xx届高考数学知识平面向量与复数复习讲义

1 / 16 XX 届高考数学知识平面向量与复数复习讲义 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 高中数学复习讲义第四章平面向量与复数 【知识图解】 . 平面向量知识结构表 . 复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的 “ 双重身份 ” ，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了 “ 在知识网络交汇处设计试题 ” 的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外 ，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1.向量是具有大小和和方向的量，具有 “ 数 ” 和 “ 形 ” 的特2 / 16 点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用 . 2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面 内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合 . 3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决 . 4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法 . 第 1 课 向量的概念及基本运算 【考点导读】 1.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示 . 2.掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义 . 3.了解平面向量基本定理及其意义 . 【基础练习】 1.出下列命题： 若，则； 若 A、 B、 c、 D 是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； 若，则； 的充要条件是且； 若，则。其中，正确命题材的序号是 2.化简得 3.在四边形 ABcD 中， =a+2b， = 4a b， = 5a 3b，其中a、 b 不共线，则四边形 ABcD为梯形 3 / 16 4.如图，设点 P、 Q 是线段 AB的三等分点， 若 a， b，则， (用 a、 b 表示 ) 【范例导析】 例 1.已知任意四边形 ABcD的边 AD和 Bc的中点分别为 E、 F， 求证： . 分析 :构造三角形 ,利用向量的三角形法则证明 . 证明：如图，连 接 EB和 Ec， 由和可得，（ 1） 由和可得，（ 2） （ 1） +（ 2）得，（ 3） E 、 F 分别为 AD和 Bc的中点， ， 代入（ 3）式得， 点拨 :运用向量加减法解决几何问题时 ,需要发现或构造三角形或平行四边形 . 例 2.已知不共线， ,求证： A,P,B 三点共线的充要条件是 分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明 . 解：先证必要性：若 A,P,B 三点共线，则存在实数，使得 ,即 , ， 再证充分性：若则 =, 4 / 16 与共线， A,P,B 三点共线 . 点拨 :向量共线定理是向量知 识中的一个基本定理 ,通常可以证明三点共线、直线平行等问题 . 【反馈练习】 1已知向量 a 和 b 反向，则下列等式成立的是（ c） A.|a| |b|=|a b|B.|a| |b|=|a+b|c.|a| |b|=|ab|D.|a| |b|=|a+b| 2.设四边形 ABcD中，有则这个四边形是（ c） A.平行四边形 B.矩形 c.等腰梯形 D.菱形 3.设 A、 B、 c、 D、 o 是平面上的任意五点，试化简： ， ， 。 解析： 原式 =； 原式 =； 原式 =。 4.设为未知向量，、为已知向量，满足方程 2-(5+3-4)+-3=0， 则 =（用、表示） 5.在四面体 o-ABc 中，为 Bc 的中点， E 为 AD 的中点，则 =（用 a， b， c 表示） 6 如图平行四边形 oADB 的对角线 oD,AB 相交于点 c，线段Bc上有一点 m满足 Bc=3Bm,线段 cD上有一点 N满足 cD 3cN,设 解： 5 / 16 . 第 2 课 向量的数量积 【考点导读】 1.理解平面向量数量积的含义及几何意义 . 2.掌握平面向量数量积的性质及运算律 . 3.掌握平面向量数量积的坐标表达式 . 4.能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题 . 【基础练习】 1.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么 2.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，则的可能值个数为 2 个 3.若 ,，与的夹角为，若，则的值为 4.若，且，则向量与的夹角为 120 【范例导析】 例 1.已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角的余弦值。 分析 :利用及求解 . 解：由题意，且与的夹角为，所以，同理可得而，设为与的夹角，则 点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。 例 2.已知平面上三个向量、的模均为 1，它们相互之间的6 / 16 夹角均为 120 ， （ 1）求证： ；（ 2）若，求的取值范围 . 分析 :问题（ 1）通过证明证明 ,问题（ 2）可以利用 解：（ 1） ，且、之间的夹角均为 120 ， （ 2） ，即 也就是 ， 所以或 解 :对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决 . 例 3.如图，在直角 ABc 中，已知，若长为的线段以点为中点，问的夹角取 何值时的值最大？并求出这个最大值 分析 :本题涉及向量较多 ,可通过向量的加减法则得 ,再结合直角三 角 形和各线段长度特征法解决问题 解： 7 / 16 点拨 :运用向量的方法解决几何问题 ,充分体现了向量的工具性 ,对于大量几何问题 ,不仅可以用向量语言加以叙述 ,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解 ,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算 . 【反馈练习】 1.已知向量满足则与的夹角为 2.如图，在四边形 ABcD中， ，则的值为 4 3.若向量满足 ,的夹角为 60 ，则 = 4.若向量 ,则 5.已知 |a|=4,|b|=5,|a+b|=,求： ab ； (2a b)(a+3b) 解：（ 1） |a+b|2=（ a+b） 2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2， （ 2）（ 2a b） （ a+3b） =2a2+5ab3b2=2|a|2+5ab 3|b|2=242+5 （ 10） 352= 93. 6.