xx届高考数学第一轮函数的综合问题专项复习教案

1 / 14 XX 届高考数学第一轮函数的综合问题专项复习教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 函数的综合问题 知识梳理 函数的综合应用主要体现在以下几方面： 1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合 . 2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合 .这是高考主要考查的内容 . 3.函数与实际应用问题的综合 . 点击双基 1.已知函数 f（ x） =lg（ 2x b）（ b 为常数），若 x 1， + ）时， f（ x） 0 恒成立，则 =1 解析：当 x 1， + ）时， f（ x） 0 ，从而 2x b1 ，即 b2x 1.而 x 1， + ）时， 2x 1 单调增加， b2 1=1. 答案： A 2.（ XX 年郑州市质检题）若 f（ x）是 R 上的减函数，且 f2 / 14 （ x）的图象经过点 A（ 0， 3）和 B（ 3， 1），则不等式 |f（ x+1） 1| 2 的解集是 _. 解析：由 |f（ x+1） 1| 2 得 2 f（ x+1） 1 2，即1 f（ x+1） 3. 又 f（ x）是 R 上的减函数，且 f（ x）的图象过点 A（ 0， 3），B（ 3， 1）， f （ 3） f（ x+1） f（ 0） .0 x+1 3， 1 x 2. 答案：（ 1， 2） 典例剖析 【例 1】取第一象限内的点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2），使1， x1， x2， 2 依次成等差数列， 1， y1， y2， 2 依次成等比数列，则点 P1、 P2与射线 l:y=x（ x 0）的关系为 A.点 P1、 P2都在 l 的上方 B.点 P1、 P2都在 l 上 c.点 P1 在 l 的下方， P2 在 l 的上方 D.点 P1、 P2 都在 l 的下方 剖析： x1=+1=， x2=1+=， y1=1= ， y2=， y1 x1， y2 x2， P1 、 P2都在 l 的下方 . 答案： D 【例 2】已知 f（ x）是 R 上的偶函数，且 f（ 2） =0， g（ x）是 R 上的奇函数，且对于 xR ，都有 g（ x） =f（ x 1），求f（ 2002）的值 . 解：由 g（ x） =f（ x 1）， xR ，得 f（ x） =g（ x+1） .又 f3 / 14 （ x） =f（ x）， g（ x） = g（ x）， 故有 f（ x） =f（ x） =g（ x+1） = g（ x 1） = f（ x2） = f（ 2 x） = g（ 3 x） = g（ x 3） =f（ x 4），也即 f（ x+4） =f（ x）， xR. f （ x）为周期函数，其周期 T=4.f （ 2002） =f（ 4500 2） f（ 2） =0. 评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质 . 【例 3】函数 f（ x） =（ m 0）， x1、 x2R ，当 x1+x2=1 时，f（ x1） +f（ x2） =. （ 1）求 m 的值； （ 2）数列 an，已知 an=f（ 0） +f（） +f（） +f （） +f（ 1），求 an. 解：（ 1）由 f（ x1） +f（ x2） =，得 +=， 4+4+2m= 4+m（ 4+4） +m2 . x1+x2=1 ， （ 2 m）（ 4+4） =（ m 2） 2.4+4 =2 m 或 2 m=0. 4+42=2=4 ，而 m 0 时 2 m 2， 4+42 m. m=2. （ 2） an=f （ 0） +f（） +f（） +f （） +f（ 1）， an=f（ 1） +f（） +f（） +f （） +f（ 0） . 2an= f（ 0） +f（ 1） + f（） +f（） + f（ 1） +f（ 0） =+=. 4 / 14 an=. 深化拓展 用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法 . 【例 4】函数 f（ x）的定义域为 R，且对任意 x、 yR ，有f（ x+y） =f（ x） +f（ y），且当 x 0 时， f（ x） 0， f（ 1）= 2. （ 1）证明 f（ x）是奇函数； （ 2）证明 f（ x）在 R 上是减函数； （ 3）求 f（ x）在区间 3， 3上的最大值和最小值 . （ 1）证明：由 f（ x+y） =f（ x） +f（ y），得 f x+（ x）=f（ x） +f（ x）， f （ x） +f（ x） =f（ 0） .又 f（ 0+0）=f（ 0） +f（ 0）， f （ 0） =0.从而有 f（ x） +f（ x） =0. f （ x） = f（ x） .f （ x）是奇函数 . （ 2）证明：任取 x1、 x2R ，且 x1 x2，则 f（ x1） f（ x2）=f（ x1） f x1+（ x2 x1） =f（ x1） f（ x1） +f（ x2 x1） = f（ x2 x1） .