北航有限元分析与应用期末复习题答案.pdf

飞行器结构有限元练习题答案飞行器结构有限元练习题答案 1、证明 3 结点三角形单元的插值函数满足 Ni(xj,yj)=ij，及 Ni+Nj+Nm=1。 证明：3 结点三角形单元的插值函数 Ni、Nj、Nm形式如下： 1 () 2 iii Nab xc=+ iy ( , ,)i j m 其中 1 21 1 ii jj mm xy xy xy = j i mm j xy a xy = 1 1 j i m y y = b 1 1 j i m x c x = ( , ,)i j m 根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子 式乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）的元 素的代数余子式乘积之和等于零。所以 11 11 ( ,)()21 1122 jjjj iiiii mmmm xyyx N x yxy xyyx =+= = 11 11 (,)()00 1122 jjjj ijjjj mmmm xyyx N xyxy xyyx =+= = 11 11 (,)()0 1122 jjjj immmm mmmm xyyx N xyxy xyyx =+= 0= j 即 (,) ijji N xy= 另外 1 () 2 1 ()()() 2 1 (200)1 2 ijmiiijjjmmm ijmijmijm NNNab xc yab xc yab xc y aaabbbxcccy xy +=+ =+ =+ + = 1 a 1 2 3 a 题 2 图 2、图示3结点三角形单元，厚度为t，弹性模量为E，泊松 比=0，试求：插值函数矩阵 N，应变矩阵 B，应力矩阵 S， 单元刚度矩阵 Ke。 解：3结点三角形单元的插值函数Ni、Nj、Nm形式如下： 1 2 Na ,)m() iiii b xc y=+( , i j 其中 1 1 ii jj mm 21 xy xy xy = j i mm j xy a xy = 1 1 j i m y y = b 1 1 j i m x c x = ( , ,)i j m 三角形三点坐标为： 1， ( ,0)a2(0, )a3(0,0) 1 1 N a =x 2 1 N a =y 3 11 1Nx aa = y ee ijm u NNN v = IIIN 000 1 000 xyaxy xyaa = xy N 000 1 000 2 xijm ee yijm xyiijjmm bbb ccc cbcbcb = B 100010 1 000101 011011 a = B ee DD=BS 又 1010 10010 1 00(1)/2001/2 E DE = 0 100010 000101 01/21/201/21/2 E D a = SB 200020 011011 011011 0002024 211031 011213 T Et Dt = = e KBB 2 3、以平面问题常应变三角形单元为例，证明单元刚度矩阵的任何一行（或列） 元素的总和为零。 证明：平面三结点三角形单元的单元刚度方程形式如下： 1111215161 1212225261 3515255563 3 616265663 x y x y fkkkku fkkkkv fkkkku fkkkkv = ? ? ? ? ? 令 1 1u =， 23 0uu= 123 0vvv= 则有 11x1 fk=， 2x31 fk=， 35x1 fk= 1y21 fk=， 24y1 fk=， 36y1 fk= 单元所受合外力平衡，故 x方向： 123 0 xxx fff+= y方向： 123 0 yyy fff+= 所以 112131415161 0kkkkkk+= 同理，其它各列刚度阵元素之和也为0。 由于刚度阵的对称性，K=KT 所以，刚度矩阵每一行元素之和为0。 3 4、试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系： iijjmm xx Lx Lx L=+ iijjmm yy Ly Ly L=+ 证明：三角形的面积坐标如下： 1 () 2 i iii Lab x =+ i c y 1 () 2 j jjj Lab x =+ j c y 1 () 2 m mmm Lab x =+ m c y 其中ai、bi、ci、aj、bj、cj、am、bm、cm、分别是行列式2的代数余子式。 1 21 1 ii jj mm xy xy xy = 根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式 乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）的元素的 代数余子式乘积之和等于零。