北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(四).doc

学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（四）11什么是高阶导数？我们知道函数的导数是而导数仍是可导的，它的导数是这种导数的导数就称为对y对x的二阶导数一般地我们有：函数yf（x）的导数仍是x的函数，若函数的导数存在，则称的导数为yf（x）的二阶导数记作相应地，把yf（x）的导数叫作函数yf（x）的一阶导数同样，若二阶导数的导数存在，则称其导数为yf（x）的三阶导数记作一般地，若n1阶导数的导数存在，则称其导数为yf（x）的n阶导数记作这里的n称为导数的阶数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数若yf（x）具有n阶导数，也常说成函数f（x）为n阶可导由以上高阶导数的定义可以看出，要求n阶导数，需要求出n1阶导数，要求n1阶导数，需要求出n2阶导数，要求二阶导数，需要求出一阶导数，因此要求高阶导数，只需要进行一连串通常求导数的运算即可例1 求n次多项式的各阶导数思路启迪 首先求出f（x）的一阶、二阶、三阶等阶数较低的n阶导数，从中找出导数与导数阶数的关系可见，每经一次求导运算，多项式的次数就降低一次继续求导下去，易知：是一个常数，由此有即n次多项式的一切阶数高于n的导数都等于零思路启迪 要证明这个等式成立，而在此等式的左边含有，只要能正确求y对x的两阶导数，将y及代入等式左边并验证其为零即可规范证法例4 求ysinx的n阶导数思路启迪 求sinx的n阶导数的关键是找出n阶导数与导数的阶数的关系，为此我们可以先求出较低n阶导数，从中归纳出导数与导数的阶数的关系即可12怎样求隐函数的导数？前面所讨论的函数求导方法，函数都是因变量y已经写成自变量x的明显表达式yf（x）的形式，这样的函数称为显函数但有时我们所遇到的函数关系不是明显地用显函数形式表示的情形如方程2x5y10及它们都表示x、y之间的函数关系一般地我们把由方程F（x，y）0表示的因变量y自变量x的函数关系式yf（x）称为隐函数对于隐函数，有时可以根据确定隐函数关系的方程找出显函数形式yf（x），从而可利用前面的求导方法把它的导数找出来，但有时要把这个隐函数表示成显函数的形式是比较复杂的，有时甚至是不可能的，这时要利用前面的方法求导数就比较困难，甚至不可能，因此，我们有必要寻求隐函数的求导方法实际上，对于隐函数我们不需要把它表示成显函数的形式，就可以把它的导数求出来方法是：将确定隐函数的方程的两端同时对x求导（注意到y表示x的函数），求导过程中，遇到变量y，把y看中间变量，先对y求导，再乘以y对x的导数（即遇到变量y要利用复合函数的求导法则）这样，我们可以得到一个关于的一元一次方程，解出即可思路启迪 由于y是x的函数，可将y写成x的函数的形式y（x），则可写成思路启迪 由于方程所确定的是y为x的函数，可将y写成x的形式y（x），则该方程可写成于是由隐函数的求导法则得规范解法 将方程两端对x求导，并利用函数的求导法则得13什么是对数求导法？它主要适用于哪些类型函数的求导？对数求导法是将函数yf（x）两端取绝对值（由于求导之后绝对值同时去掉，因此常把取绝对值这一步省略，认为f（x）为正值，即lnf（x）有意义）然后再两端取对数（取自然对数，它的导数形式比较简单）这时我们就把它化成隐函数，然后再求出它的导数这种把显函数取对数化成隐函数再求导的方法称为对数求导法它常用于由若干因式的积、商或根式组成的函数和幂指函数的求导运算对数求导法的优点是：它把积变成和，把商变成差，把幂指变成积易知，和差的求导运算要比乘、商的求导运算简单具体步骤如下：（1）两端取绝对值（常略去）之后，再取自然对数（2）等式两端分别对自变量求导举例如下思路启迪 在前面我们利用恒等式求出了该函数的导数，在此我们将利用隐函数求导法求它的导数这里可将等式两端取对数首先把它变成隐函数，再利用隐函数求导法规范解法 两端取对数lnyg（x）lnf（x），两端对x求导思路启迪 该函数是由两个函数的商构成，而商的分子和分母都是由三个函数的积所构成，若直接利用商与积的求导法则就比较麻烦，但若借助于两端取对数，再利用隐函数的求导方法就比较简单规范解法 两端取对数lnyln（x1）ln（x2）ln（x3）ln（x4）ln（x5）ln（x6）,两端对x求导14怎样利用导数判别函数的单调性？我们知道，如果函数f（x）在区间（a，b）内是增函数或是减函数，那么我们就说函数f（x）在区间（a，b）具有单调性，区间（a，b）称为f（x）的单调区间那么怎样利用导数判别函数的单调性呢？