由 x1 x2， x2 x1 0.f （ x2 x1） 0. f（ x2 x1） 0，即 f（ x1） f（ x2），从而 f（ x）在R 上是减函数 . （ 3）解：由于 f（ x）在 R 上是减函数，故 f（ x）在 3，3上的最大值是 f（ 3），最小值是 f（ 3） .由 f（ 1） = 2，5 / 14 得 f（ 3） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2） =f（ 1） +f（ 1+1） =f（ 1）+f（ 1） +f（ 1） =3f（ 1） =3 （ 2） = 6， f（ 3） = f（ 3） =6.从而最大值是 6，最小值是 6. 深化拓展 对于任意实数 x、 y，定义运算 x*y=ax+by+cxy，其中 a、 b、c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算 .现已知1*2=3， 2*3=4，并且有一个非零实数 m，使得对于任意实数x，都有 x*m=x，试求 m 的值 . 提示：由 1*2=3， 2*3=4，得 b=2+2c ， a= 1 6c. 又由 x*m=ax+bm+cmx=x 对于任意实数 x 恒成立， b=0=2+2c. c= 1. （ 1 6c） +cm=1. 1+6 m=1.m =4. 答案： 4. 闯关训练 夯实基础 1.已知 y=f（ x）在定义域 1， 3上为单调减函数，值域为 4， 7，若它存在反函数，则反函数在其定义域上 A.单调递减且最大值为 7B.单调递增且最大值为 7 c.单调递减且最大值为 3D.单调递增且最大值为 3 6 / 14 解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性， f 1（ x）的值域是 1， 3 . 答案： c 2.（ XX年郑州市质检题）关于 x 的方程 |x2 4x+3| a=0有三个不相等的实数根，则实数 a的值是 _. 解析：作函数 y=|x2 4x+3|的图象，如下图 . 由图象知直线 y=1 与 y=|x2 4x+3|的图象有三个交点，即方程 |x2 4x+3|=1也就是方程 |x2 4x+3| 1=0有三个不相等的实数根，因此 a=1. 答案： 1 3.（ XX年春季北京）若存在常数 p 0，使得函数 f（ x）满足 f（ px） =f（ px）（ xR ），则 f（ x）的一个正周期为_. 解析：由 f（ px） =f（ px），令 px=u， f（ u） =f（ u） =f（ u+）， T= 或的整数倍 . 答案：（或的整数倍） 4.已知关于 x 的方程 sin2x 2sinx a=0有实数解，求 a 的取值范围 . 解： a=sin2x 2sinx=（ sinx 1） 2 1. 1sinx1 ，0 （ sinx 1） 24. a 的范围是 1， 3 . 7 / 14 5.（ XX年上海， 19）记函数 f（ x） =的定义域为 A， g（ x）=lg（ x a 1）（ 2a x）（ a 1）的定义域为 B. （ 1）求 A； （ 2）若 BA，求实数 a 的取值范围 . 解：（ 1）由 2 0 ，得 0 ， x 1 或 x1 ，即 A=（ ， 1） 1， + ） . （ 2）由（ x a 1）（ 2a x） 0，得（ x a 1）（ x 2a） 0. a 1， a+1 2a.B= （ 2a， a+1） . BA ， 2a1 或 a+1 1，即 a 或 a 2. 而 a 1， a 1 或 a 2. 故当 BA时，实数 a 的取值范围是（ ， 2 ， 1） . 培养能力 6.（理）已知二次函数 f（ x） =x2+bx+c（ b0 ， cR ） . 若 f（ x）的定义域为 1， 0时，值域也是 1， 0，符合上述条件的函数 f（ x）是否存在？若存在，求出 f（ x）的表达式；若不存在，请说明理由 . 解：设符合条件的 f（ x）存在， 函数图象的对称轴是 x=， 又 b0 ， 0. 当 0 ，即 0b 1 时， 函数 x=有最小值 1，则 8 / 14 或（舍去） . 当 1 ，即 1b 2 时，则 （舍去）或（舍去） . 当 1，即 b2 时，函数在 1， 0上单调递增，则解得 综上所述，符合条件的函数有两个， f（ x） =x2 1 或 f（ x）=x2+2x. （文）已知二次函数 f（ x） =x2+（ b+1） x+c（ b0 ， cR ） . 若 f（ x）的定义域为 1， 0时，值域也是 1， 0，符合 上述条件的函数 f（ x）是否存在？若存在，求出 f（ x）的表达式；若不存在，请说明理由 . 解： 函数图象的对称轴是 x=，又 b0 ， . 设符合条件的 f（ x）存在， 当 1 时，即 b1 时，函数 f（ x）在 1， 0上单调递增，则 当 1 ，即 0b 1 时，则 （舍去） . 综上所述，符合条件的函数为 f（ x） =x2+2x. 7.（ XX年春季上海， 21）已知函数 f（ x） =x+的定义域为（ 0，+ ），且 f（ 2） =2+.设点 P 是函数图象上的任意一点，过点9 / 14 P 分别作直线 y=x和 y 轴的 垂线，垂足分别为 m、 N. （ 1）求 a 的值 . （ 2）问： |Pm|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由 . （ 3）设 o 为坐标原点，求四边形 omPN面积的最小值 . 