xx届高考数学第一轮集合与简易逻辑专项复习教案

1 / 13 XX 届高考数学第一轮集合与简易逻辑专项复习教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第一章集合与简易逻辑 网络体系总览 考点目标定位 1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义 . 2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合 . 3.理解逻辑联结词 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义 . 4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质 . 复习方略指南 本章内容在高考中以考查空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容 .逻辑联结词与充要条件这部分，以充要条件为重点考查内容 . 本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中2 / 13 应注意： 1.复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用 . 2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚 . 3.要注意逻辑联结词 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 与集合中的“ 并 ”“ 交 ”“ 补 ” 是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解 . 4.复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌握逻辑知识的目的 . 5.集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通 . 集合的概念与运算 知识梳理 1.集合的有关概念 2.元素与集合、集合与集合之间的关系 （ 1）元素与集合： “” 或 “”. （ 2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系 . 3.集合的运算 （ 1）交集：由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集 合 A与 B 的交集，记为 AB ，即 AB=x|xA且 xB. 3 / 13 （ 2）并集：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的并集，记为 AB ，即AB=x|xA 或 xB. （ 3）补集：一般地，设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集（即 AS），由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做子集 A 在全集 S 中的补集（或余集），记为 SA，即 SA=x|xS且 xA. 点击双基 1.（ XX年全国 ， 1）已知集合 m=x|x2 4， N=x|x2 2x 3 0，则集合 mN 等于 A.x|x 2B.x|x 3c.x| 1 x 2D.x|2 x 3 解析： m=x|x2 4=x| 2 x 2， N=x|x2 2x 30=x| 1 x 3，结合数轴， mN=x| 1 x 2. 答案： c 2.（ XX 年北京西城区抽样测试题）已知集合 A=xR|x 5 ， B=1， 2， 3， 4，则（ RA） B 等于 A.1， 2， 3， 4B.2， 3， 4 c.3， 4D.4 解析： RA=xR|x5 ，而 5 （ 3， 4）， （ RA） B=4 . 答案： D 4 / 13 3.（ XX 年天津， 1）设集合 P=1， 2， 3， 4， 5， 6，Q=xR|2x6 ，那么下列结论正确的是 Q=QQ Q=QP 解析： PQ=2 ， 3， 4， 5， 6， PQP. 答案： D 4.设 U 是全集，非空集合 P、 Q 满足 PQU，若求含 P、 Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是 _. 解析：构造满足条件的集合，实例论证 . U= 1， 2， 3， P= 1， Q= 1， 2，则（ UQ） = 3，（ UP）=2， 3，易 见（ UQ） P=. 答案：（ UQ） P 5.