设函数f（x）在（a，b）可导，则曲线yf（x）处处有切线如图3-4，曲线上每点的切线与x轴正向的夹角是锐角，即这时函数在（a，b）是增函数如图3-5曲线上每点的切线与x轴正向的夹角为钝角，即此时函数f（x）在（a，b）是减函数一般地，设函数yf（x）在区间I内可导，如果对任意的点xI，有则f（x）在I内是增函数，若对于任意的点xI，有则f（x）在I内为减函数思路启迪 利用导数判别函数单调性，首先要求函数的导数，然后确定导数在哪些范围内是正值，哪些范围内是负值，从而确定出函数的增减区间即当x（，1）（3，）时，f（x）是增函数即当x（1，3）时，f（x）是减函数（图3-6）即当x（，0）时，f（x）是增函数即当x（0，）时f（x）是减函数（如图3-7）分析上面的例题，当x1或x3时，单调增加，当1x3时，f（x）单调减少，而当x1或x3时，当x0时单调增加；当x0时，f（x）单调减少，而当x0时，这说明使点x可能是f（x）单调增加与单调减少的分界点因此讨论可导函数的单调性，我们也可以按照以下步骤去作：即求出f（x）的导数，解出使的点，用这些点将f（x）的定义域分成若干个区间，然后在各个区间上判别的符号，从而可得f（x）在各个区间上的单调性后两步可用一个表格来完成列表由上表可知：f（x）在（1）与（1，）上是单调增加的；在（1，1）上是单调减少的15怎样利用导数求可导函数的极值？已知函数在点O附近的任意点x，都有即函数在点O的值要比它附近的任意点的函数值都要小（如图3-8），这时，我们称函数在点O取极小值而函数在点O附近的任意点x，都有，即函数在点O的值要比它附近的每一点的函数值都要大（如图3-9），这时，我们就说在点O取极大值一般地，设函数f（x）在点附近内有定义，若对点附近的每一点x，都有，我们就称它为f（x）在点取极大值，是f（x）在点处的极大值，记作称为函数f（x）的极大值点如果对点附近的所有点x，都有，我们就称函数f（x）在点取极小值，是f（x）在点处的极小值，记作称为函数f（x）的极小值点极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点已知函数的导数是，在点O的值是0，即在点O的左侧，即当x0时，有导数；在点O的右侧，即当x0时，导数函数在点O取极小值函数的导数是在点O的左侧，即当x0时，有导数；在点O的右侧，即当时，有导数函数在点O取极大值一般地，当函数f（x）在点的附近可导时，我们判别函数f（x）在点处取极大（小）值的方法是：（1）若在点的左侧，右侧则是极小值（2）若在点的左侧，右侧则是极大值从上面的讨论，我们可以看到，若f（x）在点可导，且在点取极值，则有，即可导的极值点满足但是满足的点不一定是极值点，如，在O点处的值，但O不是f（x）的极值点一般地，我们求函数极值的步骤是：（）判别函数f（x）的导数在每个根两侧的符号，并根据的符号确定f（x）在是否取极值思路启迪 求出并令得其根等，用将函数的定义域分成若干个区间，在每个区间上用的符号列出y的增减性所以，当x1时，有极小值；当x1时，有极大值列表16怎样利用导数求函数在闭区间上的最大值与最小值？对于实际问题该怎样解决？在生产实践和工程技术中，常常遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”、“收益最大”、“用料最省”、“成本最低”和“效率最高”等问题，这类问题在数学上有时可归纳为求某函数的最大值或最小值问题如图311，在闭区间a，b上，对于a，b，都有f（x）f（b），f（b）就称为f（x）在a，b上的最小值；对于a，b，有就称为f（x）在a，b上的最大值一般地，设f（x）在区间I上有定义，若存在点，使对每一点xa，b都有，则称f（x）在I上有最大值，记为M，即；若存在点，使对每一点xa，b都有，则称函数f（x）在I上有最小值，记为m即一般地，若yf（x）在a，b上连续，则f（x）在a，b上必有最大值与最小值但函数yf（x）在开区间（a，b）内连续，则不一定有最大值与最小值如在（0，）内连续，但f（x）在（0，）内没有最大值与最小值从图311可以看出，若函数的最小值在区间a，b的内部间取得，则必在极小值点取得；若函数的最大值在区间a，b的内部取得，则必在极大值点取得最大值与最小值也可能在端点取得，而在极值的讨论中，我们可以看出，对于可导函数来说，极值点可能在使的点x处取得因此，对于可导函数来说，它的最大值与最小值若在区间的内部取得，只可能在使得的点取得根据以上分析，若f（x）在a，b上连续且可导，则求f（x）在a，b上的最大值与最小值的步骤为：（2）将f（a）,f（b），进行比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值思路启迪 因为所给函数在3，4上可导，所以，只需把的点与端点的值比较而可得出比较可得，函数f（x）在x4取得它在3，4上的最大值f（4）142；在x1取得它在3，4上的最小值f（1）7对于一个实际问题而言，如果在（a，b）内部的根只有一个，而从实际含义分析知在（a，b）内一定有最大值或最小值存在那么一般来说，就是所要求的最大值或最小值例2 已