f(x)=x2,则方程f(x)=lgx 解的个数是（） (A)5(B)7(c)9(D)10 5 / 18 (2)设有函数 f(x)=a+和 g(x)=,已知 x -4,0时，恒有f(x)g(x) ，求实数 a 的范围 思路精析：（ 1）画出 f(x)的图象 画出 y=lgx 的图象 数出交点个数 （ 2） f(x)g(x) 变形为 画出的图象 画出的图象 寻找成立的位置 解析：（ 1）选 c由题间可知， f(x)是以 2 为周期，值域为0， 1的函数又 f(x)=lgx，则 x （ 0， 10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共 9 个交点 （ 2） f(x)g(x) ，即，变形得，令 ， 变形得，即表示以（ -2， 0）为圆心 ， 2 为半径的圆的上半圆； 表示斜率为，纵截距为 1-a 的平行直线系设与圆相切的直线为 AT，其倾斜角为，则有 tan=, 要使 f(x)g(x) 在 x -4,0时恒成立，则 成立所表示的直线应在直线 AT 的上方或与它重合，故有 1-a6,a -5 注：（ 1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的6 / 18 函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的 图象，图象的交点个数即为方程解的个数 （ 2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答 （ 3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标 要点考向 2：数形结合在解析几何中的应用 例 3：已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是 （ ）求椭圆的方程； （ ）若椭圆在第一象限的一点的横坐标为，过点作倾斜角互补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，求证：直线的斜率为定值； （ ）求面积的最大值 解析：（ ）设椭圆的方程为 由题意 2 分 解得， 所 以 椭 圆 的 方 程为 4 分 7 / 18 （ ）由题意知，两直线，的斜率必存在，设的斜率为，则的直线方程为 . 由得 .6 分 设，则 ， 同理可得， 则， . 所以直线的斜率为定值 .8分 （ ）设的直线方程为 . 由得 . 由，得 .10 分 此时， . 到的距离为， 则 . 因为使判别式大于零， 所以当且仅当时取等号， 8 / 18 所 以 面 积 的 最 大 值为 13 分 注： 1数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效 2此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组 ）或不等式（组），从而将问题解决 要点考向 2：数形结合在立体几何中的应用 例 4：如图 1,在直角梯形中 ,为线段的中点 .将沿折起 ,使平面平面 ,得到几何体 ,如图 2 所示 . () 求证 :平面； () 求二面角的余弦值 . 解析 :（ ）在图 1 中 ,可得 ,从而 ,故 . 取中点连结 ,则 ,又面面 , 面面 ,面 ,从而平面 .4 分 ，又 ,. 平面 .6 分 （ ）建立空间直角坐标系如图所示 ,则 , ,.8 分 设为面的法 向量 , 9 / 18 则即 ,解得 . 令 ,可得 . 又为面的一个法向量， . 二面角的余弦值为 . 注： 1应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算 2立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口 【跟踪模拟训练】 一、选择题（每小题 6 分，共 36 分） 1.方程 lgx=sinx 的根的个数 () (A)1个 (B)2 个 (c)3 个 (D)4个 2已知全集 U=R，集合 A=x|x2-3x-103,则右图中阴影部分表示的集合为 () A (3,5)B (-2,+)c (-2,5)D (5,+) 3 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 已 知 平 面 区 域A=(x,y)|x+y1, 且 x0,y0 ，则平面区域10 / 18 B=(x+y,x-y)|(x,y)A 的面积为（） (A)2(B)1(c)(D) 4函数图象如图，则函数的单调递增区间为（） A B c D 5不等式组有解，则实数的取值范围是（） A B c D 6已知 f(x)是定义在（ -3， 3）上的奇函数，当 0x3时， f(x) 的 图 象 如 图 所 示 ， 那 么 不 等 式f(x)cosx0 的解集是（） 二、填空题（每小题 6 分，共 18 分） 7复数 (x-2)+yi，其中 x、 y 均为实数，当此虚数的模为 1时，的取值范围是 8.已知关于 x 的方程 x2-4|x|+5=m 有四个不相等的实根，则实数 m 的范围是 _. 9.设 A=(x,y)|x2+(y-1)2=1,B=(x,y)|x+y+m0 ，则使 AB 成立的实数 m 的取值范围是 _. 