xx届高考数学第一轮向量的数量积专项复习教案

1 / 13 XX 届高考数学第一轮向量的数量积专项复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 向量的数量积 知识梳理 1.数量积的概念： （ 1）向量的夹角：如下图，已知两个非零向量 a 和 b，作=a， =b，则 AoB= （ 0180 ）叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 a， b . （ 2）数量积的定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，则数量 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积，记作ab，即 ab=|a|b|cos. （ 3）数量积的几何 意义：数量积 ab 等于 a 的模与b 在 a 方向上的投影 |b|cos 的乘积 . 2.数量积的性质：设 e 是单位向量， a， e =. （ 1） ea=ae=|a|cos. （ 2）当 a 与 b 同向时， ab=|a|b|；当 a 与 b 反向时， ab= |a|b|，特别地， aa=|a|2，或 |a|=. （ 3） abab=0. （ 4） cos=. 2 / 13 （ 5） |ab|a|b|. 3.运算律：（ 1） ab=ba；（ 2）（ a ） b=（ ab ） =a （ b ）；（ 3 ）（ a+b ）c=ac+bc. 4.向量数量积的坐标运算： 设 a=（ x1， y1）， b=（ x2， y2），则 （ 1） ab=x1x2+y1y2； （ 2） |a|=； （ 3） cos a， b =； （ 4） abab=0x1x2+y1y2=0. 思考讨论 （ ab） c 与 a（ bc）是否相等 ? 点击双基 1.（ XX 年全国 ， 3）已知 a、 b 均为单位向量，它们的夹角为 60 ，那么 |a+3b|等于 解析： |a+3b|=. 答案： c 2.若向量 a 与 b 的夹角为 60 ， |b|=4，（ a+2b） （ a 3b） = 72，则向量 a 的模是 解析：（ a+2b） （ a 3b） =|a|2 |a|b|cos60 3 / 13 6|b|2=|a|2 2|a| 96= 72， |a|2 2|a| 24=0. （ |a| 6） （ |a|+4） =0.|a|=6. 答案： c 3.已知 a=（ ， 2）， b=（ 3， 5），且 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是 A. B. c. D. 解析： a 与 b 的夹角为钝角， cos a， b 0. ab 0. 3+10 0. . 答案： A 4.（ XX年上海， 6）（理）已知点 A（ 1， 2），若向量与 a=（ 2， 3）同向， |=2，则点 B 的坐标为 _. 解析：设 A 点坐标为（ xA， yA）， B 点坐标为（ xB， yB） . 与 a 同向， 可设 =a= （ 2 ， 3 ）（ 0） . |=2 ， =2. 则 =（ xB xA， yB yA） =（ 4， 6）， B 点坐标为（ 5， 4） . 答案：（ 5， 4） （文）已知点 A（ 1， 5）和向量 a=（ 2， 3），若 =3a，则点 B 的坐标为 _. 解析：设 B 点坐标为（ xB， yB），则 =（ xB+1， yB+5） =3a=（ 6， 9）， 4 / 13 B （ 5， 4） . 答案：（ 5， 4） 典例剖析 【例 1】判断下列各命题正确与否： （ 1）若 a0 ， ab=ac，则 b=c； （ 2）若 ab=ac，则 b c 当且仅当 a=0时成立； （ 3）（ ab） c=a（ bc）对任意向量 a、 b、 c都成立； （ 4）对任一向量 a，有 a2=|a|2. 剖析：（ 1）（ 2）可由数量积的定义判断 .（ 3）通过计算判断 .（ 4）把 a2转化成 aa=|a|2 可判断 . 解：（ 1） ab=ac， |a|b|cos=|a|c|cos（其中 、 分别为 a 与 b， a 与 c 的夹角） .|a|0 ，|b|cos=|c|cos. cos 与 cos 不一定相等， |b| 与 |c|不一定相等 .b与 c 也不一定相等 . （ 1）不正确 . （ 2）若 ab=ac，则 |a|b|cos=|a|c|cos（ 、 为 a 与 b， a 与 c 的夹角） . |a| （ |b|cos |c|cos ） =0. |a|=0 或 |b|cos=|c|cos. 