所以 1 ()()() 2 1 ()()() 2 1 020 2 iijjmm iiiijjjjmmmm iijjmmiijjmmiiiiii x Lx Lx L ab xc y xab xc y xab xc y x a xa xa xb xb xb xxc xc xc x y xyx + =+ =+ =+ + = 同理可得 iijjmm y Ly Ly Ly+= 4 j (6,3) i (2,2) m (5,6) q1 q2 x y 题 5 图 5、写出题5图所示三角形单元的插值函数Ni、Nj、 Nm以及应变矩阵B。 解：平面三结点三角形单元的插值函数为： 1 2 ii Na=+ () ii b xc y+( , ,)i j m 其中 1 21 1 ii j mm j xy xy xy = jj i mm xy a xy = 1 1 j i m y b y = 1 1 j i m x c x = ( , ,)i j m 三角形三点坐标为：， (2,2)i(6,3)j(5,6)m 122 21631 156 = 33 4 2131 24 61 iii jjj mmm abc abc abc = = = = = = = 1 (21 3) 13 i =Nx y 1 ( 243 ) 13 j Nx= + y 1 ( 64 ) 13 m Nx= + y 00030401 11 000010304 213 133441 ijm ijm iijjmm bbb ccc cbcbcb 0 = B 5 7、证明常应变三角形单元发生刚体位移时，单元中将不产生应力。 证明： iijjmm uN uN uN u=+ iijjmm vN vN vN v=+ 发生刚体位移时 0ijm uuuu=（常数） 0ijm vvvv=（常数） （常数） 00 ()1 iijjmmijm uN uN uN uNNNuuu=+=+= = 0 000 ()1 iijjmmijm vN vN vN vNNNvvv=+=+= =（常数） 0 0 0 u x v y ux yx = + 0 0 0 D = 单元中不产生应力。 6 (x3,y3) 6 5 4 3 2 1 (x2,y2) (x1,y1) q x y 题 8 图 8、求图示二次三角形单元在142边作用有均布侧压q 时的等效结点载荷， 假设结点坐标已知， 单元厚度为t。 解：设三角形面积坐标为L1、L2、L3，则形函数： 1112333 ) (21)NLL=、 22 (21)NLL=、(21NLL= 41 4NL= 2 L、 3 L、 1 L 52 4NL= 63 4NL= 在三角形的边上L3=0以 142，所 356 0NNN= ， 3 3 0 0 x y f f = 5 5 0 0 x y f f = ， 6 6 0 0 x y f f = 在三角形142边上建立局部坐标系，如图 1 42 0-1 1 局部坐标系下1、4、2结点的局部坐标分别为-1、0、1 1、4、2点在局部坐标系下的形函数为： 1 2 4 ) 1 1 (1) 2 =+ 1 (1) = ，(1)(1=+， 1 11 1 1 26 l fqtdqlt = ， 1 44 1 2 23 l fqtdqlt = ， 1 22 1 1 26 l fqtdqlt = 其中，l为三角形142边的边长。 1 12 cos 11 sinsin66 y yyl qtqt ffxxl = 1 1cos x ff 21 1 4 42 4 42 coscos 22 sinsin33 x y f 1 1 fyyl qtqt ffxxl = 2 22 2 22 coscos 11 sinsin66 x y f 1 1 fyyl qtqt ffxxl = 其中，为q与水平方向夹角。 7 、验证用面积坐标给出的二次（三角形）单元的插值函数N1N6满足Ni=1 形面积坐标为L1、L2、L3，则各结点的形函数为： 9 （i=16） 。 证明：设三角 111222333 (21)NLL= (21)NLL= (21)NLL= 41 4NL= 52 4NL= 63 4NL= )(221)4LLL+ 2 L 3 L 1 L 11223312233 (211)(44 i NLLLLL LLLL=+ 1 3) 222 12312233112 222444(LLLL LLLLLLLL=+ 2 123321123 2()(22)()LLL LLLLLL=+ 123 1LLL+= 2 2(1)(2NLLL=+ 33312 )() i LL+ 3 L 2 1 11= = 得证 8 0、二维单元在xy坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？在平面 例，其形函数为： 1 内旋转时怎样？单元旋转180后单元刚度矩阵与原来的相同吗？