三、解答题（ 10、 11题每题 15 分， 12题 16分，共 46分） 10如图，已知四棱锥的底面是正方形， 底面，且，点、11 / 18 分别在侧棱、上，且 （ ）求证： 平面； （ ）若，求平面与平面的所成锐 二面角的大小 11如图，是通过某市开发区中心 0 的两条南北和东西走向的道路，连接 m、 N 两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线 L1对称 m 到 L1、 L2的距离分别是 2km、4km， N 到 L1、 L2 的距离分别是 3km、 9kin （ 1）建立适当的坐标系，求抛物线弧 mN的方程； （ ）该市拟在点 0 的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点 0 的距离大于 5km 而不超过 8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 km求此厂离点 0 的最近距离（注：工厂视为一个点） 12已知函数 f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m. (1)求 f(x)在区间 t,t+1上的最大值 h(t); (2)是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图 象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由 . 参考答案 1【解析】选 c.在同一坐标系中作出 y=lgx与 y=sinx的图12 / 18 象，如图 .其交点数为 3. 2答案： B 3 作出不等式组表示的平面区域 B，如图所示，根据图形可知该区域为等腰直角三角形，可求出面积，所以平面区域 B 的面积为 1 4答案： D 5答案： A 6【解析】选 B.根据对称性画出 f(x)在（ -3,0）上的图象如 图，结合 y=cosx 在 (-3,0), (0,3)上函数值的正负 , 易知不等式 f(x)cosx0 的解集是 7【解析】由题意知，设，则 k 为过圆 (x-2)2+y2=1 上的点及原点的直线斜率，作图如下： 又由对称性，可得答案： 答案： 8【解析】令 f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1，其图象如图 . 13 / 18 画直线 y=m,由图象知当 1m5 时，方程有四个不相等的实根 . 答案：（ 1， 5） 9【解析】由于集合 A， B 都是点的集合 ,故可结合图形进行分析、求解 .集合 A 是一个圆 x2+(y-1)2=1 上的点的集合 ,集合 B是一个不等式 x+y+m0 表示的平面区域内的点的集合 ,要使 AB，则应使圆被平面区域所包含（如图）， 即直线 x+y+m=0应与圆相切或相离 (在圆的下方 )，而当直线与圆相切时有 故 m 的取值范围是 m -1. 答案： m -1 10解：（ ）建立如图所示的空间直角坐标系又 PA=AD=2，则有 P（ 0， 0， 2）， D（ 0， 2， 0） 3 分 （ ） 又 7 分 （ ）设则有 同理可得即得 9 分 由 14 / 18 而平面 PAB的法向量可为 故所求平面 AmN 与 PAB 所成锐二面角的大小为 12分 11解析：（ 1）分别以、为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 m（ 2， 4）， N（ 3， 9） 设 mN所在抛物线的方程为，则有 ，解得 所求方程为（ 23 ） 5 分 （说明：若建系后直接射抛物线方程为，代入一个点坐标求对方程，本问扣 2 分） （ 2）设抛物线弧上任意一点 P（，）（ 23 ） 厂址为点 A（ 0，）（ 5 t8 ，由题意得 07 分 令， 23 ， 49 对于任意的，不等式 0 恒成立（ *） 8 分 设， 8 . 要使（ *）恒成立，需 0 ，即 010 分 解得 ， 的最小值为 15 / 18 所以，该厂距离点 o 的最近距离为分 12【解析】（ 1） f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16. 当 t+14即 t4时， f(x)在 t,t+1上单调递减（如图 ）， h(t)=f(t)=-t2+8t. (2)函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数 (x)=g(x) -f(x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点 . (x)=x2 -8x+6lnx+m, 当 x(0,1) 时 (x)0,(x) 是增函数 ; 当 x(1,3) 时 ,(x)0,(x) 是增函数 ; 当 x=1或 x=3时， （ x） =0. 16 / 18 (x) 极大值 = （ 1） =m-7, ( x)极小值 = （ 3） =m+6ln3-15. 当 x 充分接近 0 时， （ x） 0, 要使 (x) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点， 即 7mc (B)bc 或 bc 中至少有一个正确 (c)bc (D)不能确定 【解析】选 (x)=|x2+2x|的图象如图 .要使关于 x 的方程f2(x)+bf(x)+c=0 有 7 个不同的实数根，则关于 f(x)的一元二次方程 f2(x)+bf(x)+c=0 有两个不同的根 .且一个根在17 / 18 （ 0,1）内，另一个根为 1. bc. 5.若直线 y=kx-1 与曲线 y=有公共点，则 k 的取