当 bc 时， |b|cos 与 |c|cos 可能相等 . 5 / 13 （ 2）不正确 . （ 3）（ ab） c=（ |a|b|cos ） c， a（ bc） =a|b|c|cos （其中 、 分别为 a 与 b，b 与 c 的夹角 ） . （ ab） c 是与 c 共线的向量， a（ bc）是与 a 共线的向量 . （ 3）不正确 .（ 4）正确 . 评述：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律 . 【例 2】平面内有向量 =（ 1， 7）， =（ 5， 1）， =（ 2， 1），点X 为直线 oP上的一个动点 . （ 1）当 取最小值时，求的坐标； （ 2）当点 X 满足（ 1）的条件和结论时，求 cosAXB 的值 . 剖析：因为点 X 在直线 oP 上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式，再根 据 的最小值，求得的坐标，而 cosAXB 是与夹角的余弦，利用数量积的知识易解决 . 解：（ 1）设 =（ x， y）， 点 X 在直线 oP上， 向量与共线 . 又 =（ 2， 1）， x 2y=0，即 x=2y. = （ 2y， y） .又 =， =（ 1， 7）， = （ 1 2y， 7 y） . 同样 = =（ 5 2y， 1 y） . 于是 =（ 1 2y）（ 5 2y） +（ 7 y）（ 1 y） =2 20y+12=56 / 13 （ y 2） 2 8. 当 y=2时， 有最小值 8，此时 =（ 4， 2） . （ 2）当 =（ 4， 2），即 y=2时，有 =（ 3， 5）， =（ 1， 1） . |= ， |=. cosAXB= . 评述：（ 1）中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数 .而（ 2）中即为数量积定义的应用 . 【例 3】已知向量、满足 +=0， |=|=|=1. 求证： P1P2P3 是正三角形 . 剖析：由 |=|=|=1 知 o 是 P1P2P3 的外接圆的圆心，要证 P1P2P3 是正三角形，只需证 P1oP2=P2oP3=P3oP1即可，即需求与，与，与的夹角 .由 +=0变形可 出现数量积，进而求夹角 . 证明： +=0 ， += .|+|=| |. |2+|2+2=|2. 又 |=|=|=1 ， = . |cosP1oP2= ， 即 P1oP2=120. 同理 P1oP3=P2oP3=120. P1P2P3 为等边三角形 . 评述：解本题的关键是由 +=0 转化出现向量的数量积，进7 / 13 而求夹角 . 深化拓展 本题也可用如下方法证明：以 o 点为坐标原点建立直角坐标系，设 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）， P3（ x3， y3）， 则 =（ x1， y1）， =（ x2， y2）， =（ x3， y3） . 由 +=0， 得 由 |=|=|=1，得 x12+y12=x22+y22=x32+y32=1. 2+2 （ x1x2+y1y2） =1. |= = =. 同理 |=， |=. P1P2P3 为正三角形 . 闯关训练 夯实基础 1.若 a=（ 2， 3）， b=（ 4， 7），则 a 在 b 方向上的投影为 解析： a 在 b 方向上的投影为 =. 答案： c 2.已知 |a|=10， |b|=12，且（ 3a） （ b） = 36，则a 与 b 的夹角是 8 / 13 解析：由（ 3a） （ b） = 36得 ab= 60. cos a， b = . 又 0 a， b 180 ， a， b =120. 答案： B 3.若向量 c 垂直于向量 a 和 b， d=a+b （ 、 R ，且0 ），则 不平行于 d，也不垂直于 dD.以上三种情况均有可能 解析： ca ， cb ， ca=0 ， cb=0. cd=c （ a+b ） =c（ a） +c（ b ） =ca+cb=0. 答案： B 4.给出下列命题： 若 a2+b2=0，则 a=b=0； 已知 a、 b、 c 是三个非零向量，若 a+b=0，则|ac|=|bc|； 在 ABc 中， a=5， b=8， c=7，则 =20； a 与 b 是共线向量 ab=|a|b|. 其中真命题的序号是 _.（请把你认为是真命题的序号都填上） 解析： a2+b2=0 ， |a|= |b|.