xx届高考理科数学第一轮集合与常用逻辑用语总复习教案

1 / 14 XX 届高考理科数学第一轮集合与常用逻辑用语总复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第一章 集合与常用逻辑用语 高考导航 考试要求重难点击命题展望 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系； (2)能用自然语言、图形语言、集合语言 (列举法或描述法 )描述不同的具体问题 . 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义 . 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； (3)能使用韦恩 (Venn)图表达集合的关系及运算 . 4.命题及其关系 2 / 14 (1)理解命题的概念； (2)了解 “ 若 p，则 q” 形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系； (3)理解必要条件，充分条件与充要条件的意义 . 5.简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词 “ 或 ” 、 “ 且 ” 、 “ 非 ” 的含义 . 6.全称量词与存在量词 (1)理解全称量词与存在量词的 意义； (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定 .本章重点： 1.集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算； 2.命题的必要条件、充分条件与充要条件，对所给命题进行等价转化 . 本章难点： 1.自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换； 2.充分条件、必要条件的判断； 3.对含有一个量词的命题进行否定的理解 .1.考查集合本身的基础知识，如集合的概念，集合间的关系判断和运算等； 2.将集合知识与其他知识点综合，考查集合语言与集合思想的运用； 3.考查命题的必要条件、充分条件与充要条件，要 求考生会对所给命题进行等价转化； 4.要求考生理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含3 / 14 有一个量词的命题进行否定 . 知识网络 集合及其运算 典例精析 题型一 集合中元素的性质 【例 1】设集合 A a 1， a 3， 2a 1， a2 1，若 3A ，求实数 a 的值 . 【解析】令 a 1 3a 4，检验合格； 令 a 3 3a 0，此时 a 1 a2 1，舍去； 令 2a 1 3a 1， 检验合格； 而 a2 1 3；故所求 a 的值为 1 或 4. 【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性 .首先确定 3是集合 A 的元素，但 A 中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出 a 的值以后，又需要由元素的互异性检验 a 是否符合要求 . 【变式训练 1】若 a、 bR ，集合 1， a b， a 0， ba，b，求 a 和 b 的值 . 4 / 14 【解析】由 1， a b， a 0， ba， b， 得 或 显然 无解；由 得 a 1， b 1. 题型二 集合的基本运算 【例 2】已知 A x|x2 8x 15 0， B x|ax 1 0，若 BA，求实数 a. 【解析】由已知得 A 3 ， 5.当 a 0 时， B A；当 a0 时， B 1a. 要使 BA，则 1a 3 或 1a 5，即 a 13 或 15. 综上， a 0 或 13 或 15. 【点拨】对方程 ax 1，两边除以 x 的系数 a，能不能除，导致 B 是否为空集，是本题分类讨论的根源 . 【变式训练 2】 (XX 江西 )若集合 A x|x|1 ， xR ， B y|y x2， xR ，则 AB 等于 ( ) A.x| 1x1B. x|x0 c.x|0x1D. 【解析】选 1,1， B 0, ) ，所以 AB 0,1. 题型三 集合语言的运用 【例 3】已知集合 A 2， log2t，集合 B x|x2 14x240 ， x， tR ，且 AB. (1)对于区间 a， b，定义此区间的 “ 长度 ” 为 b a，若 A的区间 “ 长度 ” 为 3，试求 t 的值； (2)某个函数 f(x)的值域是 B，且 f(x)A 的概率不小于，5 / 14 试确定 t 的取值范围 . 【解析】 (1)因为 A 的区间 “ 长度 ” 为 3，所以 log2t 2 3，即 log2t 5，所以 t 32. (2)由 x2 14x 240 ，得 2x12 ，所以 B 2,12，所以 B 的区间 “ 长度 ” 为 10. 设 A 的区间 “ 长度 ” 为 y，因为 f(x)A 的概率不小于， 所以 y10 ，所以 y6 ，即 log2t 26 ，解得 t28 256. 