单元作上述变 化时，应力矩阵S如何变化？ 解：以平面三结点三角形单元为 2 iii i 其中 ,)j m 1 ()Nab xc y=+ ( ,i 1 21 1 ii jj mm xy xy xy = jj ijm mm xy ax y xy = mj x y 1 1 j ij m y by y = = m y 1 1 j im m x cx x j x= 进而可得 ( , ,)i j m 00 1 000 2 ijm ij iijjmm bbb ccc cbcbcb 0 m = B T Dt= e KBB D=SB 坐标平移时，bi、 m ci、bj、cj、b、cm均不发生改变 坐标平移时Ke、S矩阵不会变 坐标平移时B矩阵不会发生变化 在平面内转动时，bi、ci、bj、cj、 在平面内转动时Ke、S矩阵会改变 bm、cm一般均要发生改变 单元旋转180度后，bi、ci、bj、cj、bm 单元旋转180度后Ke不会变，而S要变号 、cm均正负号发生改变（中心对称） 9 1、图中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元按局部编码i,j,m的单元 1 刚度阵K 和应力矩阵 S 为： 80662 1 6 1601204 13.54.57.54.5 13.51.51.5 9.51.5 5.5 K = 1 003030 000301 201.51.50.51.5 S = 按图中单元的局部编码写出K ，S。 解：首先将单元旋转 180 度，得到单元 m j m i i m j 单元旋转180度，刚度矩阵不变，应力矩阵变号 于是得到单元的刚度矩阵与应力矩阵 1 806626 1601204 () 13.51.51.5 5.5 K 003030 0301 201.51.50.51.5 13.54.57.54.5 = 1 ()00S = 9.51.5 然后，将单元的结点进行调换，得到单元 j i m m j i i j，j m，m i得 2 9.51.5267.54.5 5.5041.51.5 8066 16012 4.5 13.5 K = 2 300030 010003 0.51.5201.51.5 S = 13.5 m j j i i 10 12、图示为二次四边形单元，试计算N1/x和 N2/y在自然坐标为(1/2,1/2)的点Q的数值（因 为单元的边是直线，可用4个结点定义单元的几 何形状） 。 解：对于八结点矩形单元 1 (1)(1)(1)/4N =+ 8 2 (1)(1)(1)/4N=+ + (1)(1)(1)/4N= 3 4 (1)(1)(1)/4N =+ 22 6 (1)(1)/N= 3.125 5 (1)(1)/2N=+ 2 2 2 7 (1)(1)/2N= 2 (1)(1)/N=+ 8 1 ii i xN x = =，y 代入点Q坐标(1/2,1/2) 8 1 ii i yN = = 1 8 , 1 15.625 ii i xNx = = 8 , 1 5 ii i yNy = = 3 8 , 1 ii i xNx = = 8 , 1 15 ii i yNy = = , , 15.6255 3.1255 xy J xy = 1 1,1, 1 1,1, 15.62550.56250.0257 .125150.56250.0321 x y NN J NN = 1 2,2, 1 2,2, 15.62550.18750.0114 3.125150.06250.0018 x y NN J NN = (10,10) 0 5 6 7 8 题 12 图 x y Q 1 2 3 4 (30,20) (5,40) (40,50) 11 13、 图示为二次三角形单元， 试计算N4/x和N4/y 在点P(1.5,2.0)的数值。 ：设三角形单元面积坐标L1、L2、L3 则二次三角形单元各结点形函数为： 解解 111 (21)L= 222 (21)NLL= 333 (21)NLL= NL 41 4NL= 2 L 3 L 1 L 52 4NL= 63 4NL= 14 4414212 21 44 NNLNLbb LL + 1 2 11 2 2 4 (22) (2 ) bb=+ 12 22xLxLx =+= 44142 2 4 NNLNL L 12 12 1 2 12 4 4(22 22(2 ) cc Lc yLyLy +=+ 1 2) c=+= 100 21421 14 = 1 1 1.52.0 2142 11 = 2 100 21 1.52.04 114 = 4 5 1 12 2 14 b = = 2 10 4 14 b = 1 14 3 11 c = 2 10 11 c = = 4 2 11 2 22 44 (22)4 ( 2)5 40.245 (2 )14 N bb x =+ = + = 4 2 11 2 22 44 (22)4 ( 3)5 (