已知 a 与 b 都是非零向量，且 a+3b 与 7a-5b垂直， a 4b与 7a 2b垂直，求 a 与 b 的夹角 . 解： 且 a+3b与 7a-5b垂直， a 4b与 7a 2b垂直， （ a+3b） （ 7a-5b） =0，（ a 4b） （ 7a2b） =07a2 16ab 15b2=0， 7a2 30ab8 / 16 8b2=0， b2=2ab ， |a|=|b| 第 3 课 向量的坐标运算 【考点导读】 1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示 . 2.会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算 . 3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示 ,并利用它解决向量平行的有关问题 . 【基础练习】 1 若 =， =，则 = 2 平面向量中，若， =1，且，则向量 = 3.已知向量，且 A、 B、 c 三点共线，则 k= 4.已知平面向量，且，则 1 【范例导析】 例 1.平面内给定三个向量，回答下列问题： （ 1）求满足的实数 m,n； （ 2）若，求实数 k； （ 3）若满足，且，求 分析 :本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件 . 9 / 16 解：（ 1）由题意得 所以，得 （ 2） （ 3）设，则 由题意得 得或 点拨 :根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。 例 2.已知 ABc 的顶点分别为 A(2， 1)， B(3， 2)， c(3， 1)， Bc边上的高为 AD，求及点 D 的坐标、 分析 :注意向量坐标法的应用 ,及平行、垂直的充要条件 . 解：设点 D 的坐标为 (x,y) AD 是边 Bc上的高， ADBc ， 又 c 、 B、 D 三点共线， 又 =(x 2,y 1),=( 6, 3) =(x 3,y 2) 解方程组，得 x=,y= 点 D 的坐标为 (， )，的坐标为 (， ) 10 / 16 点拨 :在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题 . 例 3已知向量且 求（ 1）及；（ 2）若的最小值是，求的值。 分析 :利用向量 的坐标运算转化为函数的最值问题求解 . 解：（ 1） ， 。 （ 2） （ 1）当时， （ 2）当时， （ 3）当时， 综上所述：。 点拨 :注意运用不同章节知识综合处理问题 ,对于求二次函数得分最值问题 ,注意分类讨论 . 【反馈练习】 1已知向量，则与（ A） A垂直 B不垂直也不平行 c平行且同向 D平行且反向 2.与向量 a=b=的夹解相等，且模为 1 的向量是 3.已知向量且则向量等于 4.已知向量 120 5.若，试判断则 ABc 的形状 _直角三角形 _ 11 / 16 6.已 知向量，向量，则的最大值是 4 7.若是非零向量且满足，则与的夹角是 8.已知：、是同一平面内的三个向量，其中 =（ 1， 2） （ 1）若 |，且，求的坐标； （ 2）若 |=且与垂直，求与的夹角 . 解：（ 1）设，由和可得： 或 ，或 （ 2）即 ，所以 . 9.已知点是且试用 . 解：以 o 为原点， oc， oB 所在的直线为轴和轴建立如图 3所示的坐标系 . 由 oA=2，所以， 易求，设 第 4 课 向量综合应用 【考点导读】 12 / 16 1.能综合运用所学向量知识及 有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合问题 . 2.能从实际问题中提炼概括数学模型 ,了解向量知识的实际应用 . 【基础练习】 1.已知 a（ 5， 4）， b（ 3， 2），则与 2a 3b平行的单位向量为 2.已知 1， 1， a 与 b 的夹角为 60 ， x 2a b,y 3b a，则 x 与 y 的夹角的余弦值为 【范例导析】 例 1.已知平面向量 a (， 1)， b (,). (1)若存在实数 k 和 t，便得 x a (t2 3)b,y ka tb，且 xy ，试求函数的关系式 k f（ t）； (2)根据 (1)的结论，确定 k f(t)的单调区间。 分析 :利用向量知识转化为函数问题求解 . 解 :（ 1）法一：由题意知 x (,),y (t k， t k)，又 xy 故 xy （ t k） (t k) 0。 整理得： t3 3t 4k 0，即 k t3 t. 法二： a (， 1)， b (,),. 2， 1 且 ab xy ， xy 0，即 k2 t(t2 3)2 0， t3 3t 4k 0,即 k t3 t 13 / 16 (2)由 (1)知： k f(t) t3 tk&a cute; f´(t)t2 , 令 k´ 0得 1 t 1；令 k´ 0 得 t 1 或t 1. 故 k f(t)的单调递减区间是 ( 1,1)，单调递增区间是（ ， 1）和（ 1， ） . 点拨 :第 1 问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第 2问中求函数的极值运用的是求导的 方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。 例 2.已知两个力（单位：牛）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动到点（单位：米） （ 1）求； （ 2）求与的合力对质点所做的功 分析 :理解向量及向量数量积的物理意义 ,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决 . 14 / 16 点拨 :学习向量要了解向量的实际背景 ,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题 . 【反馈练习】 1.平面直角坐标系中， o 为坐标原点，已知两点 A(3,1)， B(1,3)，若点 c 满足，其中， R 且 +=1，则点 c 的 轨迹方程为x 2y 5=0 2.已知 a,b是非零向量且满足（ a 2b） a ，（ b 2a） b ，则 a 与 b 的夹角是 3.已知直线 x+y=a与圆 x2+y2=4交于 A、 B 两点 ,且 |+|=|-|,其中 o 为原点 ,则实数 a 的值为 2 或 -2 4.已知向量 a=()，向量 b=()，则 |2a b|的最大值是 4 5如图， （ 1）若 ，求 x 与 y 间的关系； （ 2）在（ 1）的条件下，若有，求 x,y 的值及四边形 ABcD的面积 . 解（ 1）又 （ 2）由 ，得（ x 2） (6 x) (y 3)(y 1) 0, 即 x2 y2 4x 2y 15 0 由 ， 得或 第 5 课 复数的概念和运算 【考点导读】 1.了解数系的扩充的基本思想 ,了解引入复数的必要性 . 15 / 16 2.理解复数的有关概念 ,掌握复数的代数表示和几何意义 . 【基础练习】 1.设、，若为实数，则 2.复数的共轭复数是 3.在复平面内，复数 (1 i)2对应的点位于第二象限 4.若复数满足方程，则 【范例导析】 例 .m取何实数时，复数（ 1）是实数？（ 2）是虚数？（ 3）是纯虚数？ 分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数