已知集合 A 0， 1， B x xA ， x *， c xxA，则 A、 B、 c 之间的关系是 _. 解析：用列举法表示出 B 1， c， 1， 0， A，易见其关系 .这里 A、 B、 c 是不同层次的集合， c 以 A 的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系 . 答案： BA， Ac ， Bc 典例剖析 【例 1】（ XX年北京， 8）函数 f（ x） =其中 P、 m 为实数集 R的两个非空子集，又规定 f（ P） =y|y=f（ x）， xP ， f（ m）5 / 13 =y|y=f（ x）， xm. 给出下列四个判断，其中正确判断有 若 Pm= ，则 f（ P） f （ m） = 若 Pm ，则 f（ P） f（ m） 若 Pm=R ，则 f（ P） f （ m） =R 若 PmR ，则 f（ P） f （ m） R 个个个个 剖析：由题意知函数 f（ P）、 f（ m）的图象如下图所示 . 设 P= x2， + ）， m=（ ， x1， |x2| |x1|， f（ P）= f（ x2）， + ）， f（ m） = f（ x1）， + ），则 Pm=. 而 f（ P） f （ m） = f（ x1）， + ） ，故 错误 .同理可知 正确 .设 P= x1， + ）， m=（ ， x2， |x2| |x1|，则 Pm=R. f（ P） = f（ x1）， + ）， f（ m） = f（ x2）， + ）， f（ P） f （ m） = f（ x1）， + ） R ，故 错误 .同理可知 正确 . 答案： B 【例 2】已知 A=x|x3 3x2 2x 0， B=x|x2 ax b0且 AB=x|0 x2 ， AB x x 2，求 a、 b 的值 . 解： A=x| 2 x 1 或 x 0， 设 B= x1， x2，由 AB= （ 0， 2知 x2 2，且 1x10 ， 6 / 13 由 AB= （ 2， + ）知 2x1 1. 由 知 x1 1， x2 2， a （ x1 x2） 1， bx1x2 2. 评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法 . 深化拓展 （ XX年上海， 19）记函数 f（ x） =的定义域为 A， g（ x） = lg（ x a 1）（ 2a x）（ a 1）的定义域为 B. （ 1）求 A； （ 2）若 BA，求实数 a 的取值范围 . 提示：（ 1）由 2 0 ，得 0 ， x 1 或 x1 ，即 A=（ ， 1） 1， + ） . （ 2）由（ x a 1）（ 2a x） 0，得（ x a 1）（ x 2a） 0. a 1， a+1 2a.B= （ 2a， a+1） . BA ， 2a1 或 a+1 1，即 a 或 a 2. 而 a 1， a 1 或 a 2. 故当 BA时，实数 a 的取值范围是（ ， 2 ， 1） . 【例 3】（ XX 年湖北， 10）设集合 P=m| 1 m0 ，Q=mR|mx2+4mx 4 0 对任意实数 x 恒成立 ，则下列关系中成立的是 7 / 13 =Q=Q 剖析： Q=mR|mx2 +4mx 4 0对任意实数 x 恒成立 ， 对 m 分类： m=0 时， 4 0 恒成立； m 0 时，需 = （ 4m） 2 4m （ 4） 0，解得 m0. 综合 知 m0 ， Q=mR|m0. 答案： A 评述：本题容易忽略对 m=0的讨论，应引起大家足够的重视 . 【例 4】已知集合 A=（ x， y） |x2+mx y+2=0， B=（ x， y）|x y+1=0， 0x2 ，如果 AB ，求实数 m 的取值范围 . 剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的 .事实上，集合符号在本题中只起了一种 “ 化妆品 ” 的作用，它的实际背景是 “ 抛物线x2+mx y+2=0 与线段 x y+1=0（ 0x2 ）有公共点，求实数 m 的取值范围 ”. 这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质 . 解：由得 x2+（ m 1） x+1=0. AB ， 方程 在区间 0， 2上至少有一个实数解 . 首先，由 = （ m 1） 2 40 ，得 m3 或 m 1. 当 m3 时，由 x1+x2=（ m 1） 0 及 x1x2=1知，方程 只有负根，不符合要求； 当 m 1 时，由 x1+x2=（ m 1） 0 及 x1x2=1 0 知，8 / 13 方程 有两个互为倒数的正根 .故必有一根在区间（ 0， 1内，从而方程 至少有一个根在区间 0， 2内 . 综上所述，所求 m 的取值范围是（ ， 1 . 