又 AB，所以 log2t12 ，即 t212 4096，所以 t的取值范围为 256,4096(或 28,212). 【变式训练 3】设全集 U 是实数集 R， m x|x2 4， N x|2x 11 ，则图中阴影部分所表示的集合是 ( ) A.x| 2x 1 B.x| 2x2 c.x|1 x2 D.x|x 2 【解析】选 c. 化简得 m x 2 或 x 2， N x|1 x3 ，故图中阴影部分为 RmN x|1 x2. 总结提高 1.元素与集合及集合与集合之间的关系 对于符号 ， 和 ， 的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关6 / 14 系 . 2.“ 数形结合 ” 思想在集合运算中的运用 认清集合的本质特征，准确地转化为图 形关系，是解决集合运算中的重要数学思想 . (1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理 . (2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决 . 3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如 AB， AB A， AB B 等条件中，集合A 可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论 . 命题及其关系、充分条件与必要条件 典 例精析 题型一 四种命题的写法及真假判断 【例 1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假 . (1)若 m， n 都是奇数，则 m n 是奇数； (2)若 x y 5，则 x 3 且 y 2. 【解析】 (1)逆命题：若 m n 是奇数，则 m， n 都是奇数，假命题； 否命题：若 m， n 不都是奇数，则 m n 不是奇数，假命题； 7 / 14 逆否命题：若 m n 不是奇数，则 m， n 不都是奇数，假命题 . (2)逆命题：若 x 3 且 y 2，则 x y 5，真命题； 否命题：若 x y5 ，则 x3 或 y2 ，真命题； 逆否命题：若 x3 或 y2 ，则 x y5 ，假命题 . 【点拨】写命题的四种形式，关键是找出命题的条件与结论，根据四种命题结构写出所求命题 .判断四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性 . 【变式训练 1】已知命题 “ 若 p，则 q” 为真，则下列命题中一定为真的是 ( ) A.若 p，则 qB.若 q，则 p c.若 q，则 pD.若 q，则 p 【解析】选 B. 题型二 充分必要条件探究 【例 2】设 m 0，且为常数，已知条件 p： |x 2| m，条件 q： |x2 4| 1，若 p 是 q 的必要非充分条件，求实数 m的取值范围 . 【 解析】设集合 A x|x 2| m x|2 m x 2 m，B x|x2 4| 1 x|3 x 5 或 5 x 3. 由题设有： qp 且 p 不能推出 q，所以 pq 且q 不能推出 p，所以 AB. 因为 m 0，所以 (2 m， 2 m)(3， 5)， 故由 2 m5 且 2 m30 m5 2，故实数 m 的8 / 14 取值范围为 (0， 5 2. 【点拨】正确化简条件 p 和 q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决 . 【变式训练 2】已知集合 A x|a 2 x a 2， B x|x 2 或 x4 ，则 AB 的充要条件是 ( ) a2B. 2 a 2 a a 2 【解析】选 A.因为 A x|a 2 x a 2， B x|x 2或 x4 ，且 AB ，所以如图，由画出的数轴可知， 即 0a2. 题型三 充分必要条件的证明 【例 3】设数列 an的各项都不为零，求证：对任意 nN*且 n2 ，都有 1a1a2 1a2a3 1an 1an n 1a1an 成立的充要条件是 an为等差数列 . 【证明】 (1)(充分性 )若 an为等差数列，设其公差为 d，则 1a1a2 1a2a3 1an 1an 1d(1a1 1a2) (1a21a3) (1an 1 1an) 9 / 14 1d(1a1 1an) an a1da1an n 1a1an. (2)(必要性 )若 1a1a2 1a2a3 1an 1an n 1a1an， 则 1a1a2 1a2a3 1an 1an 1anan 1 na1an 1， 两式相减得 1anan 1 na1an 1 n 1a1ana1nan (n 1)an 1. 于是有 a1 (n 1)an 1 nan 2， 由 得 nan 2nan 1 nan 2 0，所以 an 1 an an 2 an 1(n2). 又由 1a1a2 1a2a3 2a1a3a3 a2 a2 a1， 所以 nN*,2an 1 an 2 an，故 an为等差数列 . 