xx届高考数学第二轮知识点复习 函数概念与基本初等函数ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）

1 / 30 XX 届高考数学第二轮知识点复习 函数概念与基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 函数概念与基本初等函数 （指数函数、对数函数、幂函数）【学法导航】 1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都有，有向抽象函数发展的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考查单调性与奇偶性 . 2.考查与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数 值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力 . 3.考查与指数函数和对数函数有关的试题 .对指数函数与对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理来解决 . 4 加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点 .善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力 . 5、注意与导数结合考查函数的性质 . 6、函数的应用，是与实际生活结合的试题，应加强重视 2 / 30 【典例精析】 1.函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要 肯于在对定义的深入理解上下功夫 复习函数的性质，可以从 “ 数 ” 和 “ 形 ” 两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化具体要求是： 1正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性 2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法高考资源网 3 培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“ 数形结合思想 ” 的体现。复习函数图像要注意以下方面 1掌握描绘函数图象的两种基本方法 描点法和图象变换法 3 / 30 2会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题 3用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题 4掌握知识之间的联系 ，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力 例 1、（ XX广东汕头二模）设集合 A=x|x1，B=x|log2x0，则 AB=() A x|x1B x|x0c x|x-1D x|x1 【解析】 :由集合 B 得 x1,AB=x|x1 ，故选（ A） 点评本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。 例 2、 “ 龟兔赛跑 ” 讲述了这样的故事：领先的兔子 看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点 用 S1、 S2分别表示乌龟和兔子所行的路程， t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（） 【解析】：选（ B），在（ B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。 点评函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象4 / 30 的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。 例 3、设，又记 则（） A； B； c； D； 【解析】 :本题考查周期函数的运算。， ， 据此，因为型，故选 . 点评本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。 例 4、函数，若 ,则的值为（） -1D.-2 【解析】：为奇函数，又 故即 . 点评本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解 例 5、（ XX广东高考试题）设，函数， ，试讨论函数的单调性 【解析】 对于， 当时，函数在上是增函数； 5 / 30 当时，函数在上是减函数，在上是 增函数； 对于， 当时，函数在上是减函数； 当时，函数在上是减函数，在上是增函数。 点评在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了导数后，函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单调进性，显得更加简单、方便 2.二次函数 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延 .作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线 讨论相互之间关系 .这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题 . 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础 .因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了 . 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征 .从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像6 / 30 特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法 . 例 6、设二次函数 ，方程的两个根满足 .当时，证明 . 【解析】：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式 . 证明：由题意可知 . ， ， 当时， . 又， ， 综上可知，所给问题获证 . 点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式 例 7、设二次函数，方程的两根和满足 （ I）求实数的取值范围； （ II）试比较与的大小并说明理由 【解析】法 1：（ ）令， 则由题意可得 故所求实数的取值范围是 （ II），令 7 / 30 当时， 单调增加， 当时， ，即 法 2：（ I）同解法 1 （ II），由（ I）知， 又于是 ， 即，故 法 3：（ I）方程，由韦达定理得 ，于是 故所求实数的取值范围是 （ II）依题意可设，则由，得 ，故 点评本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力 3.指数函数与对数函数 指数函数 ,对数函数是两类重要的基本初等函数 ,高考中既考查双基 ,又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用 .