评述：上述解法应用了数形结合的思想 .如果注意到抛物线x2+mx y+2=0 与线段 x y+1=0（ 0x2 ）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比 的取值范围建立关于 m 的不等式来解 . 深化拓展 设 mR ， A=（ x， y） |y= x+m， B=（ x， y） |x=cos ，y=sin ， 0 2 ，且 AB= （ cos1 ， sin1 ），（ cos2 ， sin2 ） （ 12 ），求 m 的取值范围 . 提示：根据题意，直线 y= x+m与圆 x2+y2=1（ x1 ）交于两点， 1 且 0 1+m. 2 m 2 且 m. 答案： 2 m 2 且 m. 闯关训练 夯实基础 1.集合 A=（ x， y） |x+y=0， B=（ x， y） |x y=2，则 AB是 A.（ 1， 1） B. c.（ 1， 1） D.1， 1 9 / 13 解析： 答案： c 2.（ XX年上海， 3）设集合 A=5， log2（ a+3） ，集合 B=a，b.若 AB=2 ，则 AB=_. 解析： AB=2 ， log2 （ a+3） =2.a=1.b=2. A=5 ， 2， B=1， 2.AB=1 ， 2， 5. 答案： 1， 2， 5 3.设 A=x|1 x 2， B=x|x a，若 AB，则 a 的取值范围是 _. 解析： AB说明 A是 B的真子集，利用数轴（如下图）可知 a1. 答案： a1 4.已知集合 A=xR|ax2+2x+1=0 ， aR 只有一个元素， 则a 的值为 _. 解析：若 a=0，则 x= .若 a0 ， =4 4a=0，得 a=1. 答案： a=0或 a=1 5.（ XX年全国 ，理 6）设 A、 B、 I 均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是 A.（ IA） B=IB. （ IA） （ IB） =I （ IB） =D.（ IA） （ IB） =IB 解析一： A 、 B、 I 满足 ABI，先画出文氏图，根据文氏图可判断出 A、 c、 D 都是正确的 . 10 / 13 解析二：设非空集合 A、 B、 I 分别为 A=1， B=1， 2， I=1，2， 3且满足 ABI.根据设出的三个特殊的集合 A、 B、 I 可判断出 A、 c、 D 都是正确的 . 答案： B 6.（ XX 年春季北京， 15）记函数 f（ x） =log2（ 2x 3）的定义域为集合 m，函数 g（ x） =的定义域为集合 N.求： （ 1）集合 m、 N； （ 2）集合 mN 、 mN. 解：（ 1） m=x|2x 3 0=x|x ； N=x|（ x 3）（ x 1）0=x|x3 或 x1. （ 2） mN=x|x3 ； mN=x|x1 或 x . 培养能力 7.已知 A=xR|x2+2x+p=0 且 AxR|x 0=，求实数 p的取值范围 . 解： AxR|x 0=， （ 1）若 A=，则 =4 4p 0，得 p 1； （ 2）若 A ，则 A=x|x0 ， 即方程 x2+2x+p=0 的根都小于或等于 0. 设两根为 x1、 x2，则 0p1. 综上所述， p0. 8.已知 P=（ x， y） |（ x+2） 2+（ y 3） 24 ， Q=（ x， y）11 / 13 |（ x+1） 2+（ y m） 2 ，且 PQ=Q ，求 m 的取值范围 . 解：点集 P 表示平面上以 o1（ 2， 3）为圆心， 2 为半径的圆所围成的区域（包括圆周）；点集 Q 表示平面上 以 o2（ 1，m）为圆心，为半径的圆的内部 .要使 PQ Q，应使 o2 内含或内切于 o1. 故有 o1o2 2 （ R1 R2） 2，即（ 12） 2（ m 3） 2 （ 2） 2.解得 3 m3 . 评述：本题选题目的是：熟悉用集合语言表述几何问题，利用数形结合方法解题 . 探究创新 9.若 B=x|x2 3x+2 0，是否存在实数 a，使 A=x|x2（ a+a2） x+a3 0且 AB=A ？请说明你的理由 . 解： B=x|1 x 2，若存在实数 a，使 AB=A ，则 A=x|（ x a）（ x a2） 0. （ 1）若 a=a2，即 a=0或 a=1时，此时 A=x|（ x a） 2 0=，满足 AB=A ， a=0 或 a=1. （ 2）若 a2 a，即 a 1 或 a 0 时， A=x|0 x a2，要使 AB=A ，则 1 a ， 1 a. （ 3）若 a2 a，即 0 a 1 时， A=x|a x a2，要使 AB=A ，则 1a2 ， a. 综上所述，当 1a 或 a=0时满足 AB=A ，即存在实数 a，使 A=x|x2（ a+a2） x+ 12 / 13 a3 0且 A