【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和 必要性两方面进行探求 . 【变式训练 3】设 0 x 2 ，则 “xsin2x 1” 是 “xsinx 1” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 c.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选 B.若 xsinx 1，因为 x(0 ， 2) ，所以 xsinx xsin2x，由此可得 xsin2x 1，即必要性成立 .若 xsin2x 1，由于函数 f(x) xsin2x 在 (0， 2) 上单调递增，且2sin22 2 1，所以存在 x0(0 ， 2) 使得 x0sin2x0 1.又 x0sinx0 x0sin2x0 1，即 x0sinx0 1，所以存在x0(0 ， x0)使得 x0sin2x0 1，且 x0sinx01 ，10 / 14 故充分性不成立 . 总结提高 1.四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上 . 2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的 .适合这种处理方法的题型有： 原命题含有否定词 “ 不 ” 、 “ 不能 ” 、 “ 不是 ” 等； 原命题含有 “ 所有的 ” 、 “ 任意的 ” 、 “ 至少 ” 、 “ 至多 ” 等； 原命题分类复杂，而逆否命题分类简单； 原命题化简复杂，而逆 否命题化简简单 . 是 q 的充分条件，即 pq，相当于分别满足条件 p 和q 的两个集合 P 与 Q 之间有包含关系： PQ，即 PQ 或P Q，必要条件正好相反 .而充要条件 pq 就相当于 P Q. 4.以下四种说法表达的意义是相同的： 命题 “ 若 p，则 q”为真； pq ； p 是 q 的充分条件； q 是 p 的必要条件 . 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词 典例精析 题型一 全称命题和特称命题的真假判断 【例 1】判断下列命题的真假 . 11 / 14 (1)xR ， 都有 x2 x 1 12； (2) ， 使 cos( ) cos cos ； (3)x， yN ，都有 x yN ； (4)x0， y0Z ，使得 2x0 y0 3. 【解析】 (1)真命题，因为 x2 x 1 (x 12)2 3434 12. (2)真命题，例如 4 ， 2 ，符合题意 . (3)假命题，例如 x 1， y 5，但 x y 4N. (4)真命题，例如 x0 0， y0 3，符合题意 . 【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一 个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立 . 【变式训练 1】已知命题 p： xR ，使 tanx 1，命题 q： xR ， x2 0.则下面结论正确的是 ( ) A.命题 “pq” 是真命题 B.命题 “pq” 是假命题 c.命题 “pq” 是真命题 D.命题 “pq” 是假命题 【解析】选 D.先判断命题 p 和 q 的真假，再逐个判断 .容易知命题 p 是真命题，如 x 4 ， p 是假命题；因为当 x 0时， x2 0，所以命题 q 是假命题， q 是真命题 .所以 “pq”是假命题， A 错误； “pq” 是真命题， B 错误； “pq”是假命题， c 错误； “pq” 是假命题， D 正确 . 题型二 含有一个量词的命题的否定 12 / 14 【例 2】写出下列命题的否定，并判断其真假 . (1)p： xR ， x2 x 140 ； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r： xR ， x2 2x 20 ； (4)s：至少有一个实数 x，使 x3 1 0. 【解析】 (1)p： xR ， x2 x 14 0，是假命题 . (2)q：至少存在一个正方形不是矩形 ，是假命题 . (3)r： xR ， x2 2x 2 0，是真命题 . (4)s： xR ， x3 10 ，是假命题 . 【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可 . 【变式训练 2】已知命题 p： x(1 ， ) ， log3x 0，则 p 为 . 【解析】 x0(1 ， ) ， log3x00. 题型三 命题的真假运用 【例 3】若 r(x)： sinx cosx m， s(x)： x2 mx 1 0，如果 “ 对任意的 xR ， r(x)为假命题 ” 且 “ 对任意的 xR ，s(x)为真命题 ” ，求实数 m 的取值范围 . 【解析】因为由 m sinx cosx 2sin(x 4) 恒成立，得m 2； 而由 x2 mx 1 0 恒成立，得 m2 4 0，即 2