因此应做到能熟练掌 握它们的图象与性质并能进行一定的综合运用 . 8 / 30 例 8、已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（） A B c D 【解析】：由图易得取特殊点 .选 A. 点评：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 例 9、（ XX 全国 高考试题）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A B c D 【解析】：设，函数在区间上的最大值与最小值分别为 ，它们的差为， ， 4，选 D。 例 10、（ XX全国 高考试题）若，则（） A B c D 【解析】：由，令且取知 4.反函数 反函数在高考试卷中一般为选择题或填空题，难度不大。通常是求反函数或考察互为反函数的两个函数的性质应用和图象关系。主要利用方法为： 反函数的概念及求解步骤： 由方程 y=(x)中解出x=(y)；即用 y 的代数式表示 x.。 改写字母 x 和y，得出 y=-1(x)； 求出或写出反函数的定义域，9 / 30 （亦即 y=(x)的值域）。即反解 互换求定义 域 互为反函数的两个函数的图象之间的关系， 互为反函数的两个函数性质之间的关系：注意：在定义域内严格单调的函数必有反函数，但存在反函数的函数在定义域内不一定严格单调，如 y=1x。 例 11、（ XX北京高考试题）函数的反函数的定义域为（ ） 【解析】：函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为， 选 B。 点评：本题考查互为反函数的两个函数性质之间的关系，即：反函数的定义域为原函数的值域 例 12、（ XX 湖南高考试题）设函数存在反函数 ,且函数的图象过点 (1,2),则函数 的图象一定过点 . 【解析】由函数的图象过点 (1,2)得 :即函数过点则其反函数过点所以函数的图象一定过点 点评：本题考查互为反函数的两个函数的图象之间的关系以及图象的平移 5.抽象函数 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函10 / 30 数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难 .但由于此类试题即能考查函数的概念和性质， 又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题， （一）函数性质法 函数的特征是通过其性质 (如奇偶性，单调性周期性，特殊点等 )反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有 :1，利用奇偶性整体思考 ;2，利用单调性等价转化 ;3，利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合 ;5，借助 特殊点，布列方程等 . （二）特殊化方法 1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将 x 换成 x 等 2、在求函数值时，可用特殊值代入 3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供思路和方法 . 总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和11 / 30 手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感 . 例 13、定义在上的函数满足（），则等于（） A 2B 3c 6D 9 解：令，令； 令得 6.函数的综合应用 函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键 例 14、某单位用 2160万元购得一块空地，计 划在该地块上建造一栋至少 10层、每层 2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为 x（ x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用 =平均建筑费用 +平均购地费用，平均购地费用 =） 12 / 30 【解析】：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得 则，令，即，解得 当时，；当时， 因此，当时，取得最小值，元 . 答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。 点评：这是一题应用题，利用函数与导 数的知识来解决问题。利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法 . 例 15、某商品每件成本 9 元，售价为 30元，每星期卖出432件 .如果降低价格，销售量可以增加， 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比 . 已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24件 （ I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数； （ II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力 【解析】： （ ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为， 则依题意有， 13 / 30 又由已知条件，于是有， 所以 （ ）根据（ ），我们有 2 12 0 0 极小 极大 故时，达到极大值因为， 所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大 点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力 7.函数的零点 例 16、（ XX山东荷泽模拟题）函数的零点所在的区间是） A B （ 1， 10） c D 14 / 30 解：因为 f（ 1） 0 1 0， f（ 10） 1 0，即 f（ 1）f（ 10） 0， 所以函数 f（ x）在区间（ 1,10）之间有零点。 点评：如果函数 f（ x）在区间 a， b上连续，且 f（ a）f（ b） 0，则函数 f（ x）在区间（ a， b）上有零点，函数的零点，二分法，函数的应用都是函数的重点内容。 例 17、（ XX广东高考题）已知 a 是实数，函数，如果函数在区间 -1， 1上有零点， 求实数 a 的取值范围 【解析】当 a=0时，函数为 f(x)=2x-3，其零点 x=不在区间-1， 1上。 