维随机变量及其联合分布.ppt

到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布。 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。,在射箭时,命中点的位置是由一对坐标( X, Y )来确定的。,飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量( X，Y，Z ）来确定的。,第三章 多维随机变量及其分布,第一讲 二维随机变量及其联合分布,第三讲 相互独立的随机变量,第二讲 边缘分布与条件分布,第四讲 二维随机变量函数的分布,一般地，我们称n个随机变量的整体 X = (X1 , X2 , ，Xn ) 为n 维随机变量或随机向量。 以下重点讨论二维随机变量。,第一讲 二维随机变量及其联合分布,二维随机变量、联合分布函数 离散变量的联合分布律、 连续变量的联合概率密度,一个试验产生的二维 r.v 可视为向二维平面“投掷”一个“随机点”,注,二维随机变量的概念,设 为样本空间,记,是定义在 上的两个r.v,实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成了二维随机变量 ( H, W ).,二维随机变量( X，Y )的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独讨论X和Y的性质是不够的，还需要把(X，Y)作为一个整体来讨论随机变量X常称为一维随机变量。,2. 二维随机变量也有离散型与非离散型之分： 离散型随机变量指仅取有限对值或无限多对 可列值的随机变量； 非离散性变量则是除离散型随机变量以外的 随机变量的统称，其中最重要的是连续型随机变量。,下面研究的思路与一维一致 使用分布函数， 概率分布和概率密度等函数，来刻划作为一个整体 的二维随 机变量的统计规律.,定义,则称 为二维 的 ，或称为 与 的,分布函数,联合分布函数,几何意义,表示 落入阴影部分的概率,直观上可以看为面积,几何解释 F(x, y) 表示随机点(X ,Y )落在以(x,y )为顶点,且位于该点左下方的无穷矩形内的概率.,. . . . . . . .,. . . .,问,如何利用分布函数计算概率,？,图示,且,当,(x, y),当,且,即 关于 右连续,即 关于 右连续,对任意固定 有,有,且,即 关于 右连续,即 关于 右连续,有,注,例1,设,讨论F (x, y)能否成为二维r.v.的分布函数？,解,x+ y = 1,故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数.,例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为,其中A , B , C 为常数.,确定A , B , C ；,解,二维随机变量也有离散型与非离散型之分： 离散型随机变量指仅取有限对值或无限多对 可列值的随机变量； 非离散性变量则是除离散型随机变量以外的 随机变量的统称，其中最重要的是连续型随机变量。,二维离散型随机变量及其分布列,二维离散型随机变量,(X,Y )的概率分布,一维离散型随机变量,X 的概率分布,分布列,X 和Y 的 联合分布列,可表示为表格形式,类比,非负性,规范性,P33 定义,X 和Y 的联合分布函数,X 的分布函数,离散随机变量的联合分布律,P X = xi ,Y = yj = P (X = xi ) (Y = yj ),1. 设离散随机变量X 的可能取值为 xi ， i = 1，2，,离散随机变量Y 的可能取值为 yj ， j = 1，2，,则称 概率清单 P X = xi ,Y = yj = pi j ， i , j = 1，2， 为二维离散随机变量(X ,Y) 的联合分布律。,二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为,2. 联合分布律的性质, 非负性, 归一性,离散型r.v分布律的本质特征,解,且由乘法公式得,例1,( X, Y ) 所取的可能值是,解,抽取两支都是绿笔,抽取一支绿笔,一支红笔,例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色 圆珠笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别 表示抽出的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的分布律.,故所求分布律为,例3 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .,解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3),PX=0, Y=3,PX=1, Y=1,PX=2, Y=1,PX=3, Y=0,=3/8,=3/8,(X,Y )是二维连续型随机变量,二维连续型随机变量,X 是(一维)连续型随机变量,类比, 位于xOy 面上方的曲面., 它与xOy 面围成的空间区域体积为1., 随机点(X,Y)落在平面区域 D内的概率= 以D为底、曲面 f (x,y)为顶的曲顶柱体的体积,=F(+ , +),非负性,规范性, x (-, +),随机变量X 的分布函数F(x),f (x) 是 X 的概率密度,二维随机变量(X,Y )的分布函数F(x,y),f (x,y)是X 和Y 的联合概率密度,二维连续型随机变量,F ( x，y )可表为某个可积函数f ( x， y )在右上顶点为( x， y )的无穷开放矩形域上的广义积分.,设 ( X, Y ) 的分布函数为F (x, y). 若存在 非负函数 f (x, y) ，可使 则称二维随机变量 (X, Y )为连续型随机变量， 并称 f (x, y) 为 (X, Y ) 的联合概率密度。,密度函数的基本性质,密度函数的本质特征,几何意义,曲面 与平面 围成的“山丘”的体积为 1,曲顶柱体体积,非常重要的公式，是计算有关概率的主要 方法！,注,在 的连续点处，有,解 (1) 由概率密度的归一性,= A / 2 ，, A = 2 ；,(2),(3) 区域G的图形 如右图所示,(4),P