高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介学案【新人教版】.docx

四柱坐标系与球坐标系简介学习目标1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式.3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题知识点一柱坐标系思考要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？答案空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离梳理柱坐标系的概念(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(，)(0,02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标这时点P的位置可用有序数组(，z)(zR)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0,02，zR.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为知识点二球坐标系思考要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示答案可以梳理球坐标系的概念(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置就可以用有序数组(r，)表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点P的球坐标，记作P(r，)，其中r0,0，02.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为类型一柱坐标与直角坐标的互化例1(1)已知点A的直角坐标为(1，4)，求它的柱坐标；(2)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标解(1)设点A的柱坐标为(，z)，则解得点A的柱坐标为.(2)由变换公式得x4cos2，y4sin2，z8.点P的直角坐标为(2,2，8)反思与感悟(1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(，z)，代入变换公式求；也可以利用2x2y2，求.利用tan ，求，在求的时候特别注意角所在的象限，从而确定的取值(2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同跟踪训练1(1)已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标；(2)已知点N的柱坐标为，求它的直角坐标解(1)1.x0，y0，.点M的柱坐标为.(2)由变换公式x2cos0，y2sin2，故点N的直角坐标为(0,2,3)类型二球坐标与直角坐标的互化例2(1)已知点P的球坐标为，求它的直角坐标；(2)已知点M的直角坐标为(2，2，2)，求它的球坐标解(1)由变换公式，得xrsincos4sincos2.yrsinsin4sinsin2.zrcos4cos2.故其直角坐标为(2,2，2)(2)由坐标变换公式，可得r4.由rcosz2，得cos，.又tan1，从而知M点的球坐标为.反思与感悟由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，)，利用变换公式求出r，即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cos来求，要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚和所在的位置跟踪训练2把下列各点的球坐标化为直角坐标(1)；(2).解设点的直角坐标为(x，y，z)(1)(r，)，(1，1，)为所求(2)(r，)，为所求类型三求点的坐标例3已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD边长为1，高AA1为，建立空间直角坐标系(如图)，Ax为极轴，求点C1的直角坐标，柱坐标及球坐标解点C1的直角坐标为(1,1，)，设C1的柱坐标为(，)，tan1，所以C1的柱坐标为，设C1的球坐标为(r，)，其中r0,0，02，由xrsincos，yrsinsin，zrcos，得r2.由zrcos，得cos，又tan1，从而点C1的球坐标为，柱坐标为，直角坐标为(1,1，)反思与感悟(1)弄清空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系之间的关系，灵活运用直角坐标与柱坐标及球坐标的互化公式(2)结合图形，更直观地看到三种坐标之间的联系跟踪训练3在例3的条件下，求点C，A1的直角坐标、柱坐标及球坐标解C的直角坐标为(1,1,0)，设C的柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)(0,0，02)，tan1，z0，C的柱坐标为.又r，C的球坐标为.A1的直角坐标为(0,0，)，A1的柱坐标为(0,0，)，A1的球坐标为(，0,0)1在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为()A(2,0,3) B(，0)C.D.答案B2设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为()A(2,0,2) B(2，2)C(，0,2) D(，2)答案A3在球坐标系中，方程r2表示空间的()A球B球面C圆D直线答案B4点P的柱坐标为，则点P到原点的距离为_答案5解析xcos4cos2，ysin4sin2.即点P的直角坐标为(2，2,3)，其到原点距离为5.5已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，)，则tan_，tan_.答案2解析如图所示，tan，tan2.1空间点的坐标的确定(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的，即(x，y，z)(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(，z)(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成的角，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角，以及点到原点的距离组成的，即(r，)注意求坐标的顺序为到原点的距离r；与z轴正方向所成的角；与x轴正方向所成的角.2柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(，z)表示，(，)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标系中的竖坐标一、选择题1点P的柱坐标是，则其直角坐标为()A(2，2，3) B(2，2，3)C(2，2，3) D(2，2，3)答案C2设点M的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为()A.B.C.D.答案B3在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为()A.B.C.D.答案C解析(1,1,1)关于z轴的对称点为(1，1,1)，它的柱坐标为.4空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()A.B.C.D.答案A解析由P(，z)，当时，点P在平面yOz内5已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为()A2B.C2D4答案A解析设点M的直角坐标为(x，y，z)(r，)，点M的直角坐标为(2,2,2)，点M到Oz轴的距离为2.6在柱坐标系中，点P的坐标为，则点P的直角坐标为()A(，1,1) B(，1,1)C(1，1) D(1，1)答案D解析柱坐标对应的点的直角坐标是，即(1，1)二、填空题7已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在坐标轴Oy上的射影为N，则|MN|_.答案解析设点M在平面xOy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面xOy上的射影因为MN直线Oy，MP平面xOy，所以PN直线Oy，所以|OP|2，|PN|1，在RtMNP中，MPN90，所以|MN|.8在极坐标系中，由三条直线0，cossin1围成图形的面积是_答案解析如图，由题意知|OA|OB|1，POC，PAC，|PC|CA|，故所求面积为.9已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为，则|OM|_.答案3解析因为(，z)，设点M的直角坐标为(x，y，z)，则x2y224，所以|OM|3.10已知点P1的球坐标是，P2的柱坐标是，则|P1P2|_.答案解析因为点P1的球坐标是，所以经计算得P1(2，2，0)，因为P2的柱坐标是，所以经计算得P2(，1,1)所以|P1P2|.三、解答题11设点M的直角坐标为(1,1，)，求点M的柱坐标与球坐标解由坐标变换公式，可得，tan1，r2.由rcosz(0)，得cos，.所以点M的柱坐标为，球坐标为.12已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，求这两个点的直角坐标解设点P的直角坐标为(x，y，z)，则由柱坐标与直角坐标的变换公式，得xcos1，ysin1，z5.设点B的直角坐标为(x，y，z)，则由球坐标与直角坐标的变换公式，得x1sincos1，y1sinsin1，z11cos.故点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为.四、探究与拓展13点M的球坐标为(r，)，(0，)，则其关于点(0,0