当 a0 时，函数 f(x)在区间 -1， 1分为两种情况： 函数在区间 1 ， 1上只有一个零点，此时 或 解得 1a5 或 a= 函数在区间 1 ， 1上有两个零点，此时 或 解得 a5或 a 综上所述，如果函数在区间 1 ， 1上有零点，那么实数 a的取值范围为 15 / 30 (-,1,+) 【专题综合】 1准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识 在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为 两部分第一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常见函数 (一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数 )的图象和性质第一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运用与发展 例 1已知函数 f(x)， xF ，那么集合 (x， y)|y=f(x)，xF(x ， y)|x=1中所含元素的个数是（ ） A 0B 1c 0或 1D 1 或 2 分析：这里首先要识别集合语言，并能正 确把集合语言转化成熟悉的语言从函数观点看，问题是求函数 y=f(x)， xF的图象与直线 x=1 的交点个数 (这是一次数到形的转化 )，不少学生常误认为交点是 1 个，并说这是根据函数定义中 “ 惟一确定 ” 的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的这里给出了函数 y=f(x)的定义域是 F，但未明确给出 1 与 F 的关系，当 1F 时有 1个交点，当 1F时没有交点，所以选 c 16 / 30 2掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力高考资源网 高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视， 如求函数的定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的 函数、方程、不等式是相互联系的对于函数 f(x)与 g(x)，令 f(x)=g(x)， f(x) g(x)或 f(x) g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具 例 2方程 lgx+x=3 的解所在区间为（ ） A (0， 1)B (1， 2) c (2， 3)D (3， +) 分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=lgx与 y=-x+3的图象 (如图 2)它们的交点横坐标，显然在区间 (1， 3)内，由此可排除 A， D至于选 B 还是选 c，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了实际上这是要比较与 2 的大小当 x=2 时， lgx=lg2， 3-x=1由于 lg2 1，因此 2，从而判定 (2 ， 3)，故本题应选 c 17 / 30 说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 解所在的区间数形结合，要在结合方面下功夫不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断 例 3 (1)一次函数 f(x)=kx+h(k0) ，若 m n 有 f(m) 0，f(n) 0，则对于任意 x(m ， n)都有 f(x) 0，试证明之； (2)试用上面结论证明下面的命题： 若 a， b， cR 且 |a| 1， |b| 1， |c| 1，则 ab+bc+ca-1 分析：问题 (1)实质上是要证明，一次函数 f(x)=kx+h(k0) ，x(m ， n)若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x(m ， n)都有 f(x) 0之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的因此本问题的证明要从函数单调性入手 (1)证明： 当 k 0 时，函数 f(x)=kx+h 在 xR 上是增函数， m x n，f(x) f(m) 0； 当 k 0 时，函数 f(x)=kx+h 在 xR 上是减函数， m x n，f(x) f(n) 0 所以对于任意 x(m ， n)都有 f(x) 0 成立 (2) 将 ab+bc+ca+1 写成 (b+c)a+bc+1 ， 构 造 函 数f(x)=(b+c)x+bc+1则 f(a)=(b+c)a+bc+1 18 / 30 当 b+c=0时，即 b=-c， f(a)=bc+1=-+1 因为 |c| 1，所以 f(a)=-+1 0 当 b+c0 时， f(x)=(b+c)x+bc+1 为 x 的一次函数 因为 |b| 1， |c| 1， f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c) 0 ，f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c) 0 由 问 题 (1) 对于 |a| 1 的一切值 f(a) 0 ，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1 0 说明：问题 (2)的关键在于 “ 转化 ”“ 构造 ” 把证明ab+bc+ca -1 转化为证明 ab+bc+ca+1 0，由于式子ab+bc+ca+1 中， a ， b ， c 是 对 称 的 ， 构 造 函 数f(x)=(b+c)x+bc+1，则 f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在 |a| 1， |b| 1， |c| 1 的条件下证明 f(a) 0 (也可构造f(x)=(a+c)x+ac+1，证明 f(b) 0) 例 4定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log3 且对任意x， yR 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证 f(x)为奇函数； (2)若 f(k3)+f(3-9-2) 0 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 分析： 欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 x 都有 f(-x)=-f(x)成 立 在 式 子 f(x+y)=f(x)+f(y) 中，令 y=-x 可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求 f(0)的值令19 / 30 x=y=0可得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0， f(x)是奇函数得到证明 (1)证明： f(x+y)=f(x)+f(y)(x， yR) ， 令 x=y=0，代入 式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0 令 y=-x，代入 式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又 f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x)即 f(-x)=-f(x)对任意 xR 成立，所以 f(x)是奇函数 (2)解： f(3)=log3 0，即 f(3) f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)在 R 上是增函数，又由 (1)f(x)是奇函数 f(k3) -f(3-9-2)=f(-3+9+2) ， k3 -3+9+2， 3-(1+k)3+2 0 对任意 xR 成立 令 t=3 0，问题等价于 t-(1+k)t+2 0对任意 t 0恒成立 R 恒成立 说明：问题 (2)的上述解法是根据函数的性质 f(x)是奇函数且在 xR 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2 对于任意 t 0 恒成立对二次函数 f(t)20 / 30 进行研究求解本题还有更简捷的解法： 分离系数由 k3 -3+9+2得 上述解法是将 k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖 【专题突破】 1对函数作代换 x=g(t)，则总不改变 f(x)值域的代换是()A B c g(t)=(t 1)2D g(t)=cost 2方程 f(x,y)=0 的曲线如图所示，那么方程 f(2 x,y)=0的曲线是 () 3已知命题 p：函数的值域为 R，命题 q：函数 是减函数。