又 |a|0 ， |b|0 ，|a|=|b|=0.a=b=0. 正确 . 9 / 13 a+b=0 ， a= b， |ac|=|a|c|cos a， c |，|bc|=|b|c|cos b， c |=|a|c|cos a， c|= |a|c|cos（ a， c） |=|a|c|cos a， c |.正确 . cosc=. =|cos（ c） =58 （） = 20. 不正确 . a 与 b 是共线向量 a=b （ b0 ） ab=b2 ，而|a|b|=|b|b|=|b|2. 不正确 . 答案： 5.已知 |a|=， |b|=3， a 和 b 的夹角为 45 ，求当向量 a+b与 a+b 的夹角为锐角时， 的取值范围 . 解： a+b 与 a+b 的夹角为锐角，即（ a+b ） （ a+b ） 0， 也就是 a2+ （ 2+1 ） ab+b2 0，即 2+ （ 2+1 ）3+9 0， 解得 或 . 6.如下图，以原点和 A（ 5， 2）为两个顶点作等腰直角 oAB ，使 B=90. 10 / 13 求点 B 和向量的坐标 . 分析：这里关键是求出 B 点的坐标，设 B（ x， y），由 和|=|，则可列出 x、 y 的方程组 . 解：设 B 点坐标为（ x， y），则 =（ x， y）， =（ x 5， y 2） . ， x （ x 5） +y（ y 2） =0，即 x2+y2 5x 2y=0. 又 |=|， x2+y2= （ x 5） 2+（ y 2） 2，即 10x+4y=29. 解 得或 B 点坐标为（，）或（，） . 故 =（，）或 =（，） 培养能力 7.（ XX年浙江， 14）（理）已知平面上三点 A、 B、 c 满足 |=3，|=4， |=5，则 +的值等于 _. 解析： |2+|2=|2 ， ABc 为直角三角形，其中 B=90. +=0+|cos （ c ）+|cos（ A ） = 25. 答案： 25 （文）已知平面上三点 A、 B、 c 满足 |=2， |=1， |=，则+的值等于 _. 解析： |2+|2=|2 ， ABc 为直角三角形且 c=90 . +=|cos （ B ）+0+|cos（ A ） = 4. 答案： 4 8.已知 F1（ 1， 0）， F2（ 1， 0）， A（， 0），动点 P 满足11 / 13 3+=0. （ 1）求动点 P 的轨迹方程 . （ 2）是否存在点 P，使 PA成为 F1PF2 的平分线 ?若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 . 解：（ 1）设 P（ x， y），则 =（ 1 x， y）， =（ 1 x， y），=（ x， y） . = （ 1 x）（ x） +（ y） 2=（ x+1）（ x） 2+y2， =（ 1 x） （ x） +（ y） 2=（ x 1）（ x） +y2. 3 （ x+1）（ x） +y2 +（ x 1）（ x） +y2=0. x2+y2= 即为 P 点的轨迹方程 . （ 2）设存在，则 cosF1PA=cosAPF2. 将条件 3= 代入上式不成立 . 不存在 . 探究创新 9.已知平面向量 a=（， 1）， b=（，）， （ 1）证明： ab ； （ 2）若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 x=a+（ t2 3） b，y= ka+tb，且 xy ，试求函数关系式 k=f（ t）； （ 3）据（ 2）的结论，确定函数 k=f（ t）的单调区间 . （ 1）证明： ab=+ （ 1） =0. （ 2）解： xy ， xy=0 ，且 ab=0， a2=4，b2=1，整理得 4k+t（ t2 3） =0， 12 / 13 k=t （ t2 3） . （ 3）解：记 f（ t） =（ t3 3t）， （ t） =t2 .令（ t）0 得 t 1 或 t 1.因此，当 t （ ， 1）时， f（ t）是增函数；当 t （ 1， + ）时， f（ t）也是增函数 .再 令（ t） 0，得 1 t 1，故 t （ 1， 1）时， f（ t）是减函数 . 思悟小结 1.平面向量的数量积及其几何意义是本节的重点，用数量积处理向量垂直问题，向量的长度、角度问题是难点 . 2.向量的数量积是向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果却是一个数量，所以向量的数量积的坐标表示是纯数量的坐标表示 . 3.向量 a 与 b 的夹角：（ 1）当 a 与 b 平移成有公共起点时两