解：（ 1） f （ 2） =2+=2+， a=. （ 2）设点 P 的坐标为（ x0， y0），则有 y0=x0+， x0 0，由点到直线的距离公式可知， |Pm|=， |PN|=x0， 有|Pm|PN|=1，即 |Pm|PN|为定值，这个值为1. （ 3）由题意可设 m（ t， t），可知 N（ 0， y0） . Pm 与直线 y=x 垂直， kPm1= 1，即 = 1.解得t=（ x0+y0） . 又 y0=x0+， t=x0+. SoPm=+ ， SoPN=x02+. S 四边形 omPN=SoPm+SoPN= （ x02+） +1+. 当且仅当 x0=1时，等号成立 . 此时四边形 omPN的面积有最小值 1+. 探究创新 8.有一块边长为 4 的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计） .有人应用10 / 14 数学知识作了如下设计：如图（ a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形 ，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（ b） . （ 1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积 V1； （ 2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积 V2 V1. 解：（ 1）设切去正方形边长为 x，则焊接成的长方体的底面边长为 4 2x，高为 x， V1= （ 4 2x） 2x=4（ x3 4x2+4x）（ 0 x2） .V1=4 （ 3x2 8x+4） . 令 V1=0 ，得 x1=， x2=2（舍去） . 而 V1 =12（ x）（ x 2），又当 x时， V1 0；当 x 2 时， V1 0， 当 x=时， V1 取最大值 . （ 2）重新设计方案如下： 如图 ，在正方形的两个角处各切下一个边长为 1 的小正方形；如图 ，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图 ，将图 焊成长方体容器 . 新焊长方体容器底面是一长方形，长为 3，宽为 2，此长方体容积 V2=321=6 ，显然 V2 V1. 11 / 14 故第二种方案符合要求 . 思悟小结 1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探 索性问题属热点内容，应适当加强 . 2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循 . 教师下载中心 教学点睛 数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题 . 拓展题例 【例 1】设 f（ x）是定义在 1， 1上的奇函数，且对任意 a、 b 1， 1，当 a+b0 时，都有 0. （ 1）若 a b，比较 f（ a）与 f（ b）的大小； （ 2）解不等式 f（ x） f（ x ）； （ 3）记 P=x|y=f（ x c） ， Q=x|y=f（ x c2） ，且 PQ= ，求 c 的取值范围 . 解：设 1x1 x21 ，则 x1 x20 ， 0. 12 / 14 x1 x2 0， f （ x1） +f（ x2） 0.f （ x1） f（ x2） . 又 f（ x）是奇函数， f （ x2） = f（ x2） . f （ x1） f（ x2） .f （ x）是增函数 . （ 1） a b， f （ a） f（ b） . （ 2）由 f（ x） f（ x），得 x. 不等式的解集为 x| x. （ 3）由 1x c1 ， 得 1+cx1+c ， P=x| 1+cx1+c. 由 1x c21 ，得 1+c2x1+c2 ， Q=x| 1+c2x1+c2. PQ= ， 1+c 1+c2或 1+c 1+c2， 解得 c 2 或 c 1. 【例 2】（ XX 年南昌市高三第一次质量调研测试题）已知函数 f（ x）的图象与函数 h（ x） =x+2的图象关于点 A（ 0， 1）对称 . （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）（文）若 g（ x） =f（ x） x+ax，且 g（ x）在区间（ 0， 2上为减函数，求实数 a 的取值范围 . （理）若 g（ x） =f（ x） +，且 g（ x）在区间（ 0， 2上为减函数，求实数 a 的取值范围 . 解：（ 1）设 f（ x）图象上任一点坐标为（ x， y），点（ x， y）13 / 14 关于点 A（ 0， 1）的对称点（ x， 2 y）在 h（ x）的图象上 . 2 y= x+2.y=x+ ，即 f（ x） =x+. （ 2）（文） g（ x） =（ x+） x+ax， 即 g（ x） =x2+ax+（ x）在（ 0， 2上递减 2 ， a 4. （理） g（