高中数学第二章推理与证明2.3第1课时数学归纳法1学案【新人教版】.docx

2.3 第一课时 数学归纳法(1)一、课前准备1课时目标1.了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤2.掌握数学归纳法证明问题的方法3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题2基础预探(1)归纳法：由一些特殊事例推出 的推理方法.特点：由 (2)不完全归纳法: 根据事物的 得出一般结论的推理方法 (3)完全归纳法: 把研究对象 考查到了而推出结论的归纳法(4)数学归纳法:对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明 ；然后假设当时命题成立，证明 这种证明方法就叫做数学归纳法二、学习引领1. 问题情景(1)华罗庚的“摸球实验”这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？方法一：把它全部倒出来看一看特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性.方法二：一个一个拿，拿一个看一个比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球特点：有顺序，有过程如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球,上述方法可行吗？2.费马（）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献他曾认为，当时，一定都是质数，这是他对作了验证后得到的后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（）却证明了4 294 967 297 6 700 417641,从而否定了费马的推测没想到当这一结论便不成立(3)探讨, 当时，是否都为质数验证：，,但是，是合数这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来 , 寻求数学证明.2.不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法. 如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳.不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要.3.完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时命题也成立,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立,上述证明方法叫做数学归纳法补充说明：（1）数学归纳法适用于与正整数有关的问题，常用来证明用不完全归纳得到的结论要有强烈的数学归纳法与正整数之间的对应意识，做到看到有关正整数的证明问题，马上想到是否可以用数学归纳法来证明 （2）“数学归纳法”与“归纳法”不同，“归纳法”是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，而“数学归纳法”是一种有关正整数问题的证明方法“归纳法”通常可分为完全归纳法和不完全归纳法，其中完全归纳法的结论是正确的，而不完全归纳法得出的结论则不一定正确而用“数学归纳法”证明的结论必是正确的（3）这两步步骤缺一不可. （4）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当时命题成立”.（5）数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析.5.用数学归纳法证题的两个步骤及其作用 数学归纳法的定义即是证题的步骤，在证明过程中必须按步骤进行其中，第一步是奠基步骤，是论证命题成立的基础保证，也称为归纳基础（又称特殊性）；第二步是递推步骤，是解决命题具有后继传递性的保证（又称延续性），即只要命题对于某个正整数成立，就能保证该命题对于后续正整数都成立这两个步骤相辅相成，缺一不可数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数有关问题的有力工具，一种具普遍性的方法.三、典例导析题型一 等式问题例1已知，求证：思路导析:先证明时不等式成立,再假设当时成立,证明时成立证明：（1）当时，等式左边，右边，等式成立（2）假设当时，命题成立即则当时，。当时，等式成立综上，由（1）和（2）可知，对于任何，等式成立规律总结:注意从到时，左侧增加了哪一些项,在证明过程中注意凑的技巧，即“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系变式训练1.用数学归纳法证明：题型二 不等式问题例2.求证：思路导析: 由到时，对左侧增加的项进行适当的缩小证明：（1）当时，左边，不等式成立（2）假设当时命题成立，即则当时，所以当时不等式也成立由（1）和（2）可知，原不等式对一切，均成立规律总结:利用数学归纳法证明不等式时经常使用适当“放缩”的技巧, 关键是充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系,对增加的项进行适当放缩，此外，还有拆项添项、作差（作商）等方法。变式训练2.已知，求证： 题型三 整除性问题例3.利用数学归纳法证明能被9整除思路导析:注意与的联系，对进行重新组合，使用上归纳假设证明：（1）当时，能被9整除，所以命题成立（2）假设当时命题成立，即能被9整除那么当时， 由归纳假设知，能被9整除，而也能被9整除，故能被9整除.这就是说，当时，命题也成立由（1）和（2）可知，对一切，都能被9整除规律总结:涉及整除问题，常利用提取公因式凑成假设、凑出整除式等方法，其中等价变换的技巧性较强变式训练3:求证：能被整除（其中）题型四 实际问题例4.试证：任何一个正方形都可以分割成5个以上的任意多个正方形思路导析:一个正方形分割成4个正方形是很容易的由此猜想：若能把一个正方形分割成个正方形，则必能分割成个正方形故第一步应对的情形加以验证第二步，则只需从递推到证明：（1）当时，由以下各图所示的分割方法知，命题成立（2）假设当时命题成立，即一个正方形必能分割成个正方形那么，只要把其中任意一个正方形两组对边的中点分别连结起来，即把该正方形再分割成4个小正方形，则正方形的个数就增加了3个因而原正方形就分割成了个正方形，即当时命题也成立因为任何一个大于5的自然数都可以表示成中的一种形式，所以根据（1）和（2），可知命题对任何大于5的自然数都成立规律总结:新的递推形式，即（1）验证 成立；（2）假设成立，并在此基础上,推出成立. 根据(1)和(2)，对一切自然数,命题都成立.变式训练4.求证：棱柱中过侧棱的对角面的个数是四、随堂练习1.用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ）A2B3C5D62.下面四个判断中，正确的是（ ）A式子，当时为1B式子，当时为C式子，当时为D设,则3用数学归纳法证明“能被6整除”的过程中，当时，式子应变形为 4.用数学归纳法证明不等式时，不等式在时的形式是 5.用数学归纳法证明：能被64整除6.已知是大于1的自然数，求证：五、课后作业1.已知，则（ ）A BC D2.凸边形有条对角线，则凸边形的对角线的条数为（ ）ABCD3用数学归纳法证明，第一步即证不等式 成立4.用数学归纳法证明命题：，从“第步到步”时，两边应同时加上 5.用数学归纳法证明：6.已知，定义，且试证明：对一切，都有第一课时 数学归纳法(1)答案及解析2基础预探(1)一般结论 特殊到一般(2)部分(而不是全部)特例(3) 一一都(4) 当取第一个值时命题成立 当时命题也成立三、典例导析变式训练1.证明：（1）当时，左边，右边左边，等式成立（2）假设时等式成立，即则当时，左边，时，等式成立由（1）和（2）知对任意，等式成立变式训练2.证明：（1）当时，原不等式显然成立，当时，不等式左边，右边，则左边右边，当时，原不等式成立（2）假设当时，成立，则时，所以当时原不等式也成立由（1）和（2），可知原不等式对任何都成立变式训练3:证明：（1）当时，能被整除，即当时原命题成立（2）假设时，能被整除则当时，由归纳假设及能被整除可知，也能被整除，即命题也成立根据（1）和（2）可知，对于任意的，原命题成立变式训练4.证明：（1）当时，四棱柱有个对角面：，命题成立（2）假设（，）时，命题成立，即符合条件的棱柱的对角面有个现在考虑时的情形第条棱与其余和它不相邻的条棱分别增加了1个对角共个，而面变成了对角面因此对角面的个数变为：，即成立由（1）和（2）可知，对任何，命题成立四、随堂练习1.C 解析: 2.C 解析:当和为3. 解析: 能被6整除, 当时，式子4. 解析: 最后一项为5.证明：（1）当时，能被64整除，命题成立（2）假设时，命题成立，即能被64整除，则当时，因为能被64整除，所以能被64整除即当时，命题也成立由（1）和（2）可知，6.证明：（1）当时，所以不等式成立.（2）假设当（，且）时，成立，则当时，有。所以当时原不等式也成立由（1）和（2），可知原不等式对任何大于1的自然数n都成立对任何，命题成立五、课后作业1.C 解析: 2.C 解析: 时, 时, 3. 解析: 4. 解析：5.证