若 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，则实数 a的取值范围是 A a1B a2c 1a2D a1 或 a2 4.方程 lgx x 3 的解所在的区间为（） A.(0,1)B.(1,2)c.(2,3)D.(3,+) 5.如果函数 f(x) x bx c 对于任意实数 t，都有 f(2 t) f(2 t)，那么（） (2)f(1)f(4)(1)f(2)f(4) 21 / 30 (2)f(4)f(1)(4)f(2)m(x 1)对满足 |m|2 的一切实数m 的取值都成立。求 x 的取值范围。 16.设等差数列 a的前 n 项的和为 S，已知 a 12， S0，S0。 . 求公差 d 的取值范围； . 指出 S、 S、 、 S 中哪一个值最大，并说明理由。 (1992年全国高考 ) P m AHB Dc 17.如图， AB 是圆 o 的直径， PA垂直于圆 o 所在平面，c 是圆周上任一点，设 BAc ， PA AB=2r，求 异面直线PB和 Ac的距离。 18.已知 ABc 三内角 A、 B、 c 的大小成等差数列，且tanAtanc 2，又知顶点 c 的对边 c 上的高等于 4,求 ABc 的三边 a、 b、 c 及三内角 19.设 f(x) lg，如果当 x( -,1 时 f(x)有意义，求实数 a 的取值范围。 20 已 知 偶 函 数 f(x)=cossinx sin(x 23 / 30 )+(tan 2)sinx sin的最小值是 0，求 f(x)的最大值及此时 x 的集合 21已知，奇函数在上单调 （ ）求字母应满足的条件； （ ）设，且满足，求证： （ ）、参考答案 1不改变 f(x)值域，即不能缩小原函数定义域。选项 B， c，D 均缩小了的定义域，故选 A。 2先作出 f(x,y)=0 关于轴对称的函数的图象，即为函数f(-x,y)=0 的图象，又 f(2 x,y)=0 即为，即由 f(-x,y)=0 向右平移 2 个单位。故选 c。 3命题 p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题 q 为真时，。 若 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，故 p 和 q 中只有一个是真命题 ，一个是假命题。 若 p 为真， q 为假时，无解；若 p 为假， q 为真时，结果为1a0），则，解出 x 2，再用万能公式，选 A； 8利用是关于 n 的一次函数，设 S S m， x，则（ ,p）、(,q)、 (x， p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得 x 0，则答案： 0； 9设 cosx t， t -1,1，则 a t t 1 ,1，所以答案： ,1； 10设高 h，由体积解出 h 2，答案： 24； 11设长 x，则宽，造价 y 4120 4x80 801760 ，答案： 1760。 12运用条件知： =2，且 =16 13依题意可知，从而可知，所以有 ，又为正整数，取，则 ，所以，从而，所以，又，所以，因此有最小值为。 下面可证时，从而，所以 ,又 ,所以 ,所以 ,综上可得 :的最小值为 11 14分析 :这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题 要运用复合函数，把 f(x)分解为 u=ax+2x+1和 y=lgu并结合其图象性质求解 25 / 30 解 :(1)的定义域是 R 对一切实数恒成立 . a=0或 a 0 不合题意， 所以 故 a 1即为所求 . (2)的值域域是 R 能取遍一切正实数 . a 0 时不合题意； a=0时， u=2x+1， u 能取遍一切正实数； a 0 时，其判别式 =22 -4a10 ，解得 0 a1 所以当 0a1 时 f(x)的值域是 R 15分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于 x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以 m 为变量，即关于m 的一次不等式 (x 1)m (2x 1)0 在 -2,2上恒成立的问题。对此的研究，设 f(m) (x 1)m (2x 1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数） f(m)的值在 -2,2内恒为负值时参数 x 应该满足的条件。 解：问题可变成关于 m 的一次不等式： (x 1)m (2x1)m(x 1)的解集是 -2,2时求m 的值、关于 x 的不等式 2x 1m(x 1)在 -2,2上恒成立时求 m 的范围。 26 / 30 一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。 16分析： 问利用公式 a 与 S 建立不等式，容易求解 d 的范围； 问利用 S 是 n 的二次函数，将 S 中哪一个值最大，变成求二次函数中 n 为何值时 S 取最大值的函数最值问题。 解： 由 a a 2d 12,得到 a 12 2d，所以 S 12a 66d 12(12 2d) 66d 144 42d0， S 13a 78d 13(12 2d) 78d 156 52d0。 解得： d 3。 S na n(n1 1)d n(12 2d) n(n 1)d n (5 ) (5 ) 因为 d0，故 n (5 )最小时， S 最大。由 d 3 得 6(5 )，故正整数 n 6 时 n (5 )最小，所以 S 最大。 说明：数列的通项公式及前 n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此 可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快。由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。 本题的另一种思路是寻求 a0、 a0，即邻项变号：由 d0知道27 / 30 aaa ，由 S 13a0 得 a0，由 S 6(a a)0得 a0。所以，在S、 S、 、 S 中， S 的值最大 17分析：异面直线 PB 和 Ac 的距离可看成求直线 PB 上任意一点到 Ac 的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数 而求函数最小值。 P m AHB Dc 解：在 PB上任取一点 m，作 mDAc 于 D， mHAB 于 H， 设 mH x，则 mH 平面 ABc， AcHD 。 mD x (2r x)sin (sin 1)x 4rsinx 4rsin (sin 1)x 即当 x时， mD取最小值为两异面直线的距离。 说明：本题巧在将立体几何中 “ 异面直线的距离