2017年全国高中数学联赛试题与答案.doc

2017年全国高中数学联赛试题与答案第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1.设是定义在上的函数，对任意实数有又当时，则的值为 答案：解：由条件知，所以2.若实数满足，则的取值范围是 答案：解：由于，故由可知，因此当时，有最小值（这时可以取）；当时，有最大值（这时可以取）由于的值域是，从而的取值范围是3.在平面直角坐标中，椭圆的方程为，为的上焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为 答案：解：易知设的坐标是则 其中当时，四边形的面积的最大值为 另解：易知经过上位于第一象限内点一条切线与直线平行该切线方程为 因为这两条平行直线的斜率相等，所以又因所以易得点到直线的距离为于是，四边形的面积的最大值为4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”平稳数的个数是 答案：解：考虑平稳数若，则，有2个平稳数若，则，有个平稳数若，则，有个平稳数若，则，有个平稳数综上可知，平稳数的个数是另解：设是一个平稳数，则且由可知，由可知，1）若，则，有个平稳数2）若，则或于是，；或，有个平稳数3）若，则或于是，；或有个平稳数4）若，则，由得；由得；由得；由得有个平稳数综上可知，平稳数的个数为5.正三棱锥-中，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为 答案：解：设的中点分别为，则易证平面就是平面由中线长公式知所以又易知直线在平面上的射影是直线，而所以故棱与平面所成角的余弦值为 6.在平面直角坐标系中，点集在中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为的概率 答案：解：易知中有9个点，故在中随机取出三个点的方式有种将中的点按右图标记为其中有8个点之间的距离为由对称性，考虑两个点的情况，则剩下的一个点有7种取法这样有个三点组（不计每组中三点的次序）对每个，中恰有两点与之距离为（这里下标按模8理解），因而恰有这8个三点组被记了两次从而满足条件的三点组个数为，进而所求概率为7.在中，是的中点，是线段的中点若，的面积为，则的最小值为 答案：解：由条件知，故由于所以，进一步可得从而 当时，的最小值为8.设两个严格递增的正整数数列，满足：，对任意正整数，有则的所有可能值为 答案：解：由条件可知：均为正整数，且由于，故反复运用的递推关系知 因此而，故 另一方面，注意到，有故 当时，分别化为无解当时，分别化为得到唯一的正整数此时当时，分别化为，得到唯一的正整数此时综上所述，的所有可能的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.（本题满分16分）设为实数，不等式对所有成立证明：证明：令，则于是 由知，故另证：令，因为不等式对所有成立，所以在上的最大值与最小值之差不超过2下面用反证法证明假设1）当时， 矛盾2）当时， 矛盾3）当时，）若，则 矛盾）若，则 矛盾10.（本题满分20分）设是非负实数，满足，求的最大值和最小值解：由柯西不等式 当时不等式等号成立，故欲求的最小值为1. 因为 当时不等式等号成立，故欲求的最大值为 11.（本题满分20分）设复数满足，且（其中表示复数的实部） （1）求的最小值；（2）求的最小值解：对，设由条件知因此 又当时，这表明，的最小值为（2）对，将对应到直角坐标系中的点记是关于轴的对称点，则均位于双曲线的右支上设分别是的左、右焦点，易知根据双曲线的定义，有进而得 等号成立当且仅当位于线段上（例如，当时，恰是的中点）综上可知，的最小值为加试题一、（本题满分40分）如图，在中，为的内心以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，过点、的圆与、分别交于点、（不同于点）设与交于点证明：证明：连接由于点在圆上，故所以又四点共圆，所以于是故，从而有且注意到，且为的内心，故，所以于是，故又点在圆的弧上，故，因此 故二、（本题满分40分）设数列定义为求满足的正整数的个数解：由数列定义可知假设对某个有，我们证明对，有 对归纳证明当时，由于，由定义，结论成立设对某个，成立，则由定义即结论对也成立由数学归纳法知，对所有成立，特别当时，有，从而 若将所有满足的正整数从小到大记为则由上面的结论可知由此可知，从而由于，在中满足的数共有个，为由可知，对每个，中恰有一半满足由于与均为奇数，而在中，奇数均满足，偶数均满足，其中偶数比奇数少1个因此满足的正整数的个数为 另解：易知； 当正整数足够大时，若，则 由以上等式易观察出：若，正整数，则 因为当时，所以，当时，使得且的最小正整数当，且时， ，因为，所以使得且的最小正整数因为，所以使得且的最小正整数依此类推下去，可知使得的一切正整数分别为设易知，满足的正整数的个数为零；满足 的正整数的个数为1，满足的正整数共有（偶数）个，其中分别使得和的各占一半满足的正整数共有（偶数）个，其中分别使得和的各占一半于是，满足的正整数的个数为三、（本题满分50分）将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”试求分隔边条数的最小值解：记分隔边的条数为首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即下面证明将方格纸的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为行中方格出现的颜色数记为，列中方格出现的颜色个数记为三种颜色分别记为对于一种颜色，设是含有色方格的行数与列数之和记类似地定义于是 由于染色的方格有个，设含有色方格的行有个，列有个，则色的方格一定在这行和列的交叉方格中，因此，从而故 由于在行中有种颜色的方格，因此至少有条分隔边同理在列中，至少有条分隔边于是 下面分两种情形讨论情形 1：有一行或一列全部方格同色不妨设有一行全为色，从而方格纸的列中均含有色方格由于色方格有363个，故至少有11行中含有色方格，于是 由，及即得情形2：没有一行也没有一列的全部方格同色则对任意，均有综上所述，分隔边条数的最小值等于四、（本题满分50分）设均是大于1的